2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第十章 第七讲　正态分布 学案

第七讲正态分布

■双基自测

知识梳理

知识点一正态曲线及其性质

I(尢—

(1)正态曲线：函数式幻=不藕e——斤一，χ∈(-oo,+∞),其中实数〃和

a(c>o)为参数.我们称函数yu)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲

线，简称正态曲线.期望为〃、标准差为。的正态分布通常记作X〜N3,M).

(2)正态曲线的性质：①曲线位于》轴_ɪ^,与X轴不相交；②曲线是单

峰的，它关于直线X=Ll对称:③曲线在2口_处达到峰值志；④曲线与X

轴之间的面积为」一；⑤当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化

而沿着X轴平移;⑥当〃一定时，曲线的形状由α确定,α越小，曲线越“瘦高”，

表示总体的分布越连里一；。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越上遨

知识点二正态分布

(1)正态分布的定义及表示.

若随机变量X的概率分布密度函数为TU)=£岔e-&方x∈R,则称随

机变量X服从正态分布，记为X〜N(μ,o2).

特别地，当〃=0,片1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X〜MO,1).

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3c原则)：

①PR-σ≤X≤ju+⑻-0.6827:

②Ps-2cWXW"+2α)-0.9545:

③P(Zz-3σ≤X≤∕z+3σ)≈0.9973.

3σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是

说3c之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常

等.

归纳拓展

对于正态分布M«,σ2),由X=〃是正态曲线的对称轴知

(I)P(X=P(XJI)=0.5；

(2)对任意的a有P(X<〃一α)=P(X>〃+。)；

(3)P(X<xo)=1-P(XeXo);

(4)P(α<X<∕?)=P(X<h)-P(XWa).

注：在X服从正态分布，即X〜Na，σ2)时，要充分利用正态曲线的关于直

线对称和曲线与X轴之间的面积为1.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定∙(J)

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，

方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(√)

(3)正态分布中的参数〃和C完全确定了正态分布，参数〃是正态分布的均

值，。是正态分布的标准差.(√)

(4)若X〜Mo,1),则KX<—；)<&»；).(X)

题组二走进教材

2.(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：Cm)近似服从正态

分布N(170S),贝IJp(ɪ65<χ≤180)=0.8186.

a”-JP(170-5<X<170+5)P(170-10<X<170+10)

［解析］P(165<X≤180)=------------2-------------+--------------2--------------=

0.6827+0.9545

=0.8186.

2

题组三走向高考

3.(2022∙新高考Il卷)已知随机变量X服从正态分布NQ,σ2),且P(2<X≤2.5)

=0.36,则P(X>2.5］=0.14.

［解析］因为X〜N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)

-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.

4.(2015・湖北)设X〜M/”，/)，Y〜Ng£),这两个正态分布密度曲线如

图所示，下列结论中正确的是(C)

A.

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σι)

C.对任意正数3P(XWz)NP(YWf)

D.对任意正数3P(X2∕)2P(ye∕)

［解析］由正态分布密度曲线的性质可知，X〜N(μι,σι),Y〜NQn,成)的密

度曲线分别关于直线X=μux=〃2对称，因此结合题中所给图象可得，⑷<〃2,

所以P(y»〃2)<P(ye〃i),A错误；又X〜N(μι,σ?)的密度曲线较Y~N(μ2,£)

的密度曲线“瘦高”，所以⑦<σ2,所以P(XWe)>P(XWm),B错误；对任意正

数3P(X≤∕)2P(Y≤t),P(X2t)WP(Y》f),C正确,D错误.

5.(2021.全国新高考II)某物理量的测量结果服从正态分布Ml。，σ2),下列

结论中不正确的是(D)

A.C越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.0越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.a越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.q越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

［解析］对于A,σ2为数据的方差，所以。越小，数据在〃=10附近越集中，

所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概

率为0.5,故B正确；

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于

10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；

对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)

的概率不同，所以一次测量结果落在(9910.2)的概率与落在(I(Mo.3)的概率不同，

故D错误.故选D.

