上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题汇编（16套）-04填空题提升题

上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度

分层分类汇编（16套）-04填空题提升题

【考点目录】

函数的最值及其几何意义（共1小题）.........................................1

一-H七.双曲线的性质（共2小题）...............................................21

【专题练习】

函数的最值及其几何意义（共1小题）

1.（2023∙徐汇区二模）已知函数/（x）=X+幺+匕，xe∖b,+∞）,其中。＞0,αwR,若f（x）

X

的最小值为2,则实数0的取值范围是—.

二.函数奇偶性的性质与判断（共1小题）

2.（2023•奉贤区二模）已知y=f（x）为R上的奇函数，且当x.0时，

f（x）=—+—ln（x+｝）+—cos—X+a,贝IJy=/（x）的驻点为___.

24π3

≡.函数恒成立问题（共2小题）

3.（2023•长宁区二模）若对任意xe[l,2],均有|丁-“|+次+”|=|*2+.，则实数。的取

值范围为.

4.（2023•金山区二模）已知函数y=/（x）和y=g（x）的表达式分别为/（x）=，-/一4x,

g（x）=x∖x2-a∖,若对任意XIen,应],若存在&c[-3,0],使得g（%）＜/（电），则实数。

的取值范围是—.

四.弧度制（共1小题）

5.（2023∙青浦区二模）已知函数y=JΓ7,-⅛⅛；的图像绕着原点按逆时针方向旋转

。（怎吩乃）弧度，若得到的图像仍是函数图像，则，可取值的集合为—.

五.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换（共1小题）

6.（2023•黄浦区二模）若函数y=/（x）的图像可由函数y=3sin2X-GCOS2x的图像向右平

移以0＜9＜万）个单位所得到，且函数y=∕（x）在区间[0,g上是严格减函数，则9=—.

六.函数的零点与方程根的关系（共1小题）

7∙（2023∙闵行区二模）若关于X的方程d），+机=GrT在实数范围内有解，则实数机的取

2

值范围是—.

七.数列的求和（共1小题）

8.（2023•徐汇区二模）已知数列｛α,,｝满足：对于任意〃eN*有qe（0《），且％=?,

/（4+∣）=〃也），其中/（x）=tanx.若"=----------，数列电｝的前"项和为7；，

tanaπ+1-tana,,

贝/=—•

八.利用导数研究函数的极值（共1小题）

9.（2023•嘉定区二模）若关于X的函数y=立上在R上存在极小值（e为自然对数的底数）,

e

则实数”的取值范围为一.

九.向量的概念与向量的模（共1小题）

10.（2023∙普陀区二模）设X、yeR,若向量α,b,C满足“=（x,l）,b=（2,y）,c=（1,1）,

且向量α-%与C互相平行，则∣α∣+2g∣的最小值为.

一十.两向量的和或差的模的最值（共1小题）

11.（2023∙长宁区二模）已知空间向量a、b、c>d满足：∣α-6∣=l,Ib-Cl=2,

（a-b）∕∕（b-c）,（α-rf）∙（⅛-J）=O,则IC-Hl的最大值为.

一十一.平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）

12.（2023•虹口区二模）已知平面向量α,b>c>©满足Ial=3,Iel=1,∖b—a\=\,

OTT

<a,e>=-,且对任意的实数f,均有ICTel.」c-2e|,则∣c-6∣的最小值为.

3

一十二.平面向量的综合题（共1小题）

13.（2023•金山区二模）已知a、b、。、［都是平面向量,且Ial=2∣α-b∣=∣5α-c∣=l,

若S,"〉=工，则々-d∣+H-d∣的最小值为____.

4

一十三.正弦定理（共2小题）

14.（2023•静安区二模）已知ΔABC中，SinA=3sinCcos3,且AB=2,则AABC面积的

最大值为一.

15.（2023•浦东新区二模）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c,若

5«cosA=bcosC+ccosB）则sin2A=.

