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文档简介
2022-2023学年上海交大附中高二(上)期末数学试卷
一.填空题(每题6分)
1.设i是虚数单位,则复数z=2i(1-/)的虚部是
3.同时掷两粒骰子,则点数之和为7的概率是.(结果用分数表示)
4.已知数据加、12、…、X8的方差为16,则数据3制+1、3l2+1、…、3期+1的标准差为.
5.已知Sin(X爷)4,则cos(空等-2x)=-----------------------------
6.某个闯关游戏规定:闯过前一关才能去闯后一关,若某一关没有通过,则游戏结束.小
明闯过第一关的概率为旦,连续闯过前两关的概率为工,连续闯过前三关的概率为工.事
424
件A表示小明第一关闯关成功,事件C表示小明第三关闯关成功,则P(ClA)
nn1
7•如果定义ɪɪa∙=a1∙a9......a,那么Iim∏(1—z~)=_____________________
i=ln→00k=2k2
8.已知(aX21)n(>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式
Vxa
的各项系数之和为1024,则展开式中的常数项为
9.某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考,依据以往成绩估算该同学在物理、化学、
政治科目等级中达A+的概率分别为5、3、3,假设各门科目考试的结果互不影响,则
645
该同学等级考至多有1门学科没有获得A+的概率为.
10.已知异面直线队6所成角为α,过空间定点P与4、匕成65°角的直线共有3条,则α
的大小是.
11.六名小朋友A、B、C、。、E、尸在玩击鼓传花游戏,每个人在接到花后随机传给其他
五人中的一人,设首先由A开始进行第1次传花,那么恰好在第4次传花把花传回到A
手中的概率是.(用最简分数表示)
,
12.己知/(x)=2sinπx,g(x)=Vx+l则尸/(彳)与V=g(X)图像交点的横坐标之
和为.
13.在由正整数构成的无穷数列{斯}中,对任意的正整数,都有“"W的+ι且对任意的正整数
k,数列{4"}中恰有/个左,则«2023=.
14.已知f(χ)=‹p5i-a'x≤l,若函数y=∕(χ)有三个零点,则实数”的取
(χ-a)(χ-3a),x>1
值范围是.
15.己知三棱锥P-ABC的顶点P在底面的射影O与aABC的垂心重合,且
SZiABC_$△PBC
若三棱锥P-ABC的外接球半径为3,则S△附B+SMBC+S"C4的最大
SZkPBCSZkOBC
值为.
二.选择题(每题6分)
16.如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已
知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x、y的值分别为()
甲组乙组
909
X215J8
7424
A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8
17.一个弹性小球从10米自由落下,着地后反弹到原来高度的3处,再自由落下,又弹回
4
到上一次高度的3处,假设这个小球能无限次反弹,则这个小球在这次运动中所经过的
4
总路程为()
A.50B.60C.70D.80
18.已知直线4,6和平面α,且b在α上,〃不在a上,则下列判断错误的是(
A.若a〃a,则存在无数条直线b,使得a〃b
B.若a,a,则存在无数条直线儿使得
C.若存在无数条直线6,使得a〃b,则。〃a
D.若存在无数条直线b,使得a_L4则。_La
19.设0<aWb,随机变量X的分布是1124则E(X)的取值范围是()
Iaba+b∕
A∙(1,B.呼,3)C.(1,Jl1D.[ɪ,1)
20.已知正方体A8CO-48ιCιOι的棱长为2,E、尸是线段BiO上的动点且EF=2,则三
棱锥A-BEF的体积为()
A.2√2B.生巨C.2叵D.无法确定
33
f-11'
21.已知0<<」,随机变量晶η相互独立,随机变量E的分布为I21,Tl的分布
27
为卜11],则当P在(0,工)内增大时()
I1-pPJ2
A.E(ξ+η)减小,D(ξ+η)增大
B.E(ξ+η)减小,D9+n)减小
C.E(ξ+η)增大,D(ξ+η)增大
D.E(ξ+η)增大,D(ξ+η)减小
22.已知0,42,43,44是各项均为正数的等差数列,其公差”大于零,若线段/1,/2,/3,
/4的长分别为0,42,43,44,贝IJ()
A.对任意的d,均存在以/2,/3为三边的三角形
B.对任意的d,均不存在以/1,12,/3为三边的三角形
C.对任意的“,均存在以/2,/3,/4为三边的三角形
D.对任意的心均不存在以/2,/3,/4为三边的三角形
23.设/(x)=ax1+hx+cb、c∈R).已知关于X的方程/(x)=X有纯虚数根,则关于
X的方程/(/(x))=X的解的情况,下列描述正确的是()
A.可能方程只有虚根解,其中两个是纯虚根
B.可能方程有四个实数根的解
C.可能有两个实数根,两个纯虚数根
D.可能方程没有纯虚数根的解
24.等差数列{斯}的通项是斯=3〃-1,等比数列{尻}满足封=即,b2=aq,其中q>p21,
且〃、p、夕均为正整数.有关数列仍“),有如下四个命题:
①存在小q,使得数列{与}的所有项均在数列{即}中;
②存在p、q,使得数列{E}仅有有限项(至少1项)不在数列{斯}中;
③存在2、%使得数列{与}的某一项的值为2023;
④存在p、q,使得数列{与}的前若干项的和为2023.
