《数学分析》第六章-多元函数积分学

第四章多元函数积分学一、本章知识脉络框图重积分重积分概念二重积分与累次积分二重积分换元法计算二重积分极坐标法其他换元法概念三重积分与累次积分二重积分换元法计算三重积分柱面坐标法椭球坐标法其他换元法应用几何应用物理应用体积重心、引力、转动惯量l为D的边界第二类曲线积分l为D的边界第二类曲线积分（与l的方向有关）Green公式第一类曲线积分曲线积分第一类曲面积分第一类曲面积分曲面积分第二类曲面积分（与l曲面积分第二类曲面积分（与l的方向有关）Guass公式Guass公式Stokes公式Stokes公式(的侧与的方向按右手法则)二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面内容：二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.本章的基本知识要点=1\*GB4㈠二重积分1.性质：假设性质中所涉及的函数的积分均存在（1）有界性若在上可积，则在上有界，（可积的必要条件）.（2）线性性若均在上可积，为任意实常数，则仍在上可积，且.（3）区域可加性设，其中与的内部不相交则在上可积的充要条件是在和上均可积，且=+.（4）单调性若在任区域上，，则.特别地：当时，有.当时，有，其中表示的面积.（5）.（6）中值公式若在上连续，在上可积且不变号，则存在，使。特别，当时，，其中表示的面积.2.可积的条件=1\*GB2⑴充要条件：若在上有界，则在上可积当且仅当:，存在的某分割，使得，其中称为在上的振幅.=2\*GB2⑵充分条件：=1\*GB3①设在上连续且有界，则在上可积.=2\*GB3②设在上只有有限个间断点且有界，则在上可积.=3\*GB3③若在上有界且不连续点分布在内的一条或有限条光滑或逐断光滑的曲线上，则在上可积.3．两类典型的简单区域（1）型区域： 其中其图形如下图所示.型区域：，其中.其图形如下图示.4．常用计算方法（1）化为单重积分计算=1\*GB3①若在型区域上连续，，均在上连续，则.=2\*GB3②若在型区域上连续，，均在上连续，则.（2）利用变量替换如果利用变量替换将平面上的有界闭区域一一地变成平面上的有界闭区域，且，.若在上连续，则.其中：=1\*GB3①如果利用广义极坐标变换将平面上的有界闭区域一一地变成平面上有界闭区域，在上连续，则.特别地，当则上式变为极坐标变换公式.=2\*GB3②若区域是由两族光滑曲线中各取两条曲线所围成，且在上连续，则可以作变量替换，从而得到，其中为的反函数组.注：=.=3\*GB3③几种特殊的可转化为一元积分的二重积分（=1\*romani）其中；（=2\*romanii）,其中；.=3\*GB2⑶利用对称性计算二重积分=1\*GB3①设积分区域关于轴对称，表示的上半部分.（=1\*romani）若在内有，则；（=2\*romanii）若在内有，则；=2\*GB3②设积分区域关于直线对称，表示的在上那半部分.则（=1\*romani）（=2\*romanii）若在内有，则；（=3\*romaniii）若在内有，则；=2\*GB4㈡三重积分1.性质假设性质中所涉及的函数均可积(1)有界性：:若在V上可积,则在上V有界.(2)线性性：:若均在V上可积,为任意实常数,则仍在V上可积,且.(3)可加性：设其中的内部不相交,则在V上可积的充要条件是在上均可积且.(4)单调性：若在区域V上则.特别地:当时,,其中表示V的体积.(5)(6)中值公式：若在V上连续,在V上可积且不变号,则存在,使.(7)积分为零的几种特殊情形：=1\*GB3①若在区域上非负连续,则;=2\*GB3②若在区域上连续,则总有;=3\*GB3③若在区域上连续且对上任意可积函数，都有,则.2.几类空间简单区域=1\*GB2⑴坐标型区域=1\*GB3①Z型区域:.其中为在平面上的投影区域.=2\*GB3②Y型区域:.其中为在平面上的投影区域.=3\*GB3③X型区域:.其中为在平面上的投影区域.=2\*GB2⑵关于坐标轴的截面区域=1\*GB3①关于Z坐标轴的截面区域,其中为过Z轴上点且与Z轴垂直的平面与相截得截面在平面上的投影区域.=2\*GB3②关于Y坐标轴的截面区域,其中为过Y轴上点且与Y轴垂直的平面与相截得截面在平面上的投影区域.=3\*GB3③关于X坐标轴的截面区域,其中为过X轴上点且与X轴垂直的平面与相截得截面在平面上的投影区域.3．常用计算方法=1\*GB2⑴化为累次积分（1+2）的计算公式=1\*GB3①若为Z型区域,则.进一步地，如果区域还是平面上的简单区域，则公式进一步变为.如果区域还是平面上的简单区域，则公式进一步变为.=2\*GB3②若为Y型区域,则.=3\*GB3③若为X型区域,则.=2\*GB2⑵化为累次积分（2+1）的计算公式=1\*GB3①若V为关于Z轴的截面区域，则.