初中数学解题错误分析及对策-以一元二次方程为例

初中数学解题错误分析及对策——以一元二次方程为例目录TOC\o"1-2"\h\u9448摘要 初中数学解题错误分析及对策——以一元二次方程为例摘要：一元二次方程是在初中数学教学中的重难点内容,其在初中代数中的地位也至关重要.正确解题是解决数学问题的有效手段,在解题过程中发生错误是不可避免的,学习过程本来就是从无知到有知,从自知不多、不详到充分理解、掌握的过程.教学中如何对一元二次方程的题目解题错误引导学生纠正错误,不仅对教师是教学能力提升的过程,对学生更是对知识内容查漏补缺,加深理解的过程.论文通过查阅相关资料,利用分析、归纳、举例等方法,阐述了初中生在一元二次方程解题常见错误类型,并分析其原因,提出相关策略.关键词：初中数学；一元二次方程；错误原因；解题错误类型引言众所周知,一元二次方程是在初中数学教学中的重难点内容,其在初中代数中的地位也至关重要,且一元二次方程与一元二次不等式、一元二次函数关系密切,形成知识结构闭环系统,在各类考试中考点出题频率极高.一元二次方程在人类生产生活中,已经渗透到了方方面面,甚至在人类文明发展中,同样发挥着关键的作用,在外太空探测、外星人的文明,甚至在人类登月等重要的现代活动中都扮演着举足轻重的作用.最初开始研究一元二次方程用途大约始于公元前三千年,那时开始在古文明的生产中应用,一元二次方程,此后,应用研究涉及到更多的领域,形如天文、地理、农业、灌溉、人文、写作等方面,并且取得了伟大硕果.用一个变量的二次方程求解微分方程（后来称为二阶常系数方程）的发现也具有重要意义,原因在于一个变量的二次方程求解微分方程具有广泛性,并且可以解释为原始微分方程的解存在增大、减小或不变的可能,这个结论对于现代工程设计及应用尤为重要,结构工程师总是想方设法设计安全的结构及合理的机械设计.在这些设计里,小扰动的快速增长将导致结构故障（称为不稳定性）.未来,函数的发展必将给人们的工作、生活和教育带来长足而深远的影响,特别是一元二次方程,无论是从生活上还是教育上都做得非常出色.1一元二次方程的基本内涵1.1一元二次方程的概念等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元）,并且未知数项的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程[1].经过整理可化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)其中,ax2叫做一元二次方程的二次项,a是一元二次方程二次项的系数;bx叫做一元二次方程的一次项,b是一元二次方程一次项的系数;c教材中列举了两道应用题,一是关于计算切去面积的问题,二是关于排球邀请赛的问题.两题的解法都是通过先列出方程,接着经过整理及化简,最后类比一元一次方程的形式,找出两者间的相同点与不同点,从而一元二次方程的概念及形式就伴随而来.1.2一元二次方程的解法由于数学解题思路不同,对同一道数学题的解法也有多种解法,形成一题多解.在课堂教学中采用多方案教学,有助于巩固学生的基础知识,提高学生的解题技巧与技能;有助于调动学生的学习热情,激发学生的学习积极性;有助于培养学生的学习兴趣,提高学生的逻辑思维能力;据统计分析,在初中阶段解一元二次方程常用的方法有四种:=1\*GB3①直接开平方法;=2\*GB3②配方法;=3\*GB3③公式法;=4\*GB3④因式分解法.下面将通过实例阐述一元二次方程的四种解法.1.2.1直接开平方法该方法通过直接对等式两边求开平方实现方程求解,这种方法多用于缺少一次项的一元二次方程的求解,形如解方程a(x−k)2=b(a≠0,把(x−k)看作一个整体,就可转化为.开平方得.所以.比如,解方程:x2-9=x2解得x=±配方法该方法是利用恒等变形方法把解析式子变换成某些项配成一个或几个多项式的幂的形式.比如,解方程:8x原方程可整理为:x2配方得(x+1.5)2即可求解.用配方法解方程3x3x系数化为1得.方程等式的两边分别加上一次项系数的一半的平方得.