•互动探究

考点一正态分布的性质—自主练透

例1（1）（2023•广东佛山南海区、三水区联考）李明上学有时坐公交车,

有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析

得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时丫都服从正态分布，X〜N（μ6）,Y〜

Na2.22）.X和y的分布密度曲线如图所示.

则下列结果正确的是（C）

A.D(X)=6

B.μι>μ2

C.P(XW38)<P(YW38)

D.P(X≤34)<P(y≤34)

(2)(2022.河北唐山模拟)已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，随机变量Y

服从正态分布ML1)，且P(X>l)=0∙1587,则P(1<Y<2)=(B)

A.0.1587B.0.3413

C.0.8413D.0.6587

［解析］(1)由题意知。(X)=36,A错;由图知〃ι=30,.2=34,.∙√Z1<M2,B

错；又P(X≤34)>P(XW30)=g=P(YW34),D错.故选C.事实上

1—P(JUI一8≤X≤∕∕ι+8)

P(X≤38)=1--------——2------——

1,P(∕∕∣-8≤x≤∕∕ι+8)

=2+2

lP(∕∕ι-12≤X≤^1+12)

W尹2

=打如WWl=P晔38).

（2）由正态曲线的性质知，随机变量x、丫的正态曲线形状相同，（如图）.

由题意P(y>2)=P(X>l)=0.1587,

ΛP(l<y<2)=O.5-O.1587=0.3413.

故选B.

名帏A拨MINGSHIDIANBO

对X〜N〃，，）中的〃，。的意义不清楚，特别是对〃的认识不清楚，就会在

解题时无从下手，导致随便给出一个结果.这里〃是随机变量X的均值，。是标

准差，X="是正态分布密度曲线的对称轴.

涉及多条正态曲线问题常用正态总体在三个特殊区间内分布的概率为常数

（3。原则）进行互化.

〔变式训练1〕

（2022.广东深圳一模）已知三个正态分布密度函数a。）=］聂e—与沙

（x∈R,i=l,2,3）的图象如图所示，则（D）

A.μ1<μ2=μ3,σ∖=σ2>σ3

B.∕Z∣>∕Z2=43,m=rr2473

C.μτ=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3

D.μ∖<μ2=μ3,σ∖=σ2<σ3

［解析］由图可知，μ2=μ3>μ∖,

排除B、C；

又∙.力越大曲线越矮胖，

/.σ3>σ2,排除A.

故选D.

考点二正态分布——多维探究

角度1正态曲线的对称性

*例2(2023∙黑龙江哈尔滨质检)某市有30000人参加阶段性学业水平检

测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布M120,/),若P(IoOWXWI20)=

0.495,则成绩在140分以上的大约为150人.

［解析］由题意，考试的成绩X服从正态分布M120,σ2).

二考试的成绩X的正态密度曲线关于X=120对称，

VP(100<X<120)=0.495,

.∙.P(100<X<140)=2×0.495=0.99,

/.P(X>140)=P(X<100)=^×(1-0.99)=0.005,

该市成绩在140分以上的人数为0.005×30000=150.

角度2确定正态曲线的对称轴

A例3(2022.福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X<3)

+P(XWl)=I,则“=2.

［解析］因为X服从正态分布M/∕,σ2),所以P(X<3)+P(XB3)=1,

所以P(X≤1)=P(X23),由正态曲线的对称性知对称轴为X=2,所以〃=

2.

角度3三个常用数据

例4(2023.广东六校联考)我们将服从二项分布的随机变量称为二项随

机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结

论：若随机变量Y〜B(〃，p),当〃充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机

变量X来近似地替代，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量r的期

望和方差相同.法国数学家棣莫弗(1667〜1754)在1733年证明了寸这个结

论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯(1749〜1827)在1812年证明了这

个结论对任意的实数p∈(0,l］都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普

拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面

向上次数不少于420次的概率为(A)

2

(附：若X〜N(μ,σ),则P(∕z-σ≤X≤jt∕+σ)^0.6827,Pg2eWXWμ+

2σ)≈0.9545,PaL3aWXW〃+3*0.9973)