一十四.解三角形（共1小题）

16.（2023∙青浦区二模）如图所示，要在两山顶M、N间建一索道，需测量两山顶M、N

间的距离.已知两山的海拔高度分别是MC=IOO6米和NB=50√Σ米，现选择海平面上一

点A为观测点，从A点测得“点的仰角NM4C=60。，N点的仰角NW4B=30。以及

ZMW=45°,则MN等于米.

一十五.椭圆的性质（共1小题）

17.（2023•青浦区二模）如图，已知耳，居分别是椭圆C:=+4=l（o>b>0）的左、右焦

arh^

点，M,N为椭圆上两点，满足KM〃心N,且I乃Nl:|EMl月MI=I:2:3,则椭圆C的

18.（2023∙闵行区二模）已知抛物线£:V=8χ,圆G：（x-2）2+y2=1,点M的坐标为（4,0）,

P、Q分别为crG上的动点，且满足IPMHPQI，则点尸的横坐标的取值范围是.

19.（2023∙崇明区二模）已知抛物线d=2y上的两个不同的点A,8的横坐标恰好是方程

f+6x+4=0的根，则直线"的方程为.

一十七.双曲线的性质（共2小题）

20.（2023•奉贤区二模）设圆d+y2-2χ-4y+4=0与双曲线「-5=1的渐近线相切，

ab

则该双曲线的渐近线方程为一.

22

21.（2023•长宁区二模）已知耳、居是双曲线「:5-5=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，/是

a~b~

「的一条渐近线，以F?为圆心的圆与/相切于点P.若双曲线「的离心率为2,则

sinZ-PFxF-,=.

上海市2023年各地区高考数学模拟(二模)试题按题型难易度

分层分类汇编(16套)-04填空题提升题

参考答案与试题解析

函数的最值及其几何意义(共1小题)

1.(2023∙徐汇区二模)已知函数f(x)=x+@+6,x∈［⅛,+∞),其中。>0,α∈R,若/(x)

X

的最小值为2,则实数。的取值范围是_(-oo,l)

【答案】(fo,l).

【解答】解：①当α>0时，f(x)在［6,+OO)上单调递增，在(0,6)上单调递减，

⑴当夜,6时,F(X)在屹,+8)上单调递增,

f(x)=/(⅛)=2b+y=2,则2/-26+“=O,

minb

ʌɪl-2a®,⅛二I±-2。4a，

:.a,,b2,2b-2b2,,b2,b>0,:.⅛...-,.∙.⅛=l+^1~2f-,

32

1+"2«一1

1

ɪa>—ɪ14

=>0v4，一或<4=>o<q,一或一<④一，

4L449

1-2O..4Q-4√Q+1

4

O<CL,,一；

9

(H)当右>人时，/(X)在［6,+00)上单调递增，在［b,&)上单调递减，

•••fMmil,=，(而=2√α+b=2,

0<⅛<-Ja,即-Ja>2—2>∕a>O,—<α<1；

②当W,O时，/(X)在g,+8)上单调递增，

fMmill=f(b)=26+［=2,

b

b>0,.∙.⅛=1+V~^α.,因此a,O满足题意；

综上，。的取值范围为(-∞,1)∙

故答案为：(9,I).

二.函数奇偶性的性质与判断(共1小题)

2.(2023♦奉贤区二模)已知y=f[x)为R上的奇函数，且当x.0时，

/(X)=—+—∕n(x+l)+-cosj^-x+α,则y=∕(x)的驻点为_+ɪ_.

24π32

【答案】±3.

2

【解答】解：根据题意可得：当x..()时，f(x)=x+^—-4sin-,

4(x+l)3

25

令g(x)=x+---:——(X..0),

4(x+l)

则g，(x)=1——J∙=②+7)(2：-3),

4(x+l>4(X+1)2

当Xe(O,∙∣)时，g,(x)<0,g(x)单调递减；

当x∈(∣,+8)时，g,(x)>O,g(x)单调递增，

,g(x)∙∙g(∣)=4,

.∙.∕,(x)=XH----------4sin—..4-4=0,

4(x+l)3

.∙J(x)在(0,4^o)上单调递增，且∕,(∣)=4-4sin|=0,

又y=/(X)为R上的奇函数，

.•.、=/(*)的驻点为±|.

