归纳函数极限的计算方法

PAGEPAGE1函数极限的计算方法摘要：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则;四则运算ThesumoftheMethodofComputingFunctionLimitAbstract：Thewritesumsupinthisarticleseveralwaysofextactingthelimitbythemeansofdefinition,formula,nