工程数学(同名11658)

PAGEPAGE1《工程数学》1．设都是n阶方阵，则下列命题正确的是(A)．A．2．向量组的秩是（B）．B.33．元线性方程组有解的充分必要条件是（A）．A.4.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D）．D.9/255．设是来自正态总体的样本，则（C）是无偏估计．C.6．若是对称矩阵，则等式（B）成立．B.7．（D）．D.8．若（A）成立，则元线性方程组有唯一解．A.9.若条件（C）成立，则随机事件，互为对立事件．C.且10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记，则下列各式中（C）不是统计量．C.11.设为矩阵，为矩阵，当为（B）矩阵时，乘积有意义．B.12.向量组的极大线性无关组是（A）．A．13.若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（D）时线性方程组有无穷多解．D．1/214.掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C）.C.1/1215.在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（B）．B.未知方差，检验均值16.若都是n阶矩阵，则等式（B）成立．B.17.向量组的秩是（C）．C.318.设线性方程组有惟一解，则相应的齐次方程组（A）．A.只有0解19.设为随机事件，下列等式成立的是（D）．D.1．设为三阶可逆矩阵，且，则下式(B)成立．B．2．下列命题正确的是（C）．C．向量组,,O的秩至多是3．设，那么A的特征值是(D)D．-4，64．矩阵A适合条件（D）时，它的秩为r．D．A中线性无关的列有且最多达r列5．下列命题中不正确的是（D）．D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量6.掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（B）．B．1/17．若事件与互斥，则下列等式中正确的是．A．8.若事件A，B满足，则A与B一定（A）．A．不互斥9．设,是两个相互独立的事件，已知则（B）B．2/310．设是来自正态总体的样本，则（B）是统计量．B．1.若，则（A）．A.32.已知2维向量组，则至多是（B）．B23.设为阶矩阵，则下列等式成立的是（C）．C.4.若满足（B），则与是相互独立．B.5.若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（D）成立．D.1．设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是()．A．2．方程组相容的充分必要条件是()，其中，．B．3．设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为()．B．0，64.设A，B是两事件，其中A，B互不相容，则下列等式中（）是不正确的．C.5．若随机变量X与Y相互独立，则方差=（）．D．6．设A是矩阵，是矩阵，且有意义，则是(B．)矩阵．7．若X1、X2是线性方程组AX=B的解，而是方程组AX=O的解，则（）是AX=B的解．A．8．设矩阵，则A的对应于特征值的一个特征向量=()C．1，1,09.下列事件运算关系正确的是（）．A．10．若随机变量，则随机变量（N2.,3））．D．11．设是来自正态总体的样本，则（）是的无偏估计．C．12．对给定的正态总体的一个样本，未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（）．B．t分布⒈设，则（D）．D.－6⒉若，则（A）．A.1/2⒊乘积矩阵中元素C.10⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）．B.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）．D.⒍下列结论正确的是（A）．A.若是正交矩阵，则也是正交矩阵⒎矩阵的伴随矩阵为（）．C.⒏方阵可逆的充分必要条件是（B）．B.⒐设均为阶可逆矩阵，则（D）．D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是A.⒈用消元法得的解为（C）．C.⒉线性方程组（B）．B.有唯一解⒊向量组的秩为（A）．A.3⒋设向量组为，则（B）是极大无关组．B.⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）．D.秩秩⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）．可能无解⒎以下结论正确的是（D）．D.齐次线性方程组一定有解⒏若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出．A.至少有一个向量9．设A，Ｂ为阶矩阵，既是Ａ又是Ｂ的特征值，既是Ａ又是Ｂ的属于的特征向量，则结论（）成立．Ｄ．是A+B的属于的特征向量10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为阶矩阵，若等式（Ｃ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．⒈为两个事件，则（B）成立．B.⒉如果（C）成立，则事件与互为对立事件．C.且⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D）．D.4.对于事件，命题（C）是正确的．C.如果对立，则对立⒌某随机试验的成功率为,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D）．D.6.设随机变量，且，则参数与分别是（A）．A.6,0.87.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A）．A.8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B）．B.9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（D）．D.10.设为随机变量，，当（C）时，有．C.⒈设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A）是统计量．A.⒉设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计D.二、填空题（每小题3分，共15分）1．设均为3阶方阵，，则-18．2．设为n阶方阵，若存在数和非零n维向量，使得，则称为的特征值．3设随机变量，则a=0.3．4．设为随机变量，已知，此时27．5．设是未知参数的一个无偏估计量，则有．6．设均为3阶方阵，，则8．7．设为n阶方阵，若存在数和非零n维向量，使得，则称为相应于特征值的特征向量．8．若，则0.3．9．如果随机变量的期望，，那么20．10．不含未知参数的样本函数称为统计量．11.设均为3阶矩阵，且，则-8．12.设，．213.设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为.⒏若为正交矩阵，则0．⒐矩阵的秩为2．⒑设是两个可逆矩阵，则．⒈当1时，齐次线性方程组有非零解．⒉向量组线性相关．⒊向量组的秩３．⒋设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量是线性相关的．⒌向量组的极大线性无关组是．⒍向量组的秩与矩阵的秩相同．⒎设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有2个．⒏设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为．9．若是Ａ的特征值，则是方程的根．10．若矩阵Ａ满足，则称Ａ为正交矩阵．⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2/5．2.已知，则当事件互不相容时，0.8，0.3．3.为两个事件，且，则．4.已知，则．5.若事件相互独立，且，则．6.已知，则当事件相互独立时，0.65，0.3．7.设随机变量，则的分布函数．8.若，则6．9.若，则．10.称为二维随机变量的协方差．1．统计量就是不含未知参数的样本函数．2．参数估计的两种方法是点估计和区间估计．常用的参数点估计有矩估计法和最大似然估两种方法．3．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性．4．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量．5．假设检验中的显著性水平为事件（u为临界值）发生的概率．三、（每小题16分，共64分）A1．设矩阵，且有，求．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2.设矩阵，求．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法得3.已知，其中，求．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法运算得4.设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求．1.解：由矩阵减法运算得利用初等行变换得即由矩阵乘法运算得5．设矩阵，求（1）；（2）．（1）=（2）因为=所以=．6．设矩阵，解矩阵方程．解：因为，得所以．7设矩阵，求（1），（2）．解1）（2）利用初等行变换得即89．设矩阵，求：（1）；（2）．解：（1）因为所以．（2）因为所以．10．已知矩阵方程，其中，，求．解：因为，且即所以11．设向量组，，，，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．解：因为（）=所以，r()=3．它的一个极大线性无关组是（或）．1⒉设，求．解：13写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．：14求矩阵的秩．解15．用消元法解线性方程组方程组解为A2．求线性方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解.方程组相应的齐方程的一般解为（其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系.于是，方程组的全部解为（其中为任意常数）2.当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。………7分此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）……16分3.求线性方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解.方程组相应的齐次方程的一般解为（其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系.于是，方程组的全部解为（其中为任意常数）4.求线性方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时相应齐次方程组的一般解为是自由未知量令，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）5．设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解．因为得一般解：（其是自由元）令，得；令，得．所以，是方程组的一个基础解系．方程组的通解为：，其中是任意常数．6．设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，解：因为A=时，，所以方程组有非零解．方程组的一般解为：，其中为自由元．令=1得X1=，则方程组的基础解系为{X1}．通解为k1X1，其中k1为任意常数．求出通解．7.当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。………8分此时相应齐次方程组的一般解为是自由未知量）分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为8.k为何值时，线性方程组．9．求齐次线性方程组的通解．解：A=一般解为，其中x2，x4是自由元令x2=1，x4=0，得X1=；x2=0，x4=3，得X2=所以原方程组的一个基础解系为{X1，X2}．原方程组的通解为：，其中k1，k2是任意常数．10．设有线性方程组 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：］ 当且时，，方程组有唯一解当时，，方程组有无穷多解11．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其中解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解这里 方程组无解 不能由向量线性表出12．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关解：该向量组线性相关13．求齐次线性方程组的一个基础解系．解： 方程组的一般解为令，得基础解系14．求下列线性方程组的全部解．解：方程组一般解为令，，这里，为任意常数，得方程组通解A3．设，试求:(1)；(2)．（已知）解：1(22.设，试求：(1)；(2)（已知）解：(1)(23..设，求和.（其中,）解：设==4.设，试求⑴；⑵．（已知）解：⑵5．某射手射击一次命中靶心的概率是0.8，该射手连续射击5次，求：（1）命中靶心的概率；（2）至少4次命中靶心的概率．解：射手连续射击5次，命中靶心的次数（1）设：“命中靶心”，则．（2）设：“至少4次命中靶心”，则．6．设是两个随机事件，已知，，，求：（1）；（2）．解（1）===（27．设随机变量X的密度函数为，求：(1)k；(2)E(X)，D(X)．解：（1）因为1====3k，所以k=(2)E(X)===E()==D(X)=E()-=8．设随机变量X~N（8，4）．求和．(，，)．解：因为X~N（8，4），则~N（0，1）．所以======0.383．==.9.设，试求⑴；⑵．（已知）解：⑴⑵‘10.假设A,B为两件事件，己知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|)=0.4,求P(A+B)解：P()=P()P(B|)=0.50.4=0.2．P(AB)=P(B)－P(B)=0.6－0.2=0.4P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.7。11．设随机变量．（1）求；（2）若，求k的值．（已知）．解：（1）＝1－=1－＝1－（）=2（1－）＝0.045．（2）＝1－＝1－即k－4=-1.5，k＝2.5．12．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B=“取到3颗棋子颜色相同”，则（1）．（2）．13．设随机变量X~N（3，4）．求：（1）P（1<X<7）；（2）使P（X<a）=0.9成立的常数a．(，，)．解：（1）P（1<X<7）====0.9973+0.8413–1=0.8386（2）因为P（X<a）===0.9所以，a=3+=5.5614．从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得=21，求的置信度为95%的置信区间．(已知)解：已知，n=64，且~因为=21，，且所以，置信度为95%的的置信区间为：．15.设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件：⑴中至少有一个发生；⑵中只有一个发生；⑶中至多有一个发生；⑷中至少有两个发生；⑸中不多于两个发生；⑹中只有发生．解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)16.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率：⑴2球恰好同色；⑵2球中至少有1红球．解:设=“2球恰好同色”，=“2球中至少有1红球”17.加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．解：设“第i道工序出正品”（i=1,2）18.市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．解：设19.某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布．解：……故X的概率分布是20设随机变量的概率分布为试求．解：21.设随机变量具有概率密度试求．解：22.设，求．解：23.设，计算⑴；⑵．解：24.设是独立同分布的随机变量，已知，设，求．解：A4．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg／cm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．解：零假设．由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。2某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间．解：由于已知，故选取样本函数…已知，经计算得滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为3某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：千克）为14.7,15.1,14.8,15.2可否认为这批零件的平均重量为15千克(已知)？解：零假设．由于已知，故选取样本函数经计算得，已知，故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克4某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s=0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，）解：零假设．由于未知，故选取样本函数已知，经计算得由已知条件，故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。5.已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？解：零假设．由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故接受零假设，即零件平均重量仍为15．6．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常(,)？解：零假设.由于已知，故选取样本函数～经计算得，，由已知条件，且故接受零假设，即该机工作正常.7．设对总体得到一个容量为10的样本值4.5,2.0,1.0,1.5,3.5,4.5,6.5,5.0,3.5,4.0试分别计算样本均值和样本方差．解：8．设总体的概率密度函数为试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数．解：提示教材第214页例3矩估计：最大似然估计：9．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）：108.5109.0110.0110.5112.0测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值．并在⑴；⑵未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间．解：（1）当时，由1－α＝0.95，查表得：故所求置信区间为：（2）当未知时，用替代，查t(4,0.05)，得故所求置信区间为：10．设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立．解：，由，查表得：因为>1.96，所以拒绝11．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0,20.2,20.1,20.0,20.2,20.3,19.8,19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）．解：由已知条件可求得：∵|T|<2.62∴接受H0即用新材料做的零件平均长度没有变化。四、证明题（本题6分）1．设是阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵．证明：是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知已知是对称矩阵，故有，即由此可知也是对称矩阵，证毕．2设