方程等式的左边可化为.因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时,(x−1)例1运用配方法解x2解:x2把等式左边的常数项移到等式的右边,得x2等式的两边同时加16（即）,得x2等式的左边写成完全平方形式,得(x−4)直接开平方,得x−4=±15解之得x=4±15.x1检验:把x1(4显然,左边＝右边,所以x1同理,把x2所以x2=4−15例2运用配方法解3x2解:3x2移项,得3x2二项式系数化为1,得x2配方,得（x+1因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时,(x−1)2例3运用配方法解2x2解:2x2移项,得2x2二项式系数化为1,得x2配方,得x2(x+1)由此可得x1归纳以上得:（1）如果一元二次方程的二次项系数为1,可以直接运用配方法求解;（2）如果一元二次方程的二次项系数不为1,可以先把二次项系数化为1,再利用配方法求解;通常情况下,如果一元二次方程通过配方法转化成(x+n)2=p的形式,那么就有:=1\*GB3①当p＞0时,方程有两个不相等的实数根,即:x1=−=2\*GB3②当p=0时,方程有两个相等的实数根,即:x1=3\*GB3③当p＜0时,因为对任意实数x,都有x+n2≥0,所以方程没有实数根.1.2.3公式法公式法基于因式分解与整式乘法的逻辑关系,直接把各项系数代入求根公式求解.任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0a≠0,运用图1一元二次方程求根公式推导流程图因为a≠0,所以4a2＞0,但式子（1）,显然,则;方程有两个不相等的实数根,即;（2）b2−4ac=0,显然;（3）,显然,则,而x取任何实数都不能使,故该方程无实数根.一般地,式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（2）我们把公式（2）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)例4用公式法解5x2解:5x2移项,得5x2分析:a=5,b=即:,公式法的一般步骤是:（1）化一元二次方程为一般式:ax2（2）确定判别式△=b（3）当△＞0时,方程ax2根,实数根可以写为形式;（4）当△=0时,方程ax2（5）当△＜0时,方程ax21.2.4因式分解法对方程2x2−11x=0进行分析,这方程等式的右边为零,等式的左边可以提取公因数,则得x(2x−11)=0,显然,该方程等式的左边是两个一次因式的乘积,等式的右边为零;两个因式的积等于0,则这两个因式至少有一个等于0,所以x=0,或2x−11=0,所以该方程有两个根,即:x可以发现,上述解法中2x2−11x=0得出x对分解因式进行归纳:=1\*GB3①方程等式的左边是多项式;=2\*GB3②以乘积的形式表示因式分解的结果;=3\*GB3③每个因式都是整式,且每个因式的次数都应低于原多项式的次数;=4\*GB3④分解因式必须分解到使每个多项式因式不能再分解为止[2].十字相乘法是一种结合了数形结合思想的求解方法,概括一下便是将一元二次方程的二次项和常数项进行分解,交叉相乘后,把所得到的两个整式进行相加,如果正好等于一次项则证明分解成功,相关公式:.（3）.（4）例52x2针对这个方程,可以使用十字相乘法来计算,例如,先将二项式分解为2x和x,再将常数项15分解为-3和-5,并将这两组数呈现如下:x-32x图2十字相乘法分析图再将这两组数交叉相乘;2x与-3相乘,x与-5相乘,便是−6x与−5x,再将这两项相加,便得到了−11x,那么这个分解是成功的(如果相乘相加后得到的结果不是−11x,还需要对二次项和常数项重新分解,反复尝试直到找出正确的分解法,对不熟练的学生相对费时间),因此可以将该方程变形如下:所得的两个根分别是3和2.5,再将这两个根代入方程中,经过验算所求得的解无误,因此,十字相乘法运用成功;事实上,十字相乘法也不过是因式分解法的另一种特殊形式,然而在计算的过程中较之因式分解法更为艰涩一些,因为,不为0,这便给十字相乘带来了一定的难度,那些对十字相乘法不甚熟悉的同学建议慎用该方法.2数学解题错误原因综述数学解题易错并非偶然,而是存在一定的根源,特别是对于一些出错频率较高的题目,体现出在该知识点的教学上与教学目标存在较大差距.