其中正确的命题个数是()个.
A.0B.1C.2D.3
2022-2023学年上海交大附中高二(上)期末数学试卷
参考答案与试卷解析
一.填空题(每题6分)
1.【解答]解:z=2i(1-z)=2/+2,
所以复数Z的虚部为2,
故答案为:2.
2.【解答】解:因为:
口
33.(1/
(当'1
所以:Iim
W3
故答案为:,
3
3.【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,
试验发生的所有事件为掷两颗骰子所有的6X6=36种结果,
而满足条件的事件为1,6;2,5;3,4;4,3;5,2;6,1共有6种结果,
.∙.由古典概型公式得到结果P=-L=I,
366
故答案为:1.
6
4.【解答】解:因为数据制、也、…、X8的方差为16,
所以数据3xi+l、3x2+1、…、3耶+1的方差为3?X16,
所以标准差为3X4=12.
故答案为:12.
5.【解答】解:∙.∙sin(χ-ɪL)上,
SIn∖X12jɜ
2u2jππ2
---,9v∙⅜=cos(336π+√--2x)=cos(2x-ʃɪ-)=1-2sin(x-ɪ--)
99
故答案为:A
9
6.【解答】解:根据题意,小明闯过第一关的概率为3,连续闯过前两关的概率为工,连续
42
闯过前三关的概率为工.
4
则P(A)=旦,P(ASC)=A,
44
1
则P(ClA)=P(ABC)=A=I
P(A)
4
故答案为:A
3
n
7.【解答】解:Y∏a=aa
ι12a√
i=l
n
π(芍)(IW)(I4)(1号)
k=2
(1--ɪʒ-)(i-∙⅛)(i
(n-2)2(n-l)n
=3X14×15×1X(n-3)(nT)X(n-2)nX(∏-1)(n+1)
xχ
2X2×3×34×4-(n-2)(∏-2)(n~l)(n-l)n×n
n+1
~2n'
∏(i-⅛=ι-f14
:∙Iim
n→∙8k=2n→∞Zn2
故答案为:1
2
8.【解答】解:由题意得或=媚
故〃=10,
令X=I可得Ca-1)"=1024,
所以。=3,
所以展开式的通项为小尸盘。(3/)心,(』一),啖・3心小吟
令20-&∙=0,则r=8,
2
故展开式的通项为405.
故答案为:405,.
9.【解答】解:根据题意,该同学至多有1门学科没有获得A+,即该同学全部为A+或只有
1门不是A+,
当该同学全部为A+时,其概率Pl=SX3x3=至
645120
当该同学只有1门不是A+时,其概率尸2=(i-ɪ)χ3χ3+5X(i-ɜ.)χ3+5X旦
64564564
X(1-3)=_^£,
5120
则该同学等级考至多有1门学科没有获得A+的概率P=P+P2=-^-+且=毁;
12012040
故答案为:ɜɜ.
