数学物理方法级数

第四章级数第一节复数项级数第二节幂级数第三节Taylor级数表示第四节Laurent级数表示第五节孤立奇点的分类第六节微分方程的幂级数解法为什么要讲级数？一个积分一个实级数为什么要在复变函数中讲级数？复数项级数收敛与发散概念形如

的表达式被称为复数项级数，其中wn是复数。若

的前n项和

有极限（n

）,则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。第一节复数项级数收敛的充分必要条件绝对收敛与条件收敛设，则级数

收敛的充分必要条件是

和

都收敛，其中un和

vn皆为实数。称级数

是绝对收敛的，如果

是收敛的称级数

是条件收敛的，如果

是发散的，而

是收敛的第一节复数项级数举例考察级数的敛散性考察级数的敛散性考察级数的敛散性第一节复数项级数复函数项级数概念收敛与发散形如

的表达式被称为复函数项级数，其中wn(z)是复变函数。域收敛：点收敛：收敛称之收敛，z

B，称之第一节复数项级数收敛的充分必要条件级数

收敛的充分必要条件是

和

都收敛，其中第一节复数项级数一致收敛M判别法对于

，称它在B内一致收敛于函数f(z)，如果

>0，N()，当n>N()时，有且收敛第一节复数项级数性质连续性级数在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续可积性级数在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则第一节复数项级数解析性级数在B内一致收敛f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且第一节复数项级数第二节幂级数收敛半径与收敛圆概念形如的级数被称为以z0为中心的幂级数，其中an是复变常数。若存在正数R，使得当|z-z0|<R时，级数收敛；而得当|z-z0|>R时，级数发散，则称R为级数的收敛半径，其中|z-z0|<R被称为收敛圆。收敛半径的求法D'Alembert公式Cauchy(根式)公式举例求级数的敛散半径及收敛圆求级数的敛散半径及收敛圆第二节幂级数内闭一致收敛幂级数的性质在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性幂级数在收敛圆内内闭一致收敛第二节幂级数Taylor定理设函数f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)可写成z0zCRCR'RR'第三节Taylor级数表示举例函数f(z)=ez

在z=0点的Taylor级数展开函数f(z)=sinz和f(z)=cos

z

在z=0点的Taylor级数展开函数f(z)=Ln

z

在z=1点的Taylor级数展开函数f(z)=(1+z)n在z=0点的Taylor级数展开第三节Taylor级数表示解析函数的一个等价命题函数f(z)在B内解析的充分必要条件为f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数第三节Taylor级数表示展成幂级数的几种方法直接方法间接方法函数f(z)=arctan

z

在z=0点的Taylor级数展开函数f(z)=sinz

在z=0点的Taylor级数展开函数f(z)=1/(1-z)2

在z=0点的Taylor级数展开待定系数法函数f(z)=tanz

在z=0点的Taylor级数展开第三节Taylor级数表示问题的提出已知结果：当f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。如何刻画解析性的问题？如何刻画奇性的问题？第四节Laurent级数表示双边幂级数其中被称为双边幂级数的正幂部分被称为双边幂级数的负幂部分第四节Laurent级数表示收敛环的确定设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换

=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2

，则其在|z-z0|>R2外收敛。如果R2<R1，那么双边幂级数就在环状域R2<|z-z0|<R1内收敛，所以R2<|z-z0|<R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。第四节Laurent级数表示正幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<|z-z0|收敛环R2<|z-z0|<R1负幂部分第四节Laurent级数表示双边幂级数的性质R2R1z0B定理设双边幂级数

的收敛环B为R2<|z-z0|<R1，则(1)在B内连续；(2)在B内解析，且于B内可逐项可导；(3)在B内可逐项积分。第四节Laurent级数表示Laurent定理设函数f(z)在环状域R2<|z-z0|<R1

的内部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)可展开成zCR1CR2R2R1z0C第四节Laurent级数表示Laurent级数中的z0点可能是奇点，也可能不是奇点说明Laurent级数展开的唯一性收敛范围的极限的确定第四节Laurent级数表示举例函数f(z)=sinz/z在0<|z|<

内的Laurent级数展开函数f(z)=1/(1-z2)

分别在1<|z|<

和0<|z-1|<2内的Laurent级数展开11-11<|z|<

21-10<|z-1|<2第四节Laurent级数表示概念若函数f(z)在点z0处不可导，而在z0的某邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。举例孤立奇点的例子非孤立奇点的例子第五节孤立奇点的分类孤立奇点的Laurent级数展开在区域0<|z-z0|<R

内的单值解析函数f(z)可展开成其中正幂部分是该级数的解析部分是该级数的主要部分负幂部分这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数第五节孤立奇点的分类孤立奇点的分类可去奇点：主要部分不存在m阶极点：主要部分有m项本性奇点：主要部分有无穷多项第五节孤立奇点的分类孤立奇点的等价命题第五节孤立奇点的分类举例求下列函数的孤立奇点，并指出类型第五节孤立奇点的分类二阶常微分方程如果p(z)和q(z)在z0点解析，则称z0点为方程的常点如果p(z)和q(z)中至少有一个在z0点不解析，则称z0点为方程的奇点第六节微分方程的幂级数解法勒让德方程有奇点为z=

1第六节微分方程的幂级数解法第六节微分方程的幂级数解法第六节微分方程的幂级数解法当|z|<1级数收敛，而当|z|=1级数发散若要求|z|=1级数收敛，只能取l=0,1,2,

第六节微分方程的幂级数解法Legendre多项式第六节微分方程的幂级数解法第六节微分方程的幂级数解法多项式表示Rodrigues公式递推关系其中第六节微分方程的幂级数解法在[-1,1]内有l个零点正交性Legendre多项式的性质贝塞尔方程第六节微分方程的幂级数解法第六节微分方程的幂级数解法z的零次幂：z的1次幂：z的k次幂：取c1=0第六节微分方程的幂级数解法

阶贝塞尔函数-阶贝塞尔函数，正整数第六节微分方程的幂级数解法问题：当=0或正整数时，如何去构造与J

(z)线性无关的解？v阶Nuemann函数第六节微分方程的幂级数解法J0(x