2023年北京市西城区初三（第2次）模拟考试数学试卷（附答案详解）

2023年北京市西城区初三（第2次）模拟考试数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图是某几何体的视图，则该几何体是（）

M视图左视图

△

俯视图

A.长方体B.三棱柱C.圆锥D.正方体

2.据报道,至2022年，我国已经建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫

生体系，基本养老保险覆盖10.4亿人,将1040000000用科学记数法表示应为（）

A.10.4×IO8B.1.04×IO8C.1.04×IO9D.1.04XlO10

;;y;一'5的解是（）

3.方程组•

3%—y—ɔ

X=I-

X='x=2,X=1,

A.B.C.D.

a=2

y=y=l?=1

4.比大且比S4小的整数可以是（）

A.1B.3C.5D.7

5.如图,直线AB〃CD,直线EF分别交Q8,CD于点E,F，NBEF的平分线交CD点G，

若./ll∙.,则NEGC的大小是（）

A.116°B.74°C.64°D.58°

6.一个不透明的口袋中有3个红球和1个白球，这四个球除颜色外完全相同.摇匀后，随机

从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（）

35CD1

A.一48-4-

7.实数ɑ在数轴上的位置如图所示，则α,—a,a2,工中最大的是（）

a

,,、q、,j

-l-io'_i,~

A.aB.—aC.a2D.ɪ

8.下面的三个问题中都有两个变量：

①京沪铁路全程为1463km,某次列车的平均速度y（单位：km∕∕ι）与此次列车的全程运行时

间x（单位：Λ）;

②已知北京市的总面积为1.68XIoVm2,人均占有面积y（单位：kr∏2∕人）与全市总人口χ（单

位：人）；

③某油箱容量是50L的汽车，加满汽油后开了20Okrn时，油箱中汽油大约消耗了京油箱中的剩

油量yL与加满汽油后汽车行驶的路程Mm.

其中，变量y与变量X之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

C.②③D.①②③

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.若代数式一）有意义，则实数久的取值范围是___.

X-2

10.已知反比例函数y="的图象位于第二、四象限，则k的取值范围为.

IL如图，在平面直角坐标系XOy中，点4的坐标为（3,4）,设线段。力与X轴正方向的夹角为α,

则tana=.

12.用一组α,b的值说明命题：''若a?=炉，则α=b"是错误的,这组值可以是α=

b=.

13.某射击队要从甲、乙、丙三名队员中选出一人代表射击队参加市里举行的射击比赛，下

表是这三名队员在相同条件下10次射击成绩的数据：

甲乙内

平均数8.598.8

方差0.250.230.27

如果要选出一个成绩好且又稳定的队员去参加比赛，这名队员应是

四边形

15.如图，在△4BC中，DE/∕BC,SΔADE=4,SDBCE=5,则■的值是

16.下表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次

变化的情况，“T”表示上升，“1”表示下降，“一”则表示名次没有变化.已知每个区县

的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是,上一年度排在第6,7,8名的

区县依次是.（写出一种符合条件的排序）

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.计算：V8—4cos45°+（ɪ）-ɪ—|-2|.

四、解答题（本大题共n小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.（本小题8.0分）

解不等式组F"+1>¥,并写出它的所有正整数解.

（3x-1≤5

19.（本小题8.0分）

已知:如图1,线段α,b.

求作：矩形ABCD,使得AB=α,BC=b.

a

II

b

1I

图1

作法：如图2.

m

-------C---

b

L___,_________________

AaBc

图2

1.在直线1上截取AB=a.

2.过点B作直线ml1,在直线Tn上截取BC=b.

3.分别以点4和点C为圆心，b,α的长为半径画弧，两弧的交点为D.

（点。与点C在直线1的同侧）

4.连接4D,CD.

则四边形ZBCD为所求的矩形.

根据上面设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：•：AD=BC=b,AB=DC=a,

二四边形ABCD是平行四边形（）.（填推理的依据）

:直线Tn1I,

_°，

•••四边形ABCO是矩形（）.（填推理的依据）.

20.（本小题8.0分）

已知a?+a-5=0,求代数式（α-；）÷整的值.

21.（本小题8.0分）

关于X的方程/一3x+m+1=0有实数根，且m为正整数，求小的值及此时方程的根.

22.（本小题8.0分）

如图，矩形ZBCD的对角线AC,BD相交于点0,过点。作AC的平行线交BC的延长线于点E.

