2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第十章 第四讲　随机事件的概率　古典概型 学案

第四讲随机事件的概率古典概型

•双基自测

知识梳理

知识点一随机事件的有关概念

1.随机试验——对随机现象的实现和对它的观察.常用E表示.

样本点一随机试验的每个可能的基本结果.常用w表示.

样本空间——全体样本点的集合，常用。表示.

2.随机事件——样本空间。的子集，简称事件，常用A,8,…表示.

基本事件一只包含一个样本点的事件.

在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时称为事件A发生，Q一总会

发生，称。为必然事件，。在每次试验中都坯H发生，称。为不可能事件.

知识点二事件的关系与运算

定义符号表示

若事件A发生，则事件B

包含一定发生.,这时称事件8

关系包含事件A（或称事件A包含（或AqB）

于事件B）

相等若83A,且A3B.，则⅞-

A=B

关系事件A与事件B相等

若某事件发生当且仅当事

件A与事件5至少有一个发

并事件

生一，则称此事件为事件A

（和事件）（或A+8）

与事件8的并事件（或和事

件）

若某事件发生当且仅当事

交事件件A与事件B同时发生，AnB

（积事件）则称此事件为事件A与事件（或AB）

B的交事件（或积事件）

互斥若AnB为不可能事件，AnB=0

事件则称事件A与事件B互斥

若AnB为不可能事件，

对立AUB为必然事件一，则称ArIB=0,_

事件事件A与事件B互为对立事且AUB=Q

件

知识点三古典概型

1.概率——对随机事件发生可能性大小的度量(数值).

2.具有以下两个特征的试验称为古典试验，其数学模型称为古典概型.

(1)有限性：样本空间的样本点本有有限个一.

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_^球.

设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的攵

个样本点，则事件A的概率P(A)=*

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(A)WL

⑵P(Q)=1,P(0)=0.

(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).P(AB)=0.

(4)如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A)=LP(B).

(5)如果A=B,那么P(A)≤P(B).

(6)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

知识点四频率与概率

在任何确定次数的随机试验中，随机事件A发生的频率具有随机性.随着

试验次数n的增大，事件A发生的频率以A)会逐渐稳定于事件A发生的概率

P(A).称频率的这个性质为频率的稳定性，因此，可用频率以A)估计概率P(A).

归纳拓展

1.频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数.

2.对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”

是“对立”的必要不充分条件.

3.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数常用两个计数原理及排

列、组合知识，另外还有列举法、列表法、树状图法等.

4.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式

的推广，即P(Aι+Az+…+A")=P(4)+P(A2)+…+P(A”).

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)甲、乙二人比赛，甲胜的概率为］则比赛5场，甲胜3场.(X)

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三

个结果是等可能事件∙(X)

(3)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于

古典概型.(×)

(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参

加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为g.(√)

(5)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是02(√)

题组二走进教材

2.(必修2P235例8)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为焉_.

［解析］掷两个骰子一次，向上的点数共6X6=36(种)可能的结果，其中点

数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P=I一9=焉.

题组三走向高考

3.(2020∙新课标I)设。为正方形ABC。的中心，在。，A,B,C,。中任

取3点，则取到的3点共线的概率为(A)

A(B.2

5

C.；D.4

［解析］O,A,B,C,D中任取3点，共有OAB,OAC,OAD,OBC,OBD,

OCD,ABC,ABD,ACD,BCD10种，(或Cg=I0).

其中共线为A,O,C和B,O,。两种，

21

故取到的3点共线的概率为P=正=亍故选A.

4.(2022∙新高考I卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2

个数互质的概率为(D)

［解析］从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C^=21种不同

的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),

21—72

(6,8),共7种，故所求概率P=-^h=(故选D.

5.(2021.全国高考)将3个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概

率为(C)

A.0.3B.0.5

C.0.6D.0.8

［解析］将3个1和2个。随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,共10种排

法，其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6种方法，

故2个。不相邻的概率为强=0.6,故选C.