故答案为：土?.

2

≡.函数恒成立问题(共2小题)

3.（2023•长宁区二模）若对任意x∈[l,2],均有∣χ2-α∣+∣x+α∣=∣χ2+χ∣,则实数。的取

值范围为—

【答案】[一1,1].

【解答】解：・在绝对值不等式∣a+b∣,,|“|+|勿中，

当。，/?同号时，有∣α+hH∙l+l勿，

又.IV+%∣=∣(J-〃)+*+Q)I=IX2-αJ+11+〃I,

，一q)(χ+α)..0在χ∈[i,2]恒成立,

.『一".O或卜--6,0在Xen，2]恒成立，即卜或一.厂在X€[1,2]恒成立,

x+α..0[x+6/„0[α...-x[α,,-x

即卜1或0,

…—1

综上所述，实数”的取值范围为[T,IJ.

故答案为：[-1，1].

4.(2023•金山区二模)已知函数y=∕(x)和y=g(x)的表达式分别为/(x)=JT?γX,

g(x)=x∣f,若对任意占G[I,0"],若存在Λ2e[-3,0],使得g(x∣)</(々)，则实数

的取值范围是_(2-应-3)一

【答案】(2L√Σ,3).

【解答】解：因为对任意王e[l,忘I，若存在&e[-3,0],使得g(x∣)</(%)，

所以/(x)M>g(x)M，

因为f(x)=J-X?-4x,

所以当X引一3,0]时，/(χ)raat=/(-2)=2,

当α,0时，g(x)=x(x2-a)=x3-Cix,g'(x)=3x2-a..0,

所以g(x)在［1,JΣ］上单调递增，

所以g(x)m0r=g(Jl)=2忘_缶，

所以2√Σ-√Σα<2,解得a>2-&\与a,0矛盾，舍去;

当α>O时，g(x)=小—丽

3

-X+ax,-y∣a^>icy∣a

当XV-y∕a或%6时，

g(x)=X3-or,g'(x)=3X2-a,

2

令g'(x)=3x-a=0得Lg

又因为

所以当x>6时，g'(x)>O,g(x)单调递增;

当4a时,

g{x}=-X3+ax,g'M=-3X2+a,

所以当x∈(O,J±)时，g'(x)>0,g(x)单调递增;

G)时，g'(x)<O,g(x)单调递减;

综上所述：g(x)的单调递增区间为,(、7，+oo);单调递减区间为e(,

所以当即a.6时，g(x)在［1,√∑1上单调递增,

所以g(x)i=g(6^)=-2√2+-Jla,

由-2近+缶<2,解得a<2-√Σ,与α.6矛盾，故舍去;

当1<<∙J1,即3<α<6时，

g(x)在(1,A)上单调递增，在唔,√Σ)上单调递减，

所以g*)mM=g(∣)=eg+a/号鸟

由停J"<2,解得“<3,与3<a<6矛盾，故舍去；

当IVB3”1,即嗡山3时，

g(x)在［1,√Σ］上单调递减,

所以g(x)s=g(D=-∖+a,

由一1+"2,解得"3,

又因为2都73,

所以2,。<3；

当1<女<7∑,即1<α<4时,

g(x)在(1,6)上单调递减，在(五，点)上单调递增,

又因为g(1)=a-i,g(√Σ)=2√Σ-√L,

当g(√∑)..g(1),即2√Σ-缶..α-l,1<4,3-忘时，

g(x∖=g(应)=2√Σ-缶,

由2√Σ-√Σ“<2,解得α>2-√Σ,

所以1<3-∖∣2；

当g(√∑)<g(1),即2点一√∑“<α-l,3-应<“<4时，

g(x)χ=g⑴=。-1，

由α-l<2,解得”3,

所以3-√Σ<“<3;

当JZ,1,即由1时，

g(x)在口，√Σ］上单调递增,

所以g(X)M(K=g(五)=2五-√2α,

由20■-√L<2,解得α>2-忘，

所以2-`jl.<4,1：

综上所述，4的取值范围为：(2-忘，3).