(1)求证：BD=DE；

(2)连接OE,若4B=2,BC=4,求OE的长.

23.（本小题8.0分）

为增强居民的反诈骗意识，A,B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有

奖问答活动.现从4B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别

对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

ɑ.4小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：

50≤%<60,60≤X<70,70≤%<80,80≤%<90,90≤%≤100)；

b.A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在80≤x<90这一组的是:

84858586868889

C.B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如下：

分数738182858891929496100

人数1323131411

根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全ɑ中频数分布直方图；

(2)4小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是；B小区参加有奖

问答活动的20名居民成绩的数据的众数是；

(3)为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁

发小奖品.已知4,B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共

需要准备多少份小奖品.

24.(本小题8.0分)

如图，以菱形4BCD的边AD为直径作。。交4B于点E,连接CB交。。于点M,F是BC上的

一点，且BF=BE,连接DF.

(1)求证：DM=BM；

(2)求证：CF是。。的切线.

25.(本小题8.0分)

在平面直角坐标系Xoy中，函数y=XX>0)的图像与一次函数y=2x的图像交于点4(α,2).

(1)求α,k的值；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.点P是射线。4上一点，过点P分别作无轴，y轴的垂

线交函数y=g(x>0)的图像于点B,C,将线段PB,PC和函数y=g(久>0)的图像在点B,

C之间的部分所围成的区域(不含边界)记为W.

利用函数图像解决下列问题：

①若点P的横坐标是2,直接写出区域MZ内整点个数；

②若区域W内恰有5个整点，直接写出点P的横坐标孙的取值范围.

26.(本小题8.0分)

在平面直角坐标系XOy中，点(Xl,%)，(尤2，丫2)都在抛物线'=&%2-20%+8(£1<0)上，且

—1<x1<2,l-m<X2<τn+7.

(1)当m=-2时，比较%,y2的大小关系，并说明理由；

(2)若存在与，X2>满足丫1=、2，求Jn的取值范围.

27.(本小题8.0分)

如图，在△4Be中，边AB绕点B顺时针旋转α(0°<α<180。)得到线段BD,边4C绕点C逆时

针旋转180。-α得到线段CE,连接DE,点F是Z)E的中点.

(1)以点尸为对称中心，作点C关于点F的对称点G,连接BG,OG.

①依题意补全图形，并证明AC=OG；

②求证：一一.1('口；

(2)若a=60。，且F〃./〃’于H，直接写出用等式表示的FH与BC的数量关系.

28.(本小题8.0分)

在平面直角坐标系Xoy中，给定圆C和点P,若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直

线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k.已知圆。的半径为2,

Q)若点M的坐标为(1,1),则经过点M的直线被圆。截得的弦长的最小值为,点”

关于圆O的特征值为；

(2)直线y=x+b分别与％,y轴交于点4B,若线段ZB上总存在关于圆。的特征值为4的点，

求b的取值范围；

(3)点T是X轴正半轴上一点，圆T的半径为1,点R,S分别在圆。与圆7上，点R关于圆7的特征

值记为r,点S关于圆。的特征值记为s.当点T在X轴正半轴上运动时,若存在点R,S,使得r+s=

3,直接写出点T的横坐标t的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的

形状，可判断柱体底面形状，得到答案.

【详解】由几何体的主视图和左视图都是长方形，

故该几何体是柱体，

又因为俯视图是三角形，

故该几何体是三棱柱.

故选:B.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体；如

果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定.

2.【答案】C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为aX10'的形式，其中14∣α∣<10,n为整数.确定τι的值时，

要看把原数变成α时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥

10时，H是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【详解】解：将1040000000用科学记数法表示为：1.04×IO9.

故选：C.

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中1≤

∣α∣<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】C

【解析】

【分析】根据加减消元法进行求解即可.

【详解】解：［X+y=3®,

（3x-y=5@

①+（2）,得，4%=8,

解得，%=2,

把％=2代入①得，2+y=3,

解得，y=1,

・••方程组的解为：3二;’

故选：C

【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握.

4.【答案】B

【解析】

【分析】根据算术平方根的定义估算无理数√3、E的大小即可.

【详解】解：V1<√3<2,3<y∏A<4,

比C大且比√^I4小的整数有：2和3,

故选：B.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】

【分析】首先根据角平分线计算出—“EGN,再根据两直线平行内错角相等得

出乙EGC的大小即可.

