（江苏专用）高考数学总复习 第四篇 三角函数、解三角形《第21讲　两角和与差的正弦、余弦和正切》理（含解析） 苏教版

A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·宿迁联考)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则tanα＝________.解析tanα＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(\f(3,5)－1,1＋\f(3,5))＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)2．(2011·日照调研)已知cosα＝－eq\f(12,13)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.解析由条件得sinα＝eq\f(5,13)，所以tanα＝－eq\f(5,12)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(7,17).答案eq\f(7,17)3．若cos(α＋β)＝eq\f(1,5)，cos(α－β)＝eq\f(3,5)，则tanαtanβ＝________.解析由cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(1,5)，cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(3,5)，解得cosαcosβ＝eq\f(2,5)，sinαsinβ＝eq\f(1,5)，所以tanαtanβ＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)4．若sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,4)))＝________.解析因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)＝－eq\f(\r(2),10).答案－eq\f(\r(2),10)5．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，1))，b＝(4,4cosα－eq\r(3))，若a⊥b，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(4π,3)))＝________.解析a·b＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋4cosα－eq\r(3)＝2eq\r(3)sinα＋6cosα－eq\r(3)＝4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－eq\r(3)＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,4).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(4π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)6．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝eq\f(2,3)eq\r(3)，则tanAtanB的值为________．解析tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝eq\r(3)，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\r(3)，即eq\f(\f(2,3)\r(3),1－tanAtanB)＝eq\r(3).解得tanAtanB＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)7．已知0＜α＜eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＜β＜π，且cosα＝eq\f(1,7)，sinβ＝eq\f(5\r(3),14)，则β－α的值为________．解析因为0＜α＜eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＜β＜π，所以0＜β－α＜π，又cosα＝eq\f(1,7)，sinβ＝eq\f(5\r(3),14)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cosβ＝－eq\f(11,14)，所以cos(β－α)＝eq\f(1,2)，所以β－α＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，求2α－β的值．解∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)＞0，∴0＜α＜eq\f(π,2)，又∵tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(3,4)＞0，∴0＜2α＜eq\f(π,2)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.∵tanβ＝－eq\f(1,7)＜0，∴eq\f(π,2)＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).9．A，B，C是△ABC的内角，向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3A,2)，sin\f(3A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))满足|m＋n|＝eq\r(3).(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝eq\r(3)sinA，试判断△ABC的形状．解(1)由|m＋n|＝eq\r(3)，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3A,2)cos\f(A,2)＋sin\f(3A,2)sin\f(A,2)))＝3，所以cosA＝eq\f(1,2)，又0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).(2)因为sinB＋sinC＝eq\r(3)sinA，所以sinB＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)，即eq\f(\r(3),2)sinB＋eq\f(1,2)cosB＝eq\f(\r(3),2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)，又0＜B＜eq\f(2π,3)，所以B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，所以B＝eq\f(π,6)或eq\f(π,2).因此B＝eq\f(π,6)时，C＝eq\f(π,2)；B＝eq\f(π,2)时，C＝eq\f(π,6).故△ABC为直角三角形．10．已知向量a＝(m，sin2x)，b＝(cos2x，n)，x∈R，f(x)＝a·b，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1)).(1)求m，n的值；(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最小值；(3)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝eq\f(1,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值．解(1)f(x)＝mcos2x＋nsin2x，因为f(0)＝1，所以m＝1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1，所以n＝1.故m＝1，n＝1.(2)f(x)＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以f(x)的最小正周期为π.因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以当x＝0或x＝eq\f(π,4)时，f(x)取最小值1.(3)因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝eq\f(1,5)，所以cosα＋sinα＝eq\f(1,5)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，故α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),7\r(2))＝eq\f(1,7).B级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·苏州调研)已知tanα＝eq\f(1,7)，tanβ＝eq\f(1,3)，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________.解析tan2β＝eq\f(2tanβ,1－tan2β)＝eq\f(\f(2,3),1－\f(1,9))＝eq\f(3,4)，所以tan(α＋2β)＝eq\f(tanα＋tan2β,1－tanαtan2β)＝eq\f(\f(1,7)＋\f(3,4),1－\f(3,28))＝1.∵tanα＝eq\f(1,7)＜1，α∈(0，π)，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，同理β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴α＋2β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)π))，所以α＋2β＝eq\f(π,4).答案eq\f(π,4)2．若sinα－sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，则cos(α－β)的值为________．解析由sinα－sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝1－eq\r(3)＋eq\f(3,4)＝eq\f(7,4)－eq\r(3).①由cosα－cosβ＝eq\f(1,2)得：cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝eq\f(1,4).②①＋②得1＋1－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2－eq\r(3)，即2cos(α－β)＝eq\r(3)，所以cos(α－β)＝eq\f(\r(3),2).答案eq\f(\r(3),2)3．(2011·南京模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,4)))＝________.解析因为2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\r(3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，所以可取φ＝－eq\f(π,6)，则f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,2)－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,6)))＝2sineq\f(π,3)＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案eq\r(3)4．(2011·南京学情分析)实数x，y满足tanx＝x，tany＝y，且|x|≠|y|，则eq\f(sinx＋y,x＋y)－eq\f(sinx－y,x－y)＝________.解析因为tanx＝x，tany＝y，所以eq\f(sinx＋y,x＋y)－eq\f(sinx－y,x－y)＝eq\f(sinxcosy＋cosxsiny,tanx＋tany)－eq\f(sinxcosy－cosxsiny,tanx－tany)＝cosxcosy－cosxcosy＝0.答案05．已知A、B均为钝角且sinA＝eq\f(\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，则A＋B的值为________．解析A、B均为钝角且sinA＝eq\f(\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，得cosA＝－eq\r(1－sin2A)＝－eq\f(2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosB＝－eq\r(1－sin2B)＝－eq\f(3,\r(10))＝－eq\f(3\r(10),10)，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，又因为eq\f(π,2)＜A＜π，eq\f(π,2)＜B＜π，所以π＜A＋B＜2π，故A＋B＝eq\f(7π,4).答案eq\f(7π,4)6．(2010·四川改编)已知cosα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，tanβ＝－eq\f(1,3)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则cos(α＋β)＝________.解析因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，cosα＝－eq\f(4,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5).因为β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tanβ＝－eq\f(1,3)，所以cosβ＝－eq\f(3\r(10),10)，sinβ＝eq\f(\r(10),10).故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(3\r(10),10).答案eq\f(3\r(10),10)二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(eq\r(2)，eq\r(2))，若a·b＝eq\f(8,5)，且eq\f(π,4)＜x＜eq\f(π,2).(1)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))和taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的值；(2)求eq\f(sin2x1－tanx,1＋tanx)的值．解(1)因为a·b＝eq\f(8,5)，所以eq\r(2)cosx＋eq\r(2)sinx＝eq\f(8,5)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(4,5).又eq\f(π,4)＜x＜eq\f(π,2)，所以0＜x－eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\