故答案为：(2-点，3).

四.弧度制(共1小题)

5.(2023∙青浦区二模)已知函数y=Ji=7,-［领k白的图像绕着原点按逆时针方向旋转

-22

。(城乃)弧度,若得到的图像仍是函数图像,则，可取值的集合为［失划一

【答案】［O,yHJ［y,π］.

【解答】解：画出函数/(χ)=JFT孑，^的图象，如图1所示：

22

y

图1

圆弧所在圆的方程为χ2+),2=1,ʌ(-ɪ,等)，8(；,与,

在图象绕原点逆时针旋转的过程中，当点A从图1的位置旋转到(-1,0)点时,

根据函数的定义知，这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示:

V

若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点B在X轴下方，点A在X轴上方时,

根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：

此时转过的角度为不满足题意;

33

若函数图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在X轴下方时,

根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：

此时转过的角度为3领J9π:

3

综上知，6的可取值集合为[O,ɪŋ[-,π∖.

故答案为：[O,ɪ]j[-,π↑.

五.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换(共1小题)

6.(2023•黄浦区二模)若函数y=/(x)的图像可由函数y=3sin2x-⑺cos2x的图像向右平

移奴0<9<万)个单位所得到，且函数y=f(x)在区间[0,9上是严格减函数，则Q=

2π

T-e

【答案】—.

3

【解答】解：由于函数y=∕(χ)的图像，由函数

y=3sin2x-ʌ/ɜcos2x=2>∕J(-sin2x——cos2Λ)=2∙j3sin(2%--)的图像向右平移

226

以0<夕<丁)个单位所得到，所以f(x)=2>^sin(2x-2e-马.

6

由于函数y=f(x)在区间[0,马上是严格减函数，2x-2φ-±w∖Cφ-三，π-2φ--],

2666

所以尹2人阖-印-工<2-%y+2⅛π,(ZeZ),

即礴I1-A+%%且夕-三+k兀,(Z∈Z),

故0=一《一2乃，(左∈Z),

由于0<°〈4，

1>2π

故O=ʒ--

故答案为：.

3

六.函数的零点与方程根的关系(共1小题)

7∙(2023∙闵行区二模)若关于X的方程d)，+机=GrT在实数范围内有解，则实数机的取

2

值范围是_［-2_2_+8)_.

【答案】［-2,+∞).

【解答】解：根据题意，方程(5•'+〃?=G∏^,变形可得〃?=而T-W),,

设f(x)=Jx+1—(~)',X€［―1，÷∞),

若X的方程(ɪ)ʃ+m=JX+1在实数范围内有解，则直线y=〃z与函数/(x)=Vx+1-(ɪ)v的

图象有交点，

函数y=而T在区间［-1，+8)上为增函数，y=(g)*在［-1,+8)上为减函数，

则函数/(》)=777?-§)*在［-1,+8)上为增函数，

则/(x).J(T)=-2，

若直线y=m与函数/(x)=Gn^-(l『的图象有交点，必有机..-2,即，”的取值范围为

2,÷oo).

故答案为：［-2,+00).

七.数列的求和(共1小题)

8.(2023•徐汇区二模)已知数列｛q｝满足：对于任意〃eM有4e(O,g,且4=?，

=，其中/(x)=tanx∙若〃=----------，数列｛"｝的前八项和为，，

tan¾+,-tan¾

则7”、=10.

【答案】10.