【详解】解：.-IH.,EG平分NBEF,

上BEG-JFEG-匚BEF'-1KiΓ>s,

22

VAB//CD,

-BE6M，

故选：O.

【点睛】本题考查了角平分线的相关计算和平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等是解答本

题的关键.

6.【答案】C

【解析】

【分析】先利用树状图法得出两次摸球所有可能的结果，进而利用概率的计算公式求解即可.

【详解】画树状图得所有可能出现的结果数为：

共有12种等可能的结果，两次摸出小球的颜色相同的有6种情况，

两次摸出小球的颜色相同的概率是：⅛=∣.

故选C

【点睛】本题考查概率的意义和应用，掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键.列表法和树

状图法是求概率常用的方法，也是基本的方法.

7.【答案】D

【解析】

【分析】由数轴可知移项和两边除以分别得到两边同时乘得到

O<α<1,α—a<O,-a>1,a0<

a2<a,从而得到—QV0VMvQv1v工，由此选出答案.

a

【详解】解：由数轴可知：0<a<1,

***—Q<0,~≥1.

又•・,0Va<1,

••・两边乘a,得0Va2VQ,

—a<0<a2<a<l<i,

•••a,—a,a29」中，最大的是L

aa

故选：D

【点睛】本题考查不等式的性质，由数轴上的点确定式子的大小关系，掌握不等式的性质是解题

的关键.

8.【答案】A

【解析】

【分析】分别求出三个问题中变量y与变量X之间的函数关系式即可得到答案.

【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间，得y=等，符合题意；

②由人均面积等于总面积除以总人口，得y=即y=等，符合题意；

③由加满汽油后开了200km时，油箱中汽油大约消耗了ɪ,可知每千米油耗为：i×50÷200=

ɪ(ŋ,再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每/ɑn油耗乘加满汽油后汽车

16

行驶的路程得：丫=50-也，不符合题意；

综上分析可知，变量y与变量X之间的函数关系可以用该图象表示的是①②.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式

是解题的关键.

9.【答案】x≠2

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件即分母不为O可直接进行求解.

【详解】解：由题意可得：

X—2≠O,

：*X*2,

故答案为：x≠2.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解决此类问题的关键是分母不等于0∙

io.【答案】k<1

【解析】

【分析】根据反比例函数y="的图象位于第二、四象限，可以得到⅛-l<0,然后求解即可.

【详解】解：••・反比例函数y="的图象位于第二、四象限，

∙*∙k—IvO,

解得：kV1,

故答案为：k<l.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用

反比例函数的性质解答.

11.【答案W

【解析】

【分析】取点8(3,0),则4BIx轴于B,根据点A的坐标求出OB和AB,根据锐角正切函数的

定义求出即可.

【详解】取点B(3,0)，则ABLx轴于B,

•••点4的坐标为(3,4),

・・.OB=3,AB=4,

tan。=布="

故答案为：.

【点睛】本题考查了点的坐标和正切函数，能求出OB和AB的长是解此题的关键.

12.【答案】1

-1

【解析】

【分析】通过ɑ取1,b取一1可说明命题“若。2=炉，则a=b”是错误的.

【详解】解：当a=l,b=-l时，满足。2=坟，但a4b.故命题错误.

故答案为1,—1(答案不唯一).

【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真

即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一

个反例即可.

13.【答案】乙

【解析】

【分析】根据方差越小越稳定和平均数进行决策即可.

【详解】解：•••乙的平均数最大，方差最小，即乙的成绩好且状态稳定，

这名队员应是乙.

故答案是：乙.

【点睛】本题考查了平均数，方差，熟练掌握平均数、方差的决策意义是解题的关键.

14.【答案】150°

【解析】

【分析】延长AD,BC相交于点E,由三角形内角和定理求出∙/.W-'I∣>(,IM由

对顶角相等可得从而可得结论.

【详解】解：延长AD,BC相交于点E,如图，

又.H7n.

.∙.-E171_117lNI71l30.

又.2.Il)(,.IISD

.∙.Z2+EIH'I8(F-ZAI、”：«i15n.

又」".1

.∙..I-.2l,r∣0.

故答案为：150。.

【点睛】本题主要考查了对顶角相等，三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解答本

题的关键.