主要归结为两个方面:一是学生对知识点的理解不全面、不深入,导致解题出错;二是教师在教学环节中备课不全面、不系统,导致达不到知识点的教学效果要求.下面,结合相关的参考文献,我们探究学生在一元二次方程解题过程中常出现的解题错误类型及原因.2.1初中数学解题错误研究戴再平和罗增儒在对数学理论及解题研究中提出,学生的数学解题错误可分成四类:=1\*GB3①知识性错误,是指学生因为数学知识的缺乏造成的解题错误;=2\*GB3②策略性错误,是指学生因为解题策略选择不当造成的解题错误;=3\*GB3③心理性错误,是指学生因为存在某种心理障碍造成的解题错误;=4\*GB3④逻辑性错误,是指学生因为违背了解题的逻辑思维的形式或是推理论证不符合逻辑规则而造成的解题错误[3-4].朱艺峰在学位论文研究中,把学生各种数学错误产生归纳为以下四点:=1\*GB3①知识水平差异导致的错误;=2\*GB3②不良学习习惯导致的错误;=3\*GB3③心理因素导致的错误;=4\*GB3④教学方法不当导致的错误[5].徐兰在对初中学生数学解题错误的原因分析与对策研究中,把学生各种数学错误产生归纳为以下五类:=1\*GB3①数学概念不清;=2\*GB3②审题不仔细;=3\*GB3③没有良好的数学习惯;=4\*GB3④书法不规范;=5\*GB3⑤不能有效的检验[6].朱若愚在初中学生常见数学错误的类型及错误原因分析中,把学生各种数学错误原因归纳为以下六大类:=1\*GB3①概念性错误;=2\*GB3②审题错误;=3\*GB3③运算错误;=4\*GB3④心理因素;=5\*GB3⑤逻辑性错误;=6\*GB3⑥思维因素[7].在刘军、孔春花、薛彬、刘耀魁、翟洁莹等人的研究中,都初中归纳出学生产生数学解题错误的主要原因来自两个方面:一是小学数学的干扰;二是初中数学前后知识的干扰[8-12].唐小娟在初中数学解题错误原因分析及其对策研究中,分析学生各种数学错误产生原因是:=1\*GB3①知识学习上存在偏差;=2\*GB3②固定思维解题;=3\*GB3③分析题目存在偏差;=4\*GB3④其他知识影响[13].2.2有关初中一元二次方程的研究现状《数学》九年级上册教材（人民教育出版社,2013版）这样给一元二次方程下定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元）,并且未知数项的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程.经综述总结出,对一元二次方程的研究主要有以下这两个方面:教学研究和错题研究.初中数学解题中谈及到的错误研究,但是研究并不深入,更没有对一元二次方程教学中学生解题错误的专题研究,有且只有一些零散涉及到用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程错题的研究.陈沫在“一元二次方程”常见错误及分析中,将学生常见错误分为四类:=1\*GB3①忽略二次方程有实根的条件而导致错误;=2\*GB3②由于不等式及三角等知识的缺失,使解的范围扩大或缩小;=3\*GB3③将方程进行恒等变形时不考虑特殊情况,导致增减根的出现;=4\*GB3④对方程与其他数学知识（如:数与代）的联系缺漏而导致错误[14].欧阳虹在研究初中代数解题错误分析及对策——有关一元二次方程的问题中,认为学生解题错误原因:=1\*GB3①审题不清;=2\*GB3②概念不清;=3\*GB3③求易心理,忽视隐含条件;=4\*GB3④对定理、公式、法则的错误认识;=5\*GB3⑤思维定势的影响,套用相近的知识;=6\*GB3⑥情绪焦虑而造成的失误[15].