40
IO.【解答】解:将直线4,匕平移到α',h',使得“',b'过点尸,如图,
设〃所成角的平分线为c,过点P垂直α',b'所在直线的直线为“,
:异面直线4,6所成角均为α,.∙.“',b'所成角为a,
当直线/经过点P且直线/在直线a',b,所在平面,
垂直于直线C时,直线/与直线a',b'所成角相等,均为65°时,
a',b'所成角为180°-2×65o=50°,即a=50°;
当直线/在直线c,1平面内时,若直线/绕着点P旋转,此时直线/与直线a',b'所
成角相等,
且所成角从巴变化到90°,再从90°变化到色,此时满足条件的直线有两条,
22
.∙.1800-a=65。,解得a=50°,
2
二过空间定点P与小人成65°角的直线/共有3条时,a=50o.
故答案为:50°.
11•【解答】解:设第八次把球传到A的概率记为P1,,
则PHI为第〃+1次传到A,则传球前不在A手中,而每个人传给其他人的概率为工,则
5
PT(I-P/
即P"+I-JL=-JL(P0-A),
656
因为Pi一I=」一,
630
所以数列{P"-上}是以」。为首项,以JL为公比的等比数列,
6305
Pn-工=工•(-1)"I
6305
故巴=也生
635
故答案为:104
635
12.【解答】解:依题意,(-1,0)是/(x)的一个对称中心,也是g(x)的对称中心,
如图所示:
所以左右交点关于(-1,0)对称,即xι+x2=-2,
而共有7对,加上本身点(-1,0),
所以横坐标之和为-2×7-1=-15.
故答案为:-15.
13.【解答】解::对任意的正整数数列{劭}中恰有k个公
二数列是1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,
当”=63时,
l+2+3+∙∙∙+n^IkΩltll=2O16<2O23,
2
当”=64时,
1+2+3+…+"=11(n+Ll=2080>2023
2
二42023在第64组中,故«2023=64.
故答案为:64.
14.【解答】解:令g(X)=2v-a(x≤l),h(x)=(x-a)(x-3a)(x>1),
又因为函数y=∕(x)有三个零点,
所以g(x)=O(x≤1)有一个零点,h(X)=(x-a)Cx-3a)(x>l)有两个零点,
f>∩
由g(X)=O(XWl)有一个零点可得:Ia,所以0<αW2;
,gCl)=2-a≥0
'a〉0
由力(x)=(χ-a)Cx-3a)(x>l)有两个零点,所以/,解得Q>l,
a>l
综上所述:l<αW2.
15.【解答】解:连接4。,并延长交BC于E,则BCJ_4E,连接PO,PE,如图,
贝∣JPO_L平面ABC,VSCc5FffiABC,:.POLBC,
∖'POC∖AE=O,,BC_L平面∕¾E,ΛBC±B4,PC上PE,
同理可证ACLPB,
...=∣δpbc).∙.yAE-BC-(⅛E∙BC)=⅛E∙BC)2,
bΔPBCi∆0BCNZZ
J.PEi=AE∙OE,Λpɛ,ɔɔl,':ΛPEA=APEO,.'./^POE^ΔAPE,
AEPE
:.NAPE=NPoE=90°,PALPE,
":PALBC,PEHBC=E,平面P8C,.,.PA±PB,PALPC,
':ACVPB,PA∏AC=A,.∙.PB±T≡PAC,.∖PB±PC,
:.PA,PB,PC两两垂直,
补三棱锥为以力,PB,PC为棱的长方体,
;长方体的体对角线长为长方体外接球的直径,.∙.7¾2+PB2+PC2=36,
∙'∙SΔ∕¾B+SΔPBC+SΔPCAɪɪɪ(,PA∙PB+PB∙PC+PC∙PA)
2
BC222
≤1(PA2+PB2P2+P2+E^Λ^=JL(Λ4÷PB÷PC)=1×36=18,
222222
当且仅当巩=P8=PC=2√ξ时,取等号,
.∖S△阳B+SZXPBC÷SAPCA的最大值为18.
故答案为:18.
二.选择题(每题6分)
16•【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;
甲组数据是9,12,10+x,24,27;
它的中位数为/5,.∙.χ=5;
乙组数据的平均数为
A×[9+15+(10+>∙)+18+24]=16.8,解得y=8;
5
所以X、),的值分别是5和8.
故选:C.