15.【答案】I

【解析】

【分析】先证明△力DE-∆ABC,然后利用相似三角形的性质求解.

【详解】解：∙∙∙DE"BC,

ΔADE~ΔABC,

DE

.SAZWE_（A2—_J_

vj

"S^abc~BC-4+5'

DE2

'"^BC~3,

故答案为：I.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已

有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通

过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系.

16.【答案】C

E、H、/或H、E、/.（二者之一即可）

【解析】

【分析】①C地GoP名次下降，只能是第一名下降而来的，即上一年度排名第1的区县是C；

②F地GDP名次下降，上一年度F地排第五，G地GDP名次上升，上一年度G地排第九，E地本

年度GDP排第五，名次上升，上一年度可能是排第六或者第七，然后分类讨论即可.

【详解】解：①•：Z地GDP名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，B地GDP名次无变化，

只能是第三名上升而来的，即原来4地原来名次是第三名；

同理，C地GDP名次下降，只能是第一名下降而来的；

二上一年度排名第1的区县是C,上一年度排名前四名依次是C、B、4D;

②F地GDP名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度F地排第五；

同理，G地GDP名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度G地排第九.

∙∙∙E地本年度GDP排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，

ʌE地上一年度可能是排第六或者第七

0）若E地上一年度是排第六，即E地和产地的排名交换，

ʌ，地上一年度是排第七，/地上一年度是排第八，

•••上一年度排名从前往后依次是：C,B、4、D、F、E、H、I、G、J;

5）若E地上一年度是排第七，

•••”地本年度GDP排第八，GOP名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八，

ʌH地上一年度是排第六，/地上一年度是排第八

...上一年度排名从前往后依次是：c、B、4、D、F、H、E、/、G、J;

上一年度排在第6,7,8名的区县依次是E、H、/或E、I.

故答案为：C；E、H、/或E./（二者之一即可）.

【点睛】本地考查组合排列问题，根据数据特点分析第一个下降和最后一个上升和分类讨论是解

题的关键.本题建议在表格下方增加一行“上一年度排名”，然后边推理边填空可以提高速度.

17.【答案】解：√^-4cos45°+φ-1-∣-2∣

LC

=272—4×-2—F3-2

=2√^2-2yJ~2+3-2

=1.

【解析】

【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数累、绝对值的性质逐项计算，即可求解.

【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数基、绝对值的性质是解题

的关键.

18.【答案】解：卜+1>⅛L①，

（3x-1≤5@

由①得：X>-1,

由②得：X≤2,

••・原不等式的解集为一1<X42；

.•・原不等式所有正整数解为：1,2.

【解析】

【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解答.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

19.【答案】（1）解：补全图形如下：

图2

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【解析】

【分析】（1）按照步骤操作即可；

（2）根据矩形的判定定理推导，填空即可.

【详解】（1）见答案；

（2）证明：•：AD=BC=b,AB^DC=a,

••・四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

「直线mil,

∙∙∙^ABC!K»，

.∙∙四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.

故答案是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【点睛】本题考查尺规作图，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键.

20.【答案】解：（。一》+等

a2-1a2

=------×-----

aa—1

（a+l）（a—1）a2

=--------------×-----

a

=α2+α,

vα2÷α—5=O

ʌα2÷α=5

1、.Q-12I

∙*∙z(CL—ɑ)■：—^2-=Q4+Q=r5∙

【解析】

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

21.【答案】解：根据题意得'，：＞∣u,,IH,

解得τn≤p

所以正整数m的值为1,

代入原方程得X2-3X+2=0,

即(X-2)(X-I)=0,

∙*∙ɪɪ=2,%2=1•

【解析】

【分析】先根据根的判别式的意义得到、，：厂I，，，IiU,解不等式，从而得到正整数

m的值，代入原方程，然后利用因式分解法解方程即可.

【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，正确得出m的值是解题关键.

22.【答案】(1)证明：・•・四边形ABCD是矩形，

.∙.ΛC=BD,AD//BC,

又∙.∙DE//AC,

••・四边形ADEC是平行四边形，

∙∙∙AC=DE,

∙∙.BD=DE.