王安文在对一元二次方程中典型错误分析中指出,导致一元二次方程解题错误主要原因是:=1\*GB3①忽视重根;=2\*GB3②忽视负的平方根;=3\*GB3③没有正确理解系数含有参数的一元二次方程的解法;=4\*GB3④在应用判别式时,没有考虑二次项系数不为零;=5\*GB3⑤没有必要考虑判别式;=6\*GB3⑥忽略了判别式;=7\*GB3⑦没有考虑两根之积的性质;=8\*GB3⑧没有正确理解两根之差;=9\*GB3⑨没有讨论二次系数是正还是负;=10\*GB3⑩混淆了条件的必要性和充分性[16].3一元二次方程解题错误类型分析曾有文献指出:错误在数学中和正确答案一样重要,错误帮助了数学的发展,错误帮助我们了解数学的来龙去脉,错误可作为诊断工具,让我们能了解学生心里可能的想法,错误并非漫无目的地发生,而是有其理由.学生的思维方式以及学习能力等方面个体性差异较大,造成学生在解题中常出现不可避免的错误类型,在研究一元二次方程解题错误类型时,有必要对错误进行系统而全面的分析,让学生了解自身存在的不完善,及时转变解题的思维方式、方法,正确采取解题策略,以提高解题正确率.根据在教学实践中对初中学生解一元二次方程常见错误分析,可归纳为七种错误类型:一是概念性错误;二是审题错误;三是新旧知识干扰;四是运算错误;五是心理因素;六是逻辑思维性错误;七是方法和策略错误.3.1概念性错误正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提.如果学生对数学概念和基本的数学事实理解不够准确和全面,概念适用范围把握不清,类似概念区别不清等原因,会导致在运用概念时,出现概念性错误.例6下列哪项属于一元二次方程（）.Ａ.2(x2−2)−11x=2x2C.;D.;分析:大家很容易选择A选项,看到A选项直接选择,做题只看表面,没有养成化简之后再判断的习惯;有少部分同学会选择B选项,这就体现同学们对方程的概念没掌握好,忽视了是方程的重要的条件（等式）;对于C选项,很多同学先把这一项排除掉,因为大家容易把当成字母,所以认为等式的左边不是整式方程;D选项中分母含有字母,不是整式;C选项二项式的系数虽然是形如分式的形式,但不是字母,而是一个常数;对于D选项,很多同学也会选择这一项,在一些情况下,他们经常分不清字母和常数,所以在这一项大家容易把a看做常数,他们认为等式两边都是整式,所以在这一项大家容易把a当做常数,不具体的数值,我们一般用字母来表示,故应选C.例7下列哪项属于一元二次方程（）.A.;B.;C.;D.;分析:对于A选项,很多同学认为y是一次项的系数,其实y也是一个未知数,所以该函数有两个未知数,所以该方程不是一元;对于B选项,这是不等式,而不是等式;对于C选项,主要考一元二次方程的一般形式,大部分同学都会选择这一项,同学们忽视了二次项系数不能为0,对一元二次方程的一般形式理解得不够深入,故应选D.例8下列方程中,哪项属于一元二次方程的一般形式（）.A.;B.;C.;D.;分析:对于A选项,等式两边都有5,同学们喜欢从表面做题,觉得左边的5和右边的5直接取消,右边就是0了,所以容易认为该方程是一元二次方程的一般形式;对于B选项,选这一项的同学比较多,因为大家的第一直觉该方程一般形式就是这样的,和课本一样,但大家没有考虑到是属于哪种的方程？这里少了a≠0,如果a=0,那该方程就不是一元二次方程了;例9关于方程5x2A.二次项的系数为5,一次项的系数为11,常数项为5;B.二次项的系数为5,一次项的系数为-11,常数项为-5;C.二次项的系数为3,一次项的系数为-11,常数项为-1;D.二次项的系数为3,一次项的系数为11,常数项为-1;分析:这一题主要考大家是否会把一元二次方程化成一般形式:（a≠0),还考大家是否掌握一元二方程各项系数的符号;对于A选项,没有先整理成一般形式,而且没有考虑各项系数的符号;对于B选项,没有养成先整理成一般形式,再找出各项的系数;对于D选项,忽略一次项系数的符号,故应选C.例10关于x的一元二次方程,则m=.