【解答】解：因为/(x)=tanx，则

/⑴=曾)，=££江吧*=ɪ=i+ta/X,

COSXCOSXCOSX

22

由4=?，)=〃'(《,)，可得tanh=Jl+tan'z,,tanan+,-tanan=∖,

所以｛121?6,｝是以1皿24=1为首项，1为公差的等差数列，

所以tan?%=”，an∈(0,y)>tanan>0,则tan4=五，

所以为=----以^-----=pʃ-?)~~-F==(T)”(Λ∕H+1+册)，

tan⅛+1-tan¾√n+l-√n

所以

Tl20=b,+b2+b,++⅛ll9+⅛l20=-(√2+l)+(√3+√2)-(√4+√3)++(>^2?+√120)=√17Γ-1=11-1=10

故答案为：10∙

八.利用导数研究函数的极值(共1小题)

9.(2023∙嘉定区二模)若关于X的函数y=■?在R上存在极小值(e为自然对数的底数)，

e

则实数”的取值范围为_(0,4)_.

【答案】(0,4).

【解答】解：因为y=所以y=-r'+3∕-”,

ee

令Λ(x)=-X3+3X2-a,则h∖x)=-3x2+6x=-3x(Jr-2),

所以当XVo或x>2时"(x)<0,当OVXV2时”(x)>0,

所以〃(X)在(-oo,0),(2,+oo)上单调递减，在(0,2)上单调递增,又〃(0)=-。，h(2)=4-α,

当-a>0即α<0时h{x}与x轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为与,

则当X<X0时h(x)>0,即y>0,⅛x>x0时⅛(x)<0,即y<0,

即、=二£在(-00多)上单调递增，在(%，+00)上单调递减，此时函数在X=Xo处取得极

e

大值，无极小值，不符合题意；

当4-α<0,即α>4时∕z(x)与X轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为七，

则当x<xj寸版x)>0，即y'>0,当x>z时版x)<0，即y'<0，

即丫=土上£在(70,%)上单调递增，在(％，+∞)上单调递减，

e'

此时函数在X=七处取得极大值，无极小值，不符合题意；

当α=0时，当％,3时,A(X)..0,即y..0,当x>3时，A(x)<0BP∕<0,

所以V=三三在(7,3)上单调递增，在(3,丑0)上单调递减，

eλ

此时函数在x=3处取得极大值，无极小值，不符合题意;

当α=4时，当x...-l时Kx),,O即义,O,当XVT时〃(X)>0BP/>0,

所以y=立£在(-00,-1)上单调递增，在(-1,^0)上单调递减，

e

此时函数在X=T处取得极大值，无极小值，不符合题意；

当一口vθv4-a,即OVaV4时h(x)的图象如下所示:

即∕z(x)与X轴有3个交点，不妨依次设为％、x2ʌx3,

则当XV玉或WV%<不时〃(幻>O，即y>O,当X>七或菁<]%时力(X)<O，即y<O,

所以丫=立£在X=々处取得极小值，符合题意，

e

综上可得实数”的取值范围为(0,4).

故答案为：(0,4).

九.向量的概念与向量的模(共1小题)

10.(2023•普陀区二模)设X、yeR,若向量α,b,C满足α=(x,l),6=(2,y),¢=(1,1),

且向量α-6与C互相平行,则∣d∣+2历I的最小值为-3√5-.

【答案】3√5.

【解答】解：a-b=(x-2,∖-y),且α-〃与e互相平行，

.∙.X—2—(1—y)=O,

.∖y=3-x,

:.a+2b=(x+4,7-2x),

.∙.(∣a∣+2∣⅛∣)2J⅛α+2Z>)2=(x+4)2+(J-2x)1=5xl-20x+65=5(%-2)2+4545,

∖d∖V2∖b∖..3>∣5,

.∙.∣4∣+2∣6∣的最小值为3括.

故答案为：34.

一十.两向量的和或差的模的最值(共1小题)

11.(2023∙长宁区二模)已知空间向量a、b、C、d满足：∣"-6∣=1,Ib-CI=2,

(a-b)//(b-c),(a-d)∙(b-d)=O,则IC-dI的最大值为3.

【答案】3.