A.0.97725B.0.84135

C.0.65865D.0.02275

［解析］抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为X,则X〜

0900,，，

E(X)=叩=450,D(X)=W(I—p)=225,

由题意，X〜N(μ,/)，且

幺=E(X)=450,σ2=D(X)=225=152,

因为P(∕∕-2σ≤X≤∕z+2σ)≈0.9545,

即P(450-2×15≤X≤450+2×15)^0.9545,

所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为P(X≥420)

∩9545

=P(X≥450-2×15)≈∙^—+0.5=0.97725.故选A.

名帅A拨MINGSHIDIANBO

关于正态总体在某个区间内取值的概率求法

(1)熟记P@一σ<XWμ+σ),P(μ—2o<XWμ+2σ),P(μ~3σ<X^μ+30)的值；

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与X轴之间面积为1.①正态曲线关于

直线X=〃对称，从而在关于X=〃对称的区间上概率相等;②P(X<4)=1—P(XNa),

P(X<μ~d)=P(X^μ+d).

〔变式训I练2〕

(1)(角度1)(2022.江苏调研)已知随机变量X服从正态分布N(l,σ2),且P(X<4)

=0.9,则P(-2<X<1)=(C)

A.0.2B.0.3

C.0.4D.0.6

(2)(角度2)(2023•江苏苏州外国语学校模拟)已知随机变量。〜Na,σ2),PQW4)

=；,P(<f>3)=∣,P(3<4≤5)=∣一

⑶(角度3)(2023•江苏南京调研)已知随机变量X〜Nd］),则P(8<X<10)

的值约为(A)

附：若Y〜NQI,σ2),贝UP(∕∕-σ<y<^+σ)^0.6827,P(χ∕-2σ<y<∕∕+2σ)^0.954

5,P(μ-3σ<Y<μ+3σ)≈0.9974.

A.0.0215B.0.1359

C.0.8186D.0.9760

［解析］⑴由P(X<4)=0∙9,得P(X24)=O∙1.

又正态曲线关于x=l对称.

则P(XW—2)=P(X24)=0.1,

”,1—P(X≤-2)—P(X24)U3

所以P(—2<X<1)=--------------γ-------------=0.4.故选C.

⑵已知随机变量4〜M∕z,σ2),Pe≤4)=畀〃=4,因为P(3<<fW4)=看一T=

12

y所以P(3<0W5)=2P(3<4W4)=τ

(3)由题意知P(8≤X≤10)

P(/z-3(τWXW∕z+3(τ)-3(∕∕~~2(7WXW∕Z+2(T)

0.9974-0.9545

Qo.0215.故选A.

考点三正态分布的综合应用

A例5(l)(2022∙河北部分学校联考)含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新

一代的碘盐产品.海藻中的碘80%为无机碘，10%〜20%为有机碘，海藻碘盐兼

备无机碘和有机碘的优点.某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X(单位：克)

服从正态分布N(400,4),某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量

超过400克的概率为(A)

'11C3

ʌ-iðB-4

55

C.8D.16

(2)(2022.山东青岛二模)为调查禽类某种病菌感染情况,某养殖场每周都定期

抽样检测禽类血液中A指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A

指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图

①根据频率分布直方图，估计这5OOO只家禽血液样本中A指标值的中位数

(结果保留两位小数)；

②通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分

布N(7.4,2.632).

(i)若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液A指标的值不超过

10.03的家禽数量(结果保留整数)；

(ii)在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小

概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，

若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66,判断这

一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.

参考数据：

φ0.022753^0.00001,0.97725l7^0.7;

②若X〜N(μ,σ2),则

7,Cu-σ≤X≤∕∕+σ)≈0.6827；

P(∕z-2σ≤X≤∕∕+2σ)^0.9545.