考点一随机事件的关系——自主练透

A例1(1)(多选题)(2022.山东潍坊核心素养测评)不透明的口袋内装有红

色和绿色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”

互斥而不对立的事件有(AB)

A.2张卡片都不是红色

B.2张卡片恰有一张红色

C.2张卡片至少有一张红色

D.2张卡片至多有一张红色

⑵一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具

向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面

出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则(D)

A.A与8是互斥而非对立事件

B.A与8是对立事件

C.8与C是互斥而非对立事件

D.B与C是对立事件

(3)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)

+P(B)=I”,则甲是乙的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］(1)“2张卡片都为红色”的对立事件为“2张卡片不都为红色”即

“2张卡片至多有一张红色”.排除D；“2张卡片至少有一张红色”包含“2

张卡片都为红色”排除C.选AB.

(2)根据互斥事件与对立事件的定义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,

B不互斥更不对立;B∩C=0,BUC=Q(O为必然事件)，故事件B,C是对立事

件.

(3)若事件A与事件B是对立事件，则AUB为必然事件，再由概率的加法

公式得P(A)+P(B)=I;投掷一枚硬币3次，满足P(A)+P(B)=1,但A,B不一

定是对立事件，如：事件A：“至少出现一次正面”，事件&“出现3次正面”，

71

则P(A)=+P(B)=G，满足P(A)+P(B)=I,但A,B不是对立事件，故甲是乙

的充分不必要条件.

名帏点被MINGSHIDIANBO

(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的

事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个

事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.

(2)判断互斥、对立事件的两种方法

定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件

为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，

对立事件一定是互斥事件

①由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集，则事件互斥.

集合法②事件A的对立事件了所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所

含的结果组成的集合的补集.

〔变式训练1〕

（1）（2022.宁夏检测）抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事

件A的对立事件为（B）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

（2）（多选题）（2022∙江苏苏北七市三模）从装有5只红球、5只白球的袋中任意

取出3只球，下列各对事件为对立事件的有（BD）

A.“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”

B.“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有1只白球”

C.”取出3只红球”与“取出3只白球”

D.“取出的3只球中至少有2只红球”与“取出的3只球中至少有2只白

球”

［解析］（1）：”至少有〃个”的反面是“至多有〃一1个”，又；事件A”至

少有2件次品”，.∙.事件A的对立事件为“至多有1件次品”.

（2）从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，所有可能的情况有：

3只均为红球；2只红球1只白球；1只红球2只白球；3只均为白球.所以，对

于A选项，”取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”为互

斥事件，但不是对立事件，故错误；对于B选项，取出的3只球中至少有1只

白球包含：2只红球1只白球；1只红球2只白球；3只均为白球，故与取出3

只红球为对立事件，故正确；对于C选项，“取出3只红球”与“取出3只白

球”为互斥事件，但不是对立事件，故错误；对于D选项，“取出的3只球中

至少有2只红球”包含事件：3只均为红球；2只红球1只白球，“取出的3只

球中至少有2只白球”包含事件：1只红球2只白球；3只均为白球，故为对立

事件，故正确.

考点二古典概型——师生共研

2・例2(1)(2022.四川攀枝花统考)有编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个

黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是(A)

43

A.γB.γ

C.ID.；

(2)(2023•广西南宁摸底)从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则

这4个点在同一个平面的概率为彳.

(3)(2023∙河南豫东名校摸底)为进一步强化学校美育育人功能,构建“五育并

举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育、美育、书法三门选修课程，

该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修,

则恰有2名同学选修传统体育的概率为(D)

A-%b-6

八77

c∙36d-18

(4)(2022∙湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技

艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、

射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展

了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，

“礼”和“乐”必须分开安排的概率为(C)

ʌɪBɪ

a

A60-6

C13r1

c-6(jD,4

［解析］(1)有编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，基

本事件总数〃=α=56,

取出的编号互不相同包含的基本事件个数m=CiCIC1Ci=

32(或加=C等=32),则取出的编号互不相同的概率是P=*H=小故选A∙

(2)如右图，选正方体6个侧面上的4个顶点，共有6种选法；过中心。的

平面共有6个平面，每个平面含9个点中的5个，则共有6C4种选法；所有可能

情况有所以这4个点在同一个平面的概率为噜星=得=*故答案为,

χ-✓yL/U//

(3)6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一位同学选修，共有

佟等+α+αc支;AT=540种.恰有2名同学选修传统体育的情况:

CMa+窄)A3=21O种.∙'∙P=舒=-⅞∙故选D.