【解答】解：根据题意，b-c=+2(a-b),5.(a-d')∙(b-d)=O,∖a-b∖=∖,且设ɑ-b与

c-d的夹角为6,

①6-c=2(α-ZO时，

(a-d)∙(b-d)=[(a-b)+(b-d)]∙[(h-c)+(c-d)]

=[{a-b)-3t-(b-c)+{c-rf)]∙[(/?-c)+(c-d)]

=[3(〃-⅛)+(c-rf)]∙[2(Q-⅛)+(c-rf)]

=6+(C-d)2+5(〃-h)∙(c-d)

=IC-d『+51c-dIcos6+6

=O，

,Seos。、？25COS2Θ,1、1，八<4用/口

.∙.(z∖c-dil∖+----厂=------6„-,当CoSe=±1时取等号，

244

.∙∙8S6=T时,∣d-d∣取最大值3；

②b-C=-2(〃-时，

(a-d)∙(b-d)=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]∙[(b-c)+(c-d)]

=[-(a-⅛)÷(c-d)]∙[-2(tz-⅛)+(c-J)]

=2+(c-J)2-3(6r-⅛)∙(c-rf)

=O,

.-.(∣e-d∣-也”)2=上竺^一2,L当CoSe=±1时取等号，

244

.∙.cos6=l时,∖c-d∖取最大值2,

综上得，∣c-d∣的最大值为3.

故答案为：3.

一十一.平面向量数量积的性质及其运算(共1小题)

12∙(2023∙虹口区二模)已知平面向量α,b,c,e满足∣4∣=3,Iel=1,∖b-a∖=↑,

ɔ∙rrS

<a,e>=-,且对任意的实数f,均有ICTel..」c-2e|,则IC-川的最小值为

【答案】

2

【解答】解：作O4=α,OE=e,以04为X轴建立平面直角坐标系，如图所示；

因为∣α∣=3,∣e∣=l,<a,e>=-,所以点A的坐标为(3,0),点E的坐标为(-1,且)，

322

作OB=6,设点8(x,y),因为∣4Bl=IOB-OA∣=∣6-4∣=l,所以J(D?+/=1,

所以(x-3)3+y2=ι,所以点B在以(3,0)为圆心，以1为半径的圆上；

因为对任意的实数r,均有ICTel…∣c-2e∣,所以|c—e『…∣c-2ef,又∣e∣=l,

所以产一26・b+46"-4..0恒成立,所以(2e∙c)2-4(4e∙c-4),,0,

所以(e∙d-2R,0,即e∙c=2,作OC=c,设点C(Ky),则+等旷+4=0,即

√-√3∕+4=0,所以点C在直线V-√Jy+4=0上；

因为∣c-b∣=IOC-OBH8C∣,且点B在圆(x-3>+y2=l上，点C在直线V-√Jy'+4=0

上，

所以点B到点C的最小距离是圆心Λ到最新的距离减去圆的半径，

即∣8C∣...IACI-1,当且仅当点B为线段AC与圆的交点时“=”成立;

因为点A(3,0)到直线√-√3∕+4=0的距离为d=3+0+47

√Γ+3~2

所以点A到点C的距离大于或等于即IACl…工，

22

所以IBCl庞IACl-II,当且仅当AC垂直于直线V-√^∕+4=0,且点5为线段AC与圆

的交点时“=”成立;

所以I，-们的最小值为

故答案沏I

y

一十二.平面向量的综合题（共1小题）

13.（2023•金山区二模）已知々、b、C、d都是平面向量,且Ial=2∣α-6R5a-c∣=l,

若〈a,d〉=工，则∣b-d∣+∣c-d∣的最小值为_后-』_.

4-2―

【答案】√26--∙

2

【解答】解：如图设04=a,OM=5a,OB=b,OC=c,OD=d,

点C在以M为圆心，半径为1的圆上，ZNOM=-,

4

所以。在射线ON上，

所以∣j∣+KT"例+g…mj∣WT

3

=IDAI+1。Mlq,

作的A关于射线ON的对称点G,

TT

贝IJlQGI=ID4∣,B.ZGOA=-,

2

33

所以IzMl+1Z)Ml—…IGMl—

22

=√l+25--=√26--,（当且仅当。、G、M共线时取等号），

22

g-〃∣+∣c-d∣的最小值为后-3.