(2)解：如图，过点。作OFJ.C。于点F,

•••四边形4BCD是矩形，

∙∙.4C=B。,点。是4C,BD的中点，AD=BC=4,

■•-0C=^AC,OB=^BD1

：,OC—OB,

.∙.CF=BF=WBC=2,

∙∙∙F点是BC的中点，

。/是△BCD的中位线，

1

••OF=^CD=1,

又•・・四边形ADEC是平行四边形，

・•・CE—AD=4,,

・・・EF=CF+"=2+4=6.

在W二(〃卜中，由勾股定理可得：OE=7。尸2+E-=VM+62=λfy7.

【解析】

【分析】

(1)根据矩形的对角线相等可得AC=BD,对边平行可得40〃BC,再证明出四边形4。EC是平行四

边形，根据平行四边形的对边相等可得AC=DE,从而得证；

(2)如图，过点。作OF1CD于点F,欲求OE,只需在RtΔOEF中求得OF、FE的值即可.结合

三角形中位线求得。F，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得OE即可.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ZDEC是平

行四边形是解题的关键.

23.【答案】(1)补全图形如下:

(2)88.5分；94分

(3)2000X9+3辘婷+1=950(份)

答：估计这两个小区的居委会一共需要准备950份小奖品。

【解析】

【分析】(1)用20减去第一、二、四、五组的频数即可得到第三组(704x<80)的频数，进而可

补全频数分布直方图；

(2)根据中位数和众数的定义求解即可；

(3)用样本百分比估计总体数量即可.

【详解】(I)第三组(704*<80)的频数为：20-1-1-7-9=2,

详图见答案.

(2)•••20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是第10和11个，

•••4小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数在80≤x<90这一组内的第6和7个

数据的平均数，即誓=88.5；

B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中出现次数最多的是94分，出现4次，

故B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中众数是94分，

故答案为：88.5分;94分;

(3)见答案.

【点睛】本题考查的是频数分布直方图，中位数，众数以及用样本估计总体等知识.读懂统计图，

从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数

据.

24.【答案】⑴解：连接IM,

V4。为。。的直径，

∙∙.winW,

.∙.AMLBD,

「四边形ABCD是菱形，

.∙∙AD=AB,

.∙.点M是8。的中点，

.∙.DM=BM.

•••四边形4BCD是菱形，

£DBE=£DBF，ZPAB+ZΛBfIN)

在ΔDBE和ΔDBF,

,BE-DF

<LDBE--DBF,

、BD=BD

.∙.ΔDBE三ADBF(SAS),

•••.DEB-.DFB，

■：AD是。。的直径，

∙∙∙.∖lI).f)ΓH!M>，

二工RFDZDEHMO，

••^DAB∙^ΛU(M,

•••在四边形ABFD中，一；1。1，一8/0ISlI,

∙∙.IDF∙M),

∙∙∙AD^DF，

∙∙∙DF是。。的切线.

【解析】

【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角及菱形的性质得到点M是BC的中点即可解答；

(2)根据菱形的性质及全等三角形的判定得到△DBE≡ΔDBF,再根据全等三角形的性质得

到,Dl!：M，最后利用四边形的内角和及切线的判定即可解答.

【点睛】本题考查了菱形的性质，直径所对的圆周角是90。，等腰三角形的性质，切线的判定,

全等三角形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键.

25.【答案】(1)解：函数y=g(x>0)的图像与一次函数y=2x的图像交于点4(a,2),

・•・2=2XQ,即Q=1,

・•・4(1,2),

将4(1,2)代入反比例函数y=>0)中，2=：解得：k=2.

(2)①由(1)可知反比例函数解析式为y=:(X>0),

;点P是射线。4上一点，P的横坐标是2,

・•・y=2X2=4

:∙P(2,4)

将％=2代入y=：(%>0),得y=1

将y=4代入y=I(%>0),得％=；

•・,点P与％轴，y轴的垂线交函数y=g(x>0)的图像于点B,C,

.∙.8(2,1),呜4)，

如图:

结合函数图像可知，区域勿内有1个整数点；

②区域W内恰有5个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图:

结合图像可知，当2<4《|时，区域内有5个整数点.

【解析】

【分析】(1)先根据直线的解析式可求α的值，从而可得点4的坐标，再将点力坐标代入反比例函

数的解析式可得k的值；

(2)①先求出点P坐标，再根据反比例函数的解析式求出点8、C坐标，然后结合函数图像、整点

的定义即可得；②由图可知点P不可能在点4下方，故点P在点4上方，结合函数图像列出不等

式组求解即可.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数的性质，正确画出函数图像

是解题关键.