［解析］⑴因为X(单位：克)服从正态分布N(400,4),所以P(X>400)=T∙

设4袋海藻碘食用盐中质量超过400克的袋数为匕则丫〜，，则至少

有2袋的质量超过400克的概率为1—P(X=O)—P(X=I)=I—11——c(l—，

⑵①由2义(0.02+0.06+0.14)=0.44,2X(0.02+0.06+0.14+0.18)=0.8,

可得中位数在区间［7,9)内，设中位数为X,

则2×(0.02+0.06+0.14)+(χ-7)×0.18=0.5,解得XQ7.33.

②(i)由X〜N(7.4,2∙632),可得

P(7.4-2.63≤X≤7.4+2.63)=P(4.77≤X≤10.03)≈0.6827,

.P(4.77≤X≤10.03),

则P(X≤10.03)=---------2----------i+0.5≈0.84135,

1000X0.84135=841.35^841只.

(ii)P(7.4—2×2.63≤X≤7.4+2×2.63)=P(2.14≤X≤12.66)≈0.9545,

1—09545

P(X>12∙66)心---广，=0.02275,随机抽检20只相当于进行20次独立重复实

验，

设恰有3只血液中A指标的值大于12.66为事件B,

则P(B)=C%X0.022753×(1-0.02275)17≈0.00798<1%,

所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.

名帅A拨MINGSHIDIANBO

解决正态分布问题的三个关键点

若随机变量X〜N伽，σ2),则

(1)对称轴x=〃；

(2)标准差σ∙,

(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由小σ,分布区间的

特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间，从而求出所求概率

〔变式训练3〕

(1)(2023.安徽AlO联盟开学摸底)已知某次考试的数学成绩X服从正态分布

2

N(100,σ2)(σ>0),且P(80<X<120)=],现从这次考试随机抽取3位同学的数学

成绩，则这3位同学的数学成绩都在(IOo,120)内的概率为吉

(2)(2023•山东“学情空间”教研共同体联考)《中国制造2025》是经国务院

总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的

战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济

的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，

坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生

2

产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布Mw,σ),并把质量差在@一

Ο,〃+(7)内的产品为优等品，质量差在(//+(7,〃+2(7)内的产品为一*等品，其余范

围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品.现分别从该企业生产的

正品和废品中随机抽取1OOO件，测得产品质量差的样本数据统计如下:

①根据频率分布直方图，求样本平均数X；

②根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100,用样本

平均数噎作为〃的近似值，用样本标准差S作为。的估计值，求该厂生产的产品

为正品的概率.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

(参考数据:若随机变量C服从正态分布N(∕∕,σ2),则：P(〃一α<<f≤4+σ∙)≈=≈0.682

7,P(^-2σ<^≤∕∕+2σ)¾≈0.9545,P(∕∕-3σ<ς≤jtz+3σ)≈0.9973.)

③假如企业包装时要求把3件优等品和5件一等品装在同一个箱子中，质检

员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X,

求X的分布列以及期望值.

［解析］(1)由题意得，该正态曲线的对称轴为X=//=100,VP(80<X<120)

_2

=y

.∙.P(100<X<120)=∣,...3位同学的数学成绩都在(IOo,120)的概率为

1

=27-

(2)①由频率分布直方图中平均数的计算公式，

-46+5656+6666+76

可得EIX=0.010×10×-2—+0.020×10×-上—+0.045×10×—5—十

76+86,86+96

0.020×10×-2—+0.005×10×―—=70.

②由题意可知，检查样本数据的方差的近似值为100,即样本方差a=ιoo,

所以标准差5≈√P=ιo,

所以随机变量X〜N(70,1()2).

可得该厂生产的产品为正品的概率:

P=P(60<X<90)=P(60<X<70)+P(70<X<90)=∣(0.6827+0.9545)=0.8186.

(3)由题意，随机变量X所有可能为0,1,2,3,

则P(X.ofy-n-CiCi-15

贝IJP(X—0)—α一28'P(XT)一奠一28'

C4Cg15CmCg1

P(X=2)=^δΓ=否P(X=3)=f=%

所以随机变量X的分布列为：

X0123

51515丁

P

2S285656

所以随机变量X的期望

E(X)=0×⅛÷1×^f+2×77÷3×⅛=^.