(4)解法一：当“数”位于第一位时，“礼”“乐”分开有Ag—A执之种排法;

当“数”位于第二位时，“礼”“乐”分开有Ag-CJA认之种排法.

故满足条件的事件的概率为：

Ag—C⅛ALM+A?—AaAa13

--------------Al--------------=60'故选C∙

解法二：当“数”位于第一位时，有用AZ种；当“数”位于第二位时，有

AWA3+CLM+GA3A313

CLM+GA3A3种，总排法有AR种，.∙.所求概率P=Al=60-

7

［引申］本例(4)中，(1)“必须分开”改为“相邻”，则概率为而—

3

(2)“必须分开”改为“不和‘数'相邻”的概率为去

_1_

［解析］

(I)P=AR=而•

CiAHCiClA^3

Q)P==20'

名帏点帔MINGSHIDIANBO

求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本

事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表

法和树状图法，较复杂事件的基本事件数可用排列、组合知识求得，具体应用时

可根据需要灵活选择.

〔变式训I练2〕

(1)(2022.安徽淮南模拟)盒中装有形状大小相同的球6个，其中红球3个，编

号为1、2,3,蓝球3个，编号为4、5、6,从中取2球，则两球颜色不同，且

编号之和不小于7的概率为(B)

A.1B.I

c∙Wd∙5

(2)(2023∙河南郑州名校调研)甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、

乙两人中至少有一人站在两端的概率为(A)

ʌ-ðB-2

C.；D.I

［解析］(1)记''从盒中取2球，两球颜色不同，且编号之和不小于7”为事

...1+Cl+Ci2,,

件A.则P(A)=&=予故选B.

(2)：甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，

基本事件总数〃=A∣=24,

甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m=A，一A3A3=2O,

二甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为：

P=*号/故选ʌ-

考点三较复杂的古典概型问题—多维探究

角度1古典概型与平面向量的交汇

A例3(2022.安徽黄山模拟)从集合｛1,2,4｝中随机抽取一个数a,从集合

｛2,4,5｝中随机抽取一个数4则向量机=5，勿与向量〃=(2,—1)垂直的概率为

12

--

A.99

BD.

12

C--

33

［解析］机，〃台b=2",...满足加，〃的(α,加有(1,2),(2,4),2个，又基本

事件有(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5),(4,2),(4,4),(4,5),9个，；.所求

2

概率尸=$故选B.

角度2古典概型与几何的交汇

►►■例4(1)(2022•甘肃兰州模拟)双曲线C：，一方=l(α>0,b>0),其中。

∈{1,2,3,4},8∈{1,2,3,4},且α,人取到其中每个数都是等可能的，则直线/：y

=%与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为(B)

ʌɪB3

A∙4a-8

c∙2D,8

(2)(2023∙江苏徐州期中抽测)从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则

所得三角形是正三角形的概率是(B)

ʌɪBɪ

Λ∙427

C3r3

C.亟D.7

h

［解析］(1)直线/：y=x与双曲线C的左、右支各有一个交点，贝b>1,基

本事件总数为4X4=16,满足条件的(α,加的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),

3

共个(或∖∣个，故概率为

(2,4),(3,4),6C+C3+C=6())QO.

(2)如图所示，从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，基本事件有CB=

56种，在正方体中，满足任取3个顶点构成正三角形有8种，顶点的集合分别

是{AC,Bι},{A,C,Dι］,{B,D,Cι},{B,D,Al},{Al,Cι,B},{Ai,

Q1

Cl,D},{B1,Di,A},{B1,Dι,C},所以所求概率为后='.故选B.