17•【解答】解:一个弹性小球从IO米自由落下,着地后反弹到原来高度的旦处,再自由落
4
下,又弹回到上一次高度的3处,假设这个小球能无限次反弹,
4
则这个小球在这次运动中所经过的总路程为5,,=10+2×10×2.+2×l0×(3)2+...+2×
44
n
2⅛×tι-⅛)l2
10×(A)z,=IO+2O×------------------------=10+6011-(A)n],
41J-4
4
1=70>
假设这个小球能无限次反弹,则IimSn=Iim{10+60[1-(ɪ)ɪ]}
ɪɪ->ooɪɪ-⅜,oo4
故选:C.
18.【解答】解:选项A,若。〃α,则a内存在无数条直线与a平行,即A正确;
选项B,若a,a,则a垂直a内无数条直线,即B正确;
选项C,因为a〃6,α<4α,⅛ca,所以a〃a,即C正确;
选项D,若存在无数条直线h,使得a±h,则“与a平行或相交(含垂直),即D错误.
故选:D.
a+b+(a+b)=1
O<a<l
19.【解答】解:根据分布列的性质可知:Q<b<1,
0<a+b<1
结合题干条件0<αW5可解得:o<a<[<b<∙∣,
而E(X)=I∙-2343)=5α+6Q5(a+b)+b=∣W
于是E(X)=I∙+b∈[ɪ.3),
故选:B.
20.【解答]解:如图所示:连接AC与80交于点O,BBil5PffiABCD,AoU平面ABCf>,
故AoAOYBD,BDeBBl=B,BD,8B∣在平面8£)。以内,
故AO_L平面BDDB,
22
VA-BEF4×SΔBEF×A0=∣×⅛××Xa=平'
21•【解答】解:由题意可得:E(g)=(-1)x2+ix」-=」,E(η)=(-1)X(1
333
-P)+1Xp=2p-1,
所以E(+η)=ECξ)+E(η)=-^-+2p-l=2p^
OO
所以当P在(0,-1)内增大时,E(ξ+η)增大,
2
D(u=(-ι4)2×f÷(i4)2×⅛4
D(η)=(-2P)2X(I-P)+(2-2P)2×p=4p-4p2,
所以D(&+(∏)=4p-4p2÷∣-=-4(p-ɪ-)2^^~,
所以当P在(0,.1)内增大时,D(ξ+η)增大.
2
故选:C.
22•【解答】解:A:对任意的4,假设均存在以∕ι,/2,/3为三边的三角形,∙∙∙α,.«2,即,
44是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,∙∙∙“2+"3>"1,。3+。1=2及>〃2,
而0+〃2-〃3=〃1-d不一定大于0,因此不一定存在以/1,/2,/3为三边的三角形,故不
正确;
B:由A可知:当m-d>0时,存在以/1,/2,/3为三边的三角形,因此不正确;
C:对任意的d,由于α3+44>α2,〃2+。4=2。1+41=。1+24+。3>0,。2+。3-Q4=m>0,因
此均存在以/2,/3,/4为三边的三角形,正确;
D.由C可知不正确.
故选:C.
23.【解答】解:f(X)=αr2+⅛x+c(。、b、c∈R),
关于X的方程/(x)=X有纯虚数根,设纯虚数根为X=加(m∈R,m≠0)9
则/(FU)=mi,即-atrΓ+c+bmi=mi,
c=cm2,b=11αW0,f(x)=cu?+x+α∕/,
方程/(x)=X化为/+"2=0,方程有两个纯虚数根为士加,
方程fCf(K))=X化为a2x4+2ax^+2(Λ??2+!)x1-^2am2x+a2m4+2m2=0,
整理得(〃27+24.1+岛〃2+2)(/+帆2)=0,
.β.X2+〃/=0,或a2x1+2ax+a2m2+2=0,
・•・方程f(∕G))=JV有两个纯虚数根土加,
而方程〃27+2以+〃2m2+2=0中,
Δ=402-402(α2∕n2+2)=-4o2(a2zw2+l)<0,
~2~2
√?一+L,不是纯虚
aa
数根,
正确,BCD均错误.
故选:A.