ZoZoɔθɔŋO

幅后BIi翻杼

•素养提升

概率与统计的综合应用

题型一概率与统计图表的综合应用

2・例6(2023.上海八校联考)研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变

暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义.中国明确提出节能减排的目标与各

项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一.中国某

地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如

表.(注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和)

年份2015201620172018201920202021

新能源汽车

1.5%2%3%5%8%9%20%

销量占比

(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小

于5.5万辆的概率；

(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5

万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望.

［解析］(1)由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，

则随机选取一年，这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为当

(2)由图表得新能源汽车2015~2021年的销量如下表:

年份2015201620172018201920202021

新能源汽

0.06150.1120.1680.2750.4560.541.16

车销量

新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个,不超过0.5万辆的年份有5个,

则随机变量X可能的取值为0,1,2,

PfX_(n_c|_iom_ipc|__L

P(X-0)-c,-21,P(XT)_c?-2l,F(X-2)-C9-21,

所以X的分布列为

X012

1010丁

P

2\2\21

所以E(X)=O×∣γ+1×τγ+2×yr=⅛

乙ɪ乙JL乙1/

题型二概率与回归分析的综合应用

2・例7(2022.山东临沂模拟)在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各

部门在保安全、保稳定的前提下有序恢复生产、生活和工作秩序，五一期间，文

旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回

应.下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格

M单位：元)与购买人数M单位：万人)的数据如下表：

城市展馆乡村特齐鲁红登山游园观海

旅游类别

科技游色游色游套票套票套票

套票价格

394958677786

式元)

购买数量

16.718.720.622.524.125.6

y(万人)

在分析数据、描点绘图中，发现散点3助)(14W6)集中在一条直线附近,

其中w=lnXi,ω,=lny,

__6666

附：①可能用到的数据;j∙]0ift>i=75.3,j5[0i=24.6,jE](Wj=18.3,jE]θ7

=101.4.

②对于一组数据(初，。1),(02,①2),…，(Vn,ωn),其回归直线。=∕w+α的

rbiωi—nvω

斜率和截距的最小二乘估计值分别为金=3-------一,a=ω-bv

rhj-nv1

Z=I

(1)根据所给数据，求y关于X的回归方程；

(2)按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格X的比在区间卜，7

上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位

同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游.记三人中购买“热门套

票”的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.

[解析](1)；散点(外3)(1W∕W6)集中在一条直线附近，设回归直线方程为

ΛΛΛ

co=bv+ci9

66

ι一1一1

由o=4ZS=4.1,ω=4∑ω∕=3.05,

z=li=∖

n--

^Viω-nvω

Λj=∖_________75.3—6义4.1)<3.051

b=~^-=101.4-6×4.12=2'

i=1

Λ-Λ^J

Q=G—而=3.05-]X4.1=1,

.I变量①关于0的回归方程为ω=^v+l,

・Oj=InA7,Gj=Iny,・∙Iny=/InX+1,∙∙y=eΛ^,

综上，y关于X的回归方程为y=ex,

1

~

VCΛ/^eIee-1

⑵由5=二一=1∈5,亍，解得49≤xW81,Λχ=49,58,67,77,

XX1;

Λ2

,乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为"热门套票”，

则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布,X的可能取值为1,2,3,

ClC^1P(X=2)=CiCi=3C?1

P(X=I)=^δΓ=亍~CF5'P(X=3)=0=亍

.∙.X的分布列为：

X123

ɪ3ɪ

P

555

131

E(X)=I×5÷2×⅛+3×5=2.

题型三概率与独立性检验的综合应用

»■例8(2023•山东青岛调研)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,

某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了

男、女生各100名，得到如下数据：

锻炼

性别

不经常经常

女生4060

2080

(1)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的

经常性有无关联；

(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他

是男生的概率；

(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，学校设置了“学习女排精神，塑造健

康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传

球训练.已知甲控制球时，传给乙的概率为东传给丙的概率为:；乙控制球时,

传给甲和丙的概率均为1了丙控制球时，传给甲的概率为本3传给乙的概率为;1.