角度3古典概型与函数的交汇

1

2・例5（2022.吉林省实验中学月考）已知函数/U）=33+0√+∕x+l,若a

是从1,2,3三个数中任取的一个数，〃是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函

数有两个极值点的概率为（D）

A.ξB.I

C.ID.ɜ

［解析］求导得/'（九）=<+2℃+〃，要满足题意需χ2+20r+b2=0有两个

不等实根，即/=4（屋一/）〉0,即α>b,又α,。的取法共有3X3=9种，其中满

足α>b的有（1,0）,（2,0）,（2,1）,（3,0）,（3,1）,（3,2）共6种，故所求的概率为P=S

_2

=于

角度4古典概型与统计的综合

2・例6（2022∙天津南开中学模拟）为了解学生课外使用手机的情况，某学

校收集了本校500名学生2021年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的情

况.从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直

方图I.已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在［10,12］,现

在从课余使用手机总时间在［10,12］的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽

［解析］：这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在口0,12］,

课余使用手机总时间在［10,⑵的学生共有50X0.08X2=8（名），,从课余使用手

机总时间在［10,12］的学生中随机抽取3人，基本事件总数〃=C3=56,至少抽到

2名女生包含的基本事件个数"Z=d+dc4=16,则至少抽到2名女生的概率为

Cm162*®-

P=Tr=A=〒故选c∙

23

［弓I申］本例中(1)“至少抽到1名女生”的概率为黄；(2)“至多抽到1名女

Zo

生”的概率为'.

［解析］⑴解法一：抽到1名女生的概率P产普=品，

抽到2名女生的概率尸2=C*d=靠15，

Cq1

抽到3名女生的概率尸3=0=后，

23

.∙.至少抽到1名女生的概率P=Pl+P2+P3=荻.

解法二：记''至少抽到1名女生”为事件A,

则了：抽取3名男生，

—Cg523

∙∙∙P(A)=I-P(A)=I一点=1一诋=函

(2)没有抽到女生的概率尸4=卷Cg=余5，

，至多抽到1名女生的概率P=P1+P4=,.或P=I-P2—P3=半.

名帅点拨MINGSHIDIANBO

较复杂的古典概型问题的求解方法

解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事

件，求出基本事件总数和随机事件中所含基本事件的个数，然后利用古典概型的

概率计算公式进行计算.

互斥事件的概率的求法

一第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步,

直接法

运用互斥事件的概率求和公式计算概率

第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式P(A)=I—P(A)

间接法

求解，特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便

〔变式训I练3〕

(1)(角度1)设平面向量α=5U),b=(2,n),其中〃z,〃e{1,2,3,4},记％

为事件A,则事件A发生的概率为(A)

11

--

A.8B.4

C.jD.2

(2)(角度2)(2023•河北七校联考)若m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个

Y2V21

元素，则椭圆5+⅜∙=ι的焦距为整数的概率为彳.

mZZ—

(3)(角度3)(2022・四川威远中学月考)若α,∙∈{T,0,1,2},则函数於)=加

+2x+0有零点的概率为(A)

13c7

ʌllðB-8

(4)(角度4)(2022.衡水中学模拟改编)某中学有初中生1800人，高中生1200

人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100

名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组,

再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40)»

[40,50],并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，则至少抽到1名高

7

中生的概率为行.

[解析](l)ɑɪ(a—b)0a∙(a—b)~0^m2—2m—〃+1=0,即〃=(〃?一I)2,又

加、〃∈{1,2,3,4},：.(m,〃)共有16个，而事件A仅包括(2,1),(3,4),2个，

21

.∙.P(A)=M=g,故选A.

(2)由题意知椭圆的焦距2c=2y∣m-2或2c=2∙∖∣2f,.∙.m=l,3,ll,二所求

31

概率

P=7o=5Z∙

(3)α,A∈{T,0,l,2},(α,份的取法