线性代数第一章

第一章行列式第一节二阶与三阶行列式第二节n

阶行列式第三节行列式的性质第四节行列式的按行（列）展开第五节克莱姆法则

一、二阶行列式

二、三阶行列式

三、小结第一节二阶与三阶行列式用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式方程组的解为由方程组的四个系数确定.

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注意

分母都为原方程组的系数行列式.例1解二、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)沙路法三阶行列式的计算

列标行标(2)对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。例２解按对角线法则，有例3解方程左端

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结第二节

n阶行列式

一、排列的逆序数及对换

二、n阶行列式的定义

三、计算几个特殊的行列式

四、n阶行列式的另一种定义

五、小结一、排列的逆序数及对换定义1由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列（也叫做这

n个元素的一个全排列）。如：31245就是一个5级排列。例1

写出所有的3级排列：123132213231312321可见，第一个位置有3种选择，第二个位置有2种选择，第三个位置有1种选择，所以所有的3级排列一共有容易得出，n级排列一共有n!个。而在

n级排列中，123…n这个排列具有自然顺序，称为一个自然排列或标准排列。个。显然，所有的5级排列一共有5！=120个。定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小次序相反，即前面的数比后面的数大，就称它们构成一个逆序。一个排列中所有逆序的总数就称为这个排列的逆序数。如：排列2431中，21，41，31，43均为逆序，则排列的逆序数为4。定义3逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序数是偶数或0的排列称为偶排列。如：2431是偶排列；31425中有3个逆序，是奇排列。逆序数的求法为：在一个n级排列中，依次考虑每个数后面比它小的数有几个，如第i个元素后比它小的数有ti

个，则此排列的逆序数为例2求35421的逆序数。解3之后比3小的有2个，5之后比5小的有3个，4之后比4小的有2个，2之后比2小的有1个，于是逆序数为定义4把一个排列中的某两个元素位置对调，而其它的元素不动，就得到了另一个排列，这种变换就称为一个对换。如：排列35421中的5与2对换，就得到新排列32451。定理1任何一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性。即奇排列经过一次对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。如：2431（逆序数为4，偶排列）2134（逆序数为1，奇排列）定理2全部n级排列中，偶排列与奇排列各占一半，都是（n

≥2）个。如果全部n

级排列中奇排列有p

个，偶排列有q

个，所有的排列都经过一次同样的对换（对换相同的两个数），则奇排列变成了偶排列（即p≥

q

），偶排列变成了奇排列（即q≥

p

），所以p=q。定理3任何一个n

级排列都可以经过k

次对换变成一个标准排列，且k

的奇偶性与原排列相同。（k

不唯一，但奇偶性不变）三阶行列式说明（1）三阶行列式共有6项，即3!项。（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积。二、n

阶行列式的定义（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列。例如列标排列312的逆序数为列标排列132的逆序数为偶排列奇排列定义由此，我们可以推广到n

阶行列式情形。表示对所有的n

级排列求和。说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；2、n阶行列式是n!项的代数和；3、n

阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n

个元素的乘积；5、一阶行列式|a|=a

不要与绝对值相混淆；4、的符号为三、计算几个特殊的行列式

例3

计算对角行列式（1）（2）解设，则其中t

是排列n(n-1)(n-2)…321的逆序数，所以于是例4

计算上（下）三角行列式同理，下三角行列式即上三角行列式四、n

阶行列式的另一种定义定理

n阶行列式也可以定义为其中t

为行标排列p1

p2…pn

的逆序数，表示对所有的n

级排列求和。1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的。2、n

阶行列式共有n!项，每项都是位于不同行、不同列的n

个元素的乘积，正负号由下标排列的逆序数决定。五、小结第三节

行列式的性质

一、性质

二、应用举例

三、小结行列式DT

称为行列式D

的转置行列式。

记利用行列式的定义来计算行列式是非常复杂的，所以我们要讨论行列式的性质。行列式D的转置行列式也可以记为D′。一、性质说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。性质1

行列式与它的转置行列式相等。如：性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。如：将行列式D

中相同的两行互换，其形式不变，但应变号，于是有D=-

D

，即D=0。

性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数

k，等于用数

k乘此行列式。推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。如：性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和则它等于下面两个行列式之和性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。例如例1二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算ri+krj

把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。解例2计算例3计算例4计算解从第四行开始，后行减前行（这里用到把几个运算写在一起的省略写法，注意各个运算次序不能颠倒，这是因为后一次运算是作用在前一次运算的结果上的缘故）－－－－－三、小结在计算行列式时，可以利用行列式的性质简化行列式（常常是化为上三角或者下三角行列式），再计算结果。简化过程就是利用性质对行列式的行与列进行变换。1、行列式的各性质与推论；2、利用性质计算行列式：行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。第四节

行列式的按行（列）展开

一、余子式与代数余子式二、按行（列）展开法则三、小结例如一、余子式与代数余子式定义在n

阶行列式中，把元素aij

所在的第i

行和第j

列划去后，留下来的n－1阶行列式叫做元素aij

的余子式，记作Mij

。叫做元素aij

的代数余子式。例如引理一个n

阶行列式，如果其中第i

行所有元素除aij

外都为零，那末这行列式等于aij

与它的代数余子式的乘积，即D=aij

Aij

。例如二、行列式按行（列）展开法则定理1n阶行列式等于它的任意一行的元素与自己的代数余子式的乘积之和，即同样，也等于它的任意一列的元素与自己的代数余子式的乘积之和，即仅看右边的n

个乘积中，对于任何一项aik

Aik

来说，Aik

的展开式是行列式D

中除去第i行第k

列的所有的不同行不同列的元素乘积的代数和，共有(n－1)!项，所以aik

Aik

就是行列式D

的展开式中含有aik

的(n－1)!项。当k

从1取到n

时，正好是行列式D

的展开式中的n!项。利用行列式的展开定理，可以把行列式进行降阶计算，一般可以选择含零较多的行或列，再利用行列式的性质把选定的行或列化成只含一个非零元素，这样展开后就可以直接把高一阶的行列式变成了一个低一阶的行列式来计算。例1

计算行列式

×(-a)例2

计算行列式例3

计算行列式例4

计算行列式解从第四行开始，后行减前行的2倍。这里用到把几个运算写在一起的省略写法，注意各个运算次序不能颠倒，这是因为后一次运算是作用在前一次运算的结果上的缘故。×（－2）×（－2）×（－2）

×（－4）×（－4）这是一个4阶范德蒙行列式。而对于一般的n

阶范德蒙行列式，有下面结果：证明时可采用数学归纳法。定理2n阶行列式中任一行（列）中的元素与另外一行（列）相应元素的代数余子式的乘积之和为零，即当i≠j

时，综合定理1、2，就得到了有关代数余子式的重要性质：

1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具。三、小结第五节

克莱姆法则

一、克莱姆法则

二、重要定理

三、小结设线性方程组则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组。非齐次与齐次线性方程组的概念一、克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为证明在把个方程依次相加，得由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组有唯一的一个解由于方程组与方程组等价,故也是方程组的解.如：三元线性方程组的系数行列式记或记即得得则三元线性方程组的解为:二、重要定理定理1

如果非齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组一定有解，且解是唯一的。定理2如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。齐次线性方程组的相关定理：定理3如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0则齐次线性方程组没有非零解。定理4如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。有非零解。系数行列式例1

用克莱