分析:这一题80%的同学会算出m=±2,同学们没有代回原方程验证的习惯,只注意到一元二次方程的未知数的最高次数为2,忽略了一元二次方程的二次项系数不为0;这一题应该分两种讨论:=1\*GB3①当m=2时,把m=2代入原方程得,该方程是关于x的一元二次方程,所以m可以等于2;=2\*GB3②当m=−2时,把m=−2代入原方程得5x=−4,该方程是关于x一元一次方程,而不是关于x的一元二次方程,所以,故.3.2审题错误在教学过程中,教师要引导学生做好审题,因为审题是做好数学题目的第一步.在学生进行解题过程中,容易忽视审题的重要性,比如急于求成,担心考试时间不够,马虎审题,导致题目的条件与要求不理解,最终导致解题错误.例11已知一元二次方程的两个根分别是x1=5,xA.;B.;C.;D.;分析:学生在做此题时,由于审题粗心大意,就会误认为是分解因式,因而误选C选项者居多,正确的答案应为D选项.例12n为什么数值时,方程是关于x的一次方程?错解:因为是关于x的一次方程;所以.解得n1学生们解题的错误是他们只认为二次项系数为零,而忽略了一元一次方程的定义.正确解法是解之得:n=3.3新旧知识干扰随着中学知识的深入学习,学生知识的积累也越积越多,学习知识本身也会前后相互干扰,这种干扰的出现使学生在解决问题上犯了错误.例13找出的二次项系数、一次项系数以及常数项;错解:对进行移项得,所以的二次项系数,一次项系数和常数项分别为3、6、1;显然,这是受到小学和七年级内容的影响,关于移项的知识学不好以及没掌握好理数的减法相关内容.正解:先对进行移项得3x2−6x−1=0（注意移项时,从等式的一边移到等式的另一边,符号要改变;在等式的同一边移项,符号不变）,所以3.4运算错误数学能力的提升,很大程度上体现在运算能力水平的提高.在学生当中仍然存在重思维能力轻运算能力的思想,更没有形成学生系统的培养运算能力的专门训练,学生基本运算技能差而造成解题错误.例14解x2错解:等式两边同时除以x,得:x=所以,方程的解是:x=1.分析:学生在解题过程中的思考是不全面的,方程x2=x与x=1并不等价,或者说,在方程两边同时除以x的前提条件是,正解:.因式分解,得x(所以,方程的解得x1例15解(2x+8原解:因为(2x+8所以2x+8且3x−9=0解之得x=−4且x=3正解:因为(2x+8所以2x+8或3x−9=0解之得x1分析:学生容易在最后写结论的时候忽略“且”与“或”的不同,造成结果表达错误.3.5心理因素心理性错误是指学生在解题时,解题错误因为心理某些原因引起的,主要表现为由于缺乏一些非智力因素导致的疏忽错误.例16已知方程(m−3)x（1）求m的值;（2）写出其方程;（3）求该方程的解.错解:（1）因为所求方程是关于x的一元二次方程;所以m−1=2得.（2）由（1）得其方程为.①或−6x2+（3）解①式得.由②得△=201所以正解:由题意可知,所求方程是关于x的一元二次方程,所以m−1=且.得.所以原方程为.所以分析:学生看到这样的题,从表面看似很复杂,符号又多,特别看到绝对值符号就焦虑了,而且问的问题又多,做这题心里着急,不踏实而导致解题错误.3.6逻辑思维性错误逻辑思维性错误主要指学生在解题过程中由于违反逻辑思维的规则而引起的错误.在学生进行数学解题过程中,大部分学生专注于公式的选择和数学概念、定理、计算的正确性等方面,在解题过程中较少注意到逻辑思维关系.特别是在解方程、证明等类型题目中,题型的作答要求具有转化、推理等过程,这就必须满足一定的逻辑思维关系,而这种由于逻辑思维性的失误往往容易导致解题的“致命性错误”.例17关于方程2(x2A.二次项的系数为2,一次项的系数为12,常数项为-4;B.二次项的系数为6,一次项的系数为-12,常数项为-5;C.二次项的系数为-4,一次项的系数为-12,常数项为-1;D.二次项的系数为-4,一次项的系数为12,常数项为1;分析:这一题大部分的同学会选择B选择,学生在解题时没有养成按步骤来解的习惯,初中学生在解答数学题目的过程中,没有经过逻辑推理,单凭表面现象做出草率的判断导致错误发生.例18若方程的两个根均大于1,求k的取值范围.解错:不妨设方程的两根为x1、x2,即所以.