=2\*GB3②若V为关于Y轴的截面区域，则.=3\*GB3③若V为关于X轴的截面区域,则.=3\*GB2⑶利用变量替换如果利用变量替换，将空间上的有界闭区域一一变成空间上的有界闭区域,,则.=1\*GB3①利用坐标变换,将空间上的区域一一变成空间上的区域,则.=2\*GB3②利用椭球坐标变换,将空间上的区域一一变成空间上的区域，则.特别地，当时,上式公式为球面坐标变换公式,即利用球坐标变换,将空间上的区域一一变成空间上的区域，则.=3\*GB3③若为球形区域,令,则.=3\*GB4㈢第一型曲线积分和曲面积分1.性质（和二重积分、三重积分类似）第一型曲线（曲面）积分与定积分、重积分的性质类似.常用计算方法=1\*GB2⑴第一型曲线积分的参数方程计算公式=1\*GB3①设平面光滑曲线L的参数方程为，在L上连续，则.特别地，当曲线L：时，。=2\*GB3②设空间光滑曲线L的参数方程为，在L上连续，则.=2\*GB2⑵第一型曲面积分的计算公式=1\*GB3①设在曲面S上连续，S的方程为，它在平面上的投影区域为D，且在D上有一阶连续的偏导数，则.=2\*GB3②设在曲面S上连续，曲面S用参数方程，，表示，且中至少有一个不为零，则，其中。=3\*GB2⑶利用对称性计算=1\*GB3①设平面光滑曲线：关于原点对称，在上连续，（=1\*romani）若，则，其中表示的右半部分；（=2\*romanii）若，则；=2\*GB3②设平面光滑曲线：关于轴对称，在上连续.（=1\*romani）若，则；（=2\*romanii）若，则，其中表示的上半部分；=3\*GB3③设是空间有界闭区域，是关于平面对称的分片光滑曲面，表示上半部分，函数在上连续.（=1\*romani）若，则；（=2\*romanii）若，则；=4\*GB4㈣第二型曲线积分与曲面积分1．性质第二型曲线（曲面）积分除只有第一型曲线（曲面）积分的运算性质（即线性性，曲线曲面可加性）外，还具有有向性，即=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；2.第一、二型积分之间的关系=1\*GB2⑴第一、二型曲线积分的关系=1\*GB3①设平面有向曲线L上任一点的切线正向的方向角为，，则.=2\*GB3②设空间有向曲线L上任一点的切线正向的方向角为则.=2\*GB2⑵第一、二型曲面积分的关系常用计算方法（1）第二型曲线积分计算公式=1\*GB3①设平面有向光滑曲线的参数方程为，且当参数由变到时，曲线上动点从的起点A运动到终点B，在上连续，则.特别地，当：，时，且起点对应，终点对应，则.当：时且起点对应终点对应则.=2\*GB3②设空间有向光滑曲线的才参数方程为。其中L的起点对应，终点对应，则.=2\*GB2⑵第二型曲面积分的基本公式=1\*GB3①设P、Q、R是定义在有向光滑曲面S上的连续函数，且S的方程为，其中为S在平面上的投影，则，其中S取上则。同理，当S的方程为时，有类似的计算公式=3\*GB2⑶其他常用公式=1\*GB3①格林公式：设平面有界区域D的边界为L，在D及边界L上具有一阶连续的偏导数，则，其中L取正向。=2\*GB3②格林第二公式：，其中D为光滑封闭曲线L所围成的区域，，分别表示u,v沿L的外法线的方向导数，，L取正向。注：，其中，表示L的法线正向的方向角。=3\*GB3③奥高公式：设空间有界区域V的边界为S，函数P,Q,R在V及S上具有一阶连续的偏导数，则，其中S取正侧。注：当V为单连通时，S的正则为外侧；当V为多连通时，S的正则由外边界的外侧和内边界的内侧构成。=4\*GB3④斯托克斯公式：设S是逐片光滑曲面，其边界为逐段光滑曲线L，曲面S的正侧与L的正向符合右手法则，如果P,Q,R在S及L上均具有一阶连续的偏导数，则注：右手法则：设S是空间上的光滑曲面，其边界曲线为L，取定S的一侧为正侧，伸开右手手掌，以拇指方向指向此侧的法线方向，其余四指伸开微曲，并使曲面S在手掌的左侧，则其余四指所指的方向就是边界曲线L的正向，反之亦然。=4\*GB2⑷几个常用特殊结果=1\*GB3①平面区域D的面积公式：，其中L为D的正向；=2\*GB3②设L为任一条封闭光滑曲线，则；=3\*GB3③高斯积分（=1\*romani）=，其中，L为无重点的封闭光滑曲线，表示L的外法线方向.(=2\*romanii)=,其中S是光滑封闭曲面，，表示S的外法线方向.=5\*GB2⑸利用对称性计算=1\*GB3①设平面有向光滑曲线：关于原点对称，在上连续.（=1\*romani）若，则，其中表示的右半部分；（=2\*romanii）若，则；（=3\*romaniii）若，则，其中为的右半部分；（=2\*romanii）若，则；=2\*GB3②设平面有向光滑曲线：关于轴对称，在上连续.