2

故答案为：-726--.

2

一十三.正弦定理（共2小题）

14.（2023•静安区二模）已知ΔABC中，SinA=3sinCcos3,且AB=2,则ΔABC面积的

最大值为3.

【答案】3.

【解答】解：已知AABC中，SinA=3sinCcos5,由正弦定理得：a=3ccosB,

故SΔΛBC=gαcsin3=∕∙（6cos3）∙2∙sin3=3sin23,,3.

即八钻。面积的最大值为3.

故答案为：3.

15.（2023•浦东新区二模）在ΔABC中，角4、B、。的对边分别记为a、b、c,若

5acosA=/?8sC+ccos8,则sin2A=.

-25一

【答案】亚.

25

【解答】解：由于54cosA=bcosC+ccos4,

利用正弦定理：5sinAcosA=sinBcosC÷sinCcosB=Sin（3+C）=sinA,

由于A∈（0,%）,

故COSA=L,

5

所以Ae（0,工），故sin4=也，

25

所以sin2A=2sinACOSA=2x,x∙=.

5525

故答案为：生四.

25

一十四.解三角形（共1小题）

16.（2023•青浦区二模）如图所示，要在两山顶〃、N间建一索道，需测量两山顶M、N

间的距离.已知两山的海拔高度分别是MC=IOO6米和N8=50√Σ米，现选择海平面上一

点A为观测点，从A点测得M点的仰角NM4C=60。，N点的仰角NW4B=30。以及

ZMAN=45°,则MN等于_1（X）√Σ_米.

【答案】100√2.

【解答】解：在RtΔAMC中，ΛMAC=60°,MC=Ioo√L

…MC100√3…

.*.AM=---------=—7=-=200，

SinNMAC√3

^2^

在RtΔABN中，ZΛ¼B=30o,NB=50√2,

.∙.AN=2BN=HK)我,

在MMV中，ZMAN=45°,由余弦定理得MN?=+AW?-2AM∙ANcosNM4N

=(100√2)2+2002-2×100√2-200×-=20000,

2

.∙.M∕V=100√2.

故答案为：100&.

一十五.椭圆的性质（共1小题）

22

17.（2023•青浦区二模）如图，已知耳，鸟分别是椭圆C:£+方=l（4>b>0）的左、右焦

点，M,N为椭圆上两点，满足〃工N,且IENlZMl=I:2:3,则椭圆C的

离心率为巫.

一5一

【解答】解：设椭圆的半焦距为c(c>O),

如图，延长加耳，与椭圆交于点L,连接尸工，

由KM〃心N,所以根据对称性可知，I耳LI=IgNI,

设IgNl=IKZd=r,/>0,则IKMl=2f,WMI=3/,

从而2a=j-M∣+∣片Ml=5/,故|鸟Zd=4f,

在ALW中，IgLl=4f=∣MZ,∣,

IMKl

所以cosNLMEl=―-—=ɪ,

2IMLl4

在鸟中，4c∙2=9产+4产-2x3tx2fx；,即4?=i0产,

所以r=典c,所以2a=M,所以离心率e=巫.

55

故答案为：叵.

5

一十六.抛物线的性质(共2小题)

18.(2023•闵行区二模)已知抛物线J:y2=8x,圆C2：O-2尸+丁=1，点M的坐标为(4,0),

P、。分别为G、J上的动点，且满足IPMRPQI，则点P的横坐标的取值范围是

【答案】/，~]

【解答】解：由抛物线G：/=8x,可得焦点尸(2,0),准线方程为x=-2,

由圆C∕(x-2)2+y2=ι,可得圆心Cz即为抛物线的焦点尸，

.∖PF∖-^∖PQ∖∣PF∣+1,

，x+2-掇IIPQlx+2+l,

∖PM∖^PQ∖,:.x+2-\^PM\x+2+l,

/.x+2-l^（x-4）2+/X+2+1,

.∙.d+2x