产生错误原因是由,;即可得:,但反过来就不一定成立了.如x1=−4,x2=8,有,但;错在把必要条件当充分条件来用,事实上,,,则有,所以有△≥0解之得.3.7方法、策略错误方法和策略错误是指在用于解题的方法和策略不合适,或者存在不合理的情况.解题方法不对或是解题策略运用不合理,容易对题目误解.例19关于x的方程,当n为何值时,方程有实数根？错解:因为方程方程有实数根;所以.解得:.所以方程有实数根.正解:因为方程方程有实数根;当时,即.原方程化为.此时方程有且只有一个实数根,即.当时,即.原方程为一元二次方程,其中.即.且n≠4时,方程有两个实根.分析:方程具有实根,则有两种情况:有两个实根或一个实根.=1\*GB3①当方程为一元二次方程时,方程有两个实根;=2\*GB3②当方程是一元一次方程时,有一个实根.从以上分析可以得出,最后,必须对未知数的最高次系数进行分类和讨论,确定方程的精确解.综合以上所述,方程有实数根的条件是且n≠4.4减少一元二次方程解题错误的策略从以上分析得出,学生数学解题错误的主要原因关系有两方面,一方面与学生在解题过程中对概念、审题以及方法和策略等方面的不掌握有直接关系,另一方面在教学过程中也与教师的教学方法有着重要的关系.初中教师在教学准和在教学过程中,应该认真研究和分析如何避免学生解题错误.4.1重视一元二次方程相关概念的教学4.1.1抓要点,加强概念的教学狠抓概念教学.数学概念的理解是学习数学的基础,也决定了学生能否顺利正确的解题,由于学生对概念理解不够深入,只是表面上的认识,导致在解题过程中对题目的认识不够,所以,初中教师在加强概念的教学的同时,积极引导数学概念的形成过程,以加深学生对数学概念的认识.一元二次方程要满足三个基本要素:“一元”、“二次”、“整式”.在概念教学中隐含的一个重要的前提条件:先经过去分母、去括号、合并同类项等一系列化简以及整理后,再结合三个基本要求判别一元二次方程,这也是我们判断是否为一元二次方程的根本依据.4.1.2抓类比,对邻近的概念要善于类比善于开展类比教学.类比是对相近或相似的概念进行比较与区分,从而找出概念之间的异同点,提炼为知识点并用数学符号把概念表达出来.通过开展类比教学,逐步引导学生形成数学概念形成的过程,以加深学生对概念的理解.例如,在学习“一元二次方程”时,学生会联想到前面学的“一元一次方程”,这时学生会讨论得非常激烈,这时候教师先不着急讲解,而是先留一定的时间让学生从“一元二次方程”与“一元一次方程”找出相同点和不同点,接着让学生试着根据一元一次方程的概念给一元二次方程出概念,最后老师再作补充.4.1.3抓深化,数学概念在运用中巩固深化加强数学概念在运用中巩固深化,并遵从重视理解、复习、应用“三结合”原则.教师在进行数学概念教学时,不仅要教学生如何从具体到抽象形成概念的过程,还要让学生在实际解题中理解概念以及运用概念.一是尽量利用多种类型的题目讲解,以加强数学概念的巩固;二是采用“概念复述”的方式开展数学概念的复习,让学生从数学语言层面牢记概念;三是采用“做练习”的形式进行复习,让学生从做题层面牢记概念;四是结合生活例子进行概念教学时,从学生感兴趣的生活例子人手,让学生在看得见、摸得着的学习情境中领悟数学.4.2加强对定理、公式、法则的理解学好数学的法则并不是死记硬背,更多的是对定理、公式、法则的理解,深刻理解其内涵与实质,找出与之前相关内容的关系,从而达到能灵活运用的目的.所以,教师在进行定理、公式、法则的教学时,一定要引导学生在理解的基础上识记,而不是单纯的死记硬背,这样不仅使学生记得长久,还能提高解题能力.教师在讲一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)时,要说明这一般形式的作用,所以,详细分析其一般形式是有必要的,特别注意一点就是:ax2+bx+c=0(a≠0)中的一元二次方程的求根公式比较长,很多人不容易理解,有些学生只适应用配方法求解,因此,在推导解一元二次方程的求根公式教学中,教师应该多强调解一元二次方程公式法的来龙去脉.4.3提高学生的审题能力“善于解题的人,用一半的时间来理解问题,而用另一半时间完成解题”[17].