（=1\*romani）若，则，其中表示的上半部分；（=2\*romanii）若，则；（=3\*romaniii）若，则，其中为的上半部分；（=2\*romanii）若，则；=3\*GB3③是关于平面对称的分片光滑曲面，为上半部分，函数在上连续.（=1\*romani）若，则；（=2\*romanii）若，则；四、基本例题解题点击【例1】记,其中,则之间的大小关系是__________________。【提示】采用极坐标变换，将被积函数进行大小比较。应填写：。【例2】设L是顺时针方向的椭圆,其周长为,则=______.【提示】本题可以通过定义去做，但计算量不小。如果利用对称性计算则简单很多.【解】对称性得，而.从而.【例3】设为连续偶函数，试证明,其中D为正方形。【提示】本题左边被积函数,可以考虑运用变换.【证明】作变换，则。积分范围.故左边.又为连续偶函数，故，其中为的右半部分.即：.从而.【例4】求,其中是球面与柱面()的交线（），L的方向规定为沿L的方向运动时轴正向往下看，曲线L所围部分总在左边. 【提示】直接通过L的参数方程进行计算是不现实的，我们考虑用斯托克斯公式，而且计算过程中尽量利用被积函数和积分曲线的对称性。【解】记L所围球面部分的外侧为，由已知所规定方向知为正侧.如图：其中是球面上每一点处的单位法向量。显然：。因此。又因为曲面关于平面对称，所以.从而。其中D为在平面中的投影.【例5】计算,其中是由所围的区域，是连续函数。【提示】此题中被积函数有两部分，其中一部分稍简单，可以考虑分开计算.【解】令,原积分区域如上图。 。。因为是奇函数，所以。从而。【例6】计算,其中.【提示】因为积分区域对称性强，但是利用函数奇偶性却效果不大，因此可以考虑试试利用积分区域关于对称.【解】因为积分区域关于对称.，因此【例7】计算积分，其中是以点，，，为顶点的正方形的边界逆时针方向.【提示】显然直接计算和利用格林公式都不能解决问题，由积分路线具有对称性去考虑可以找到突破口.【解】设，则.从而由积分路线关于轴对称得，从而.设,则.从而由积分路线关于轴对称得.【例8】设函数在内具有连续导数，求积分，其中C是从点到的线段。【提示】被积函数两部分有关联，且可导，是否可以考虑积分与路径无关？【解】设,则.从而积分与路径无关。故将积分路径改为是从点到的线段和从到的线段连接起来的折线。。在上式右边第一个积分中令得：原式.【扩展提示】事实上，将题中两点改为，其中可求出积分为。见桂文豪所著《大学生数学竞赛与研究生入学考试辅导》【例9】设曲线C为，。试证：。【证明】令,则.从而。。即得【例10】计算其中,取外侧.【解】设的左侧,。则原式=(由对称性),【例11】计算，其中分别为：从（0,0）到（1,1）的直线段：从（0,0）到（1,1）的抛物线的一段：从（0,0）到（1,0）的直线段和从（1,0）到（1,1）的直线段所构成有向折线。【解】（1）的方程为：，所以（2）的方程为：，所以（3）的方程为：，的方程为：，所以【例12】求其中为【提示】若在面的投影区域为D，则.【解】五、扩展例题解题点击【例1】求【提示】直接通过放缩法等去求此极限有一定困难，可以考虑用定积分的定义/【解】将将分成个小区域，每个小区域的面积都是，取则【例2】计算积分【提示】此题关键要利用符号函数的性质【解】【例3】设函数与都是上递增的连续函数，且都不是常值函数。证明.【证明】令.则交换与的位置得所以因与都是递增的连续函数，故因与都不是常值函数，所以即S>0，从而【例4】计算积分.【解】【例5】设f是区间上的连续函数，证明【证明】由于对任意实数u，皆有因而【例6】已知函数在上连续，证明【证明】【例7】已知及求。【解】【例8】设，试证明不等式【证明】.被积函数是莱布尼兹型级数，因此有.由于..故.【例9】求【解】.【例10】设函数在上连续，对任意，设是以为中心，含与D内且各边与D的边平行的最大正方形，若总有，证明在D上【证明】对，设不妨设，如右图，取正方形，则由题设有记，则如此下去得其中当时，当时，因此若存在，有，不妨设，则由于连续，故存在包含，且全部位于D内的正方形使在上，，故另一方面矛盾，故在D上【例11】设上连续，证明【证明】改变积分顺序得【例12】.给定积分。作正则变换，区域D变成，如果变换满足，试证：【证明】由积分变换公式知，而，则.所以.【例13】设是上二盗连续可微函数且,计算积分.【提示】本题被积函数有一阶偏导，而已知条件为二阶偏导，可以考虑昝用曲线曲面积分与二重积分之间的关系进行转换。【解法一】采用极坐标：，则。【解法二】设为曲面（部分）上侧，则在平面内的投影区域为且。从而令为：下侧，为与所围区域。则。从而【例13】已知平面区域，为的正向边界，试证：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵【提示】可直接通过定义进行计算.【证明】=1\*GB2⑴左边=;左边=;所以左边=右边.=2\*GB2⑵因为,所以。从而