26.【答案】(l)yι>%∙

理由：Vy=ax2-2ax+8=α(x—I)2+8—α,

.•・抛物线的对称轴是直线X=1,

当τn=—2时，3VA⅛V5

V-1<x1<2,3<X2<5,对称轴是直线X=I

・•・X1比X2离对称轴近，

Vα<O,抛物线开口向下，

∙∙∙'ι>丫2・

(2)・・,?zι=D2、

ʌχ1与X2关于对称轴X=I对称，

V—1<%ι<2,

ʌO<X2<3,

即F消?，

Im+7>3

解得m>1.

【解析】

【分析】(1)当τn=-2时，3<上<5,将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据x1,X2的

大小判断与对称轴的距离，结合α<0,即可得出答案；

(2)根据题意可知满足y1=y2'即ɪi与X2关于对称轴x=l对称，当一1</<2时，则x2的

最小值要比Xl=2时的对称点0小，&的最大值要比Xl=-1时的对称点3大，解不等式组即可.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找小的取值范

围.

27.【答案】(1)①依题意补全图形如图所示：

证明：•••点尸是DE的中点，

.∙.DF=EF,

••・点C关于点F的对称点为G,

.∙.CF=GF,

又∙∙∙..IK∙,

：,△DFG=△EFC,

・•・DG=CE,

由旋转的性质可得：AC=CE,

ʌAC=DG.

②证明：•・・点C关于点F的对称点为G,

ʌBG—BC,

-BD=BA1DG=AC,

△BDG=ΔBAC,

M；HZA(B

(2)FH=^-BC.

【解析】

【分析】(1)①依题意补全图形如图所示，先证明△DFG≡ΔEFC,推出DG=CE,然后结合旋

转的性质可得结论；②根据对称的性质可证明ABOG=ZkBHC,可得结论；

(2)连接AC,BF,如图，根据等边三角形的判定结合(1)②的结论可得ABGC是等边三角形，可

得/«1皿，再根据等边三角形的性质、30。角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出

结论.

【详解】(1)见答案；

(2)解:连接ADBF,如图，由题意得/〃Ll幡,

■:△BDG=△BAC9

ʌZDBG"0.1，

ʌ.(tl((,-.I)IiA八".

•・•BG=BC,

ʌ△BGC是等边三角形，

ʌZBCF=NG*60

∙∙∙点尸是CG的中点，

'RFlCGdCBFIzCBG30,

»

.∙.CF=^BC,

∙∙u(,,z/;cF-æ*,

∙∙∙FH=CF-sin60°=华CF=孕BC;

24

•••FH与BC的数量关系是FH=华BC.

4

【点睛】本题考查了对称变换、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、30。角的直

角三角形的性质以及三角函数等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键.

28.【答案】(1)2y∕~2,3.

(2)解：设点G是圆。的特征值为4的点，

由(1)可知经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，

•••特征值要保证为4,

经过点G且弦长为2的直线有且只有1条，

经过点G的直线被圆。截得的弦长的最小值为2,

∙∙∙√22-l2=√^3，

•••由(1)可知，关于圆。的特征值为4的所有点都在以。为圆心，C为半径的圆周上,

∙.∙直线y=x+b分别与x,y轴交于点A,B,

.∙.A(-b,O),B(0,b),

：.OA=OB=b,

•••/(〃，〃15

当b>OH寸，

•••线段AB上总存在关于圆。的特征值为4的点，

二线段4B与以。为圆心，，?为半径的圆有交点，

当线段4B与以。为圆心，C为半径的圆相切时，将切点设为“，连接。"，则OH=C，

OB=√-20H=√^6，

∙'∙b1=V-6»

将以。为圆心，C为半径的圆与y轴正半轴的交点记为B1,则0B∖=C,

当线段4B与以。为圆心，为半径的圆相交，且过点Bl时，可得∕⅛=C,

V-3≤ð≤V^^6;

同理可求当b<0时，-门《b4-口;

综上，b的取值范围是√^3≤Z?≤√^6或一■/%≤h≤-√-3∙

(3)∙∙∙同一平面内，对于任意一点Q,经过0、Q的直线与圆。截得的弦(直径)都为4,

；•点Q关于圆。的特征值不可能为0,

rsH0,

Vr+s=3,且r、S都是整数，

∙∙∙｛r