从这句话我们知道,审题在数学解题中发挥着举足轻重的作用.无论题目简单还是困难,解题是否正确与是否认真审题紧密相连.教师在引导学生审题时也必须讲究技巧,而不是让学生一字不漏的读题目,要善于抓住题干中的关键词,读懂这些关键词隐藏着一些重要条件以及结论.如果在审题时学会提取题目中重要的关键词,将是提高解题正确率的重要途径.4.4提高学生的运算能力数学运算能力要在运算速度和运算正确率上下功夫,同时也要重视解题方法的有效选择.一元二次方程的解法灵活多样,在解题的过程中,如果不选择最佳的解题方法,解题过程就比较复杂.现在很多学生特别害怕运算很长的题目,这跟学生的运算能力有关,教师在进行计算题教学时,应该把角色留给学生,应该认真分析学生运算的思路,了解学生出现运算错误的原因,这样教师更有针对性地提高学生的运算能力.如果让学生求解关于x的一元二次方程,教师要引导学生对解出的x进行检验.即把解出来的x代入原方程,如果等式的左边等于等式的右边,则解出的x是正确的,相反,如果等式的左边不等于等式的右边,则解出的x是错误的.4.5提高学生的心理素质能力初中生解题错误与心理因素有很大的关系,所以生难免会出现心理焦虑等心理,教师要想方设法消除学生这种心理焦虑.可以通过以下方式进行:第一要“了解学生”,准确把握学生的心理活动以及学生解题时的心理影响因素,准确的找出学生解题的“症结”,结合“症结”,教师要做到耐心的心理辅导;第二是要“消除顾虑,促膝谈心”,通过师生谈心的方式找出解题错误的“症结”,从而达到克服心理障碍的目的;第三是要“激励表扬,宽容缺点”,教师在课堂上善于鼓励和表扬学生,鼓励与表扬能增强学生的自信,提高学生解题的正确率.4.6提高学生解题的逻辑思维能力作为一位初中数学教师,我们不能满堂灌、满堂练、满堂看,而是教师在教学中起到一个引导的作用,让学生处于主体作用,共同探讨,以提高学生解题的逻辑思维能力,从中体验问题解决的成功与失败,从而提升思考的能力,最后对数学产生乐趣.提高求解一元二次方程的正确率,仅靠感觉、知觉以及表象是不够的,更重要的是借助于活跃的思维才能完成.在现实生活中,我们经常听到数学的逻辑思维应该得到全方位的培养,从而提高学生解题的思维逻辑能力,这就要求教师在教学中想方设法设置问题情境,让学生在问题情境中感知数学的其中奥妙,并通过及时的引导,让学生参与到教师创设思维情境中,在达到提高学生解题的逻辑思维能力的同时,减少学生解题错误.4.7培养学生解题方法的能力学生是否能够快速而且准确的解题,很大程度上取决于学生对解题方法的选择.教师在教学中应该有意识地培训学生的心理品质,同时重视思维方式与解题技巧能力的培养,从而综合提高学生的解题能力与水平.4.8加强分析学生解题出错的原因初中学生的心理期变动较大,易受社会各种不良风气的影响,在解题时难免出现不同的错误,教师在教学中应该加强分析学生解题出错的原因.学生解题错误在所难免,即使解题方法正确,也有可能出现运算错误等,原因有很多,即便解同一道题目,学生出现错误原因也有可能不同,教师在讲解时,可以进行角色转换,结合解题错误原因,可以先让学生讲述解题的思路,教师应该认真聆听学生的解题思路,同时可以评估班上学生对该题目的理解程度.综合各种情况,引导学生把错误认识得更全面,避免只让学生知道正确答案,以后出现类似的题目可能会导致学生重复解错.4.9通过课堂纠正学生的解题错误在课堂上,教师应该根据学生解题错误类型有针对性地选择教学策略,并及时纠正学生的错误,避免学生把错误的思路长期存留在日常解题中,难于改掉.波利亚说过“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐,那么他的数学教育就在最重要的地方失败了”[18].学生的错误应该尝试让学生自己去发现,自己主动去分析.在初中时期,学生的学习科目比较多,特别到了初三,又是面临中考的复习考试,学生每天会有很多作业以及练习,教师没时间把所有的题目都进行详细讲解,因此,教师应该培养学生要学会自主的进行错误分析和改正的习惯,把一些容易解