3q1λ
24.【解答】解:由题设条件可得"=3/7-1,⅛2=3<7-l,:,bn=(3P-I)X(-)'
3D^1
1
对于①,取p=l,q=3,则6"=2X4"-ι,
,,1n1n11n2n1+1)
当〃22时,2×4-=2×(3+1)-=2×(C0_i,3_+Cɪ-3-÷∙+C∑f-3
=2×(0.O∏-11,□n-3.n-2)1}-1,
rLn-Ið+Γun-lð++rLn-I+
:.bn(n≥2)均为{斯}中的项,而历=%也为{斯}中的项,故①正确;
对于②,若存在p,4,使得数列{为}仅有有限项(至少1项)不在数列{即}中,
则从某项b&(例〉4)开始,所有的项均在{斯}中,且加,历在{”“}中,
lco
而⅛l=(3P-I)×(,⅜~1.)bl(⅛≥⅛),
3p-l
.,.(3P-I)×(囱工)b∣=3μ-1,μ>q,
3D-1
若囱∑L不是正整数,设囱∑L=㈣,且w,Z互质,且z22,Z为3p-l的约数,
3p-l3p-lZ
.∙.(3P-I)XMAI=(3μ-1)故11为(3P-I)Xv/”的约数,
♦.”,z互质,.∙"l为3p-l的约数,.∙.A只能是有限个整数,
这与“从某项b,(⅛>4)开始,所有的项均在{即}中”矛盾,故囱1L必为正整数,
ko3p-l
设=c,则3q-1—c(3p-1),
3p-l
而%-l,(3P-I)除以3的余数均为2,故C除以3的余数为1,即c=3∕+l,/为正整
数,
ni
当时,bn=(3P-I)X(3Z+1)'
n1n-2
=(3p7)×[C°H(31)^+C1^1(31)÷∙÷C^(31)+11
n1n2+31
=(3P-I)×[cj,1(31)^+C^1(31)^+∙C^(31)]+P-
n-21
=3/(3P-I)×[c°-1(31)+C^ι(31)^∙+C^W-
n
=3{∕(3P-I)×[cθ,1(31)x2+c3(3D^斗+C兽]+P}-1,
,与为{斯}中项,故{与}的某一项的值为2023,
则(3P-I)X(囱工)"1=2023,即(3⅛-l),,l=2023×(3/7-1)n^2,
3p-l
若"=1,则2023=3p-1,.∙.2024=3p,但2024不是3的倍数,矛盾,舍,
若n=2,则2023=3q-1,故2024=3g,但2024不是3的倍数,矛盾,舍,
若心3,当“为偶数时,(3p-1)"-I=C3(3q严1-Qi⑶严2+∙+c署X3q-1
n1n2j
=C°-ι(3q)^-C^1(3q)-+∙∙∙+C^f×3q-3+2
:.(3⅛-1)〃“除以3的余数为2,同理,(3^-1)”一2除以3的余数为1,
而2023=2022+1=3X674+1,故2023除以3的余数也为1,
,,1
故2023(3P-I)”一2除以3的余数为1,故(3(7-I)-=2023×(3P-I)不成立,
同理,当〃为奇数时,(3q-1)"7除以3的余数为1,同理(3P-I)”一2除以3的余数
为2,
而2023=2022+1=3X674+1,故2023除以3的余数也为2,
故2023X(3p-1)”一2除以3的余数为2,
,,
故(3.7-1)''=2023×(3P-I)”匕不成立,故③错误;
对于④,若存在p,q,使得数列伯”}的前若干项的和为2023.
此时与=(3P-I)X(3q~1)n^x,若3q-ι不是正整数,
3p-l3p-l
设囱ZL=旦,且S,f互质且f为3p-1的约数,
3p-lt
:•3p-∖=mt,且2023=mt×[1+ɪ+(旦)2+•••+(且)n']]=m×
ttt
.n-1,.n-2.....n-2,n-1
t+st+.∙∙∙+ts+s
,
.∙.2023∕,'2=∕M×(∕,W-2+∙+tsn'W1),
∙.∙s,t互质,故尸2与产l+”「2+.+d-2+s”7互质,
.∙.〃2为,〃的约数,故m=k'/一2,.∙.2023=/×(t"'+s∕,'2+*+tsn'2+sn
而f22,s23,n^3,.'.f''i+sf,'2+∙+tsn'2+sn-1^22+2×3+32=19,
:.k'=7,或N=17,
若k'=7,则U=产∙+s产-2+.+T-2+尸1,
结合s》3,/N2可得:
172=tn'i+stn'2+sn722"7+3X2"2+•+2X3"-2+3"-1=3"-2",
设/(〃)=3"-2",则f("+D-f(n)=2×3πl
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