若先由甲控制球，经过3次传球后，乙队员控制球的次数为X,求X的分布列与

期望E(X).

n(ad-bc)2

附：2=

(α+/?)(<?+cΓ)(a+c)(A+d)'

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

［解析］(1)令假设为”o：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关联,

根据列联表中的数据，经计算得到

a=?。—3-20X6。产

60×140×100×100"°005'

根据小概率值α=0∙005的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为性别因

素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.

(2)用A表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”，B表示事件“选到男

生，，则P㈤A)=迹=m=4

(3)由题知X的所有可能取值为0,1,2,

P(X=O)=∣×∣X∣=-j^,

2112131321111

P(χ=l)=-×5×-+-×-×-+-×-×-+-×-=-

21221111

P(X=2)=T×T×T÷-×-×7=^7.

所以X的分布列为：

X0~Γ2

~Γ1111

P

12T836

E(X)=0×ττ+1X普+2Xm=

12lð369

题型四概率、统计与函数、数列的综合应用

2・例9(2023∙云南昆明名校联考)某运动员多次对目标进行射击，他第一

3

次射击击中目标的概率为W由于受心理因素的影响，每次击中目标的概率会受前

一次是否击中目标而改变，若前一次击中目标，下一次击中目标的概率为3本若

前一次未击中目标，则下一次击中目标的概率为去

(1)记该运动员第八次击中目标的概率为P",证明：]p〃一向为等比数列，并

求出｛P"｝的通项公式；

(2)若该运动员每击中一次得2分，未击中不得分，总共射击2次，求他总

得分X的分布列与数学期望.

[解析](1)由题意，当〃∈N*时，

3111

P,,+1=P,q+(ɪ—P")-]=]+产”，

则P"+L,=/LM扣-D，又PLI=T，

•••卜”一|)是首项为一卷公比为1的等比数列，

.・"H-⅛X*,

∙∙∙P"=(-⅛XU"eN*)∙

33

(2)记4为第i次射击击中目标，则由题意可得P(4)=g,P(A2[A1)=4.

P(A2∣Al)=1,

X可取到的值为0,2,4,且

------------------------------------121

,

P(X=0)=P(AiA2)=P(A2IAi)P(Ai)=2×5=5

P(X=2)=P(TrA2)+P(4石)

——————12137

+X,

=P(A2∣Ai)尸(Al)+P(A2∣AI)P(ΛI)=2×545=20

339

P(X=4)=P(AIA2)=P(A2∣AI)P(AI)=4×5=20>

则X的分布列为:

X024

ɪ79

P

52020

1795

.∙.E(X)=0义^ξ+2X布+4Xm=5.

〔变式训I练4〕

⑴（2023•甘肃张掖诊断）某“双一流”大学专业奖学金以所学专业各科考试

成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖

金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最

多只能获得一次.图（1）是统计了该校2022年500名学生周课外平均学习时间频

率分布直方图，图（2）是这500名学生在2022年周课外平均学习时间段获得专业

奖学金的频率柱状图.

①求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；

②若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非

努力型”学生，列2X2列联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专

业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？

③若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2022年获得的专业

奖学金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望.

P(>Xa)0.100.050.0100.0050.001

Xa2.713.846.647?8810.83

7_______n(ad-bc?______

(a÷b)(c+d)(a÷c)(b+d),

(2)(2022.湖北恩施质检)某企业创新形式推进党史学习教育走深走实,举行两

轮制的党史知识竞赛，初赛每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备

参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过

的概率分别是辛4东2第二轮比赛时两组通过的概率分别3是本3两轮比赛过程相

互独立.

①若将该部门获得决赛资格的小组数记为X,求X的分布列与数学期望；

②比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与

答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对

就被评为“优秀小组”.该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得

每个成员答对每题的概率均为M0<p<l)且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀

小组”的概率为加)，当P=Po时，加)最大，试求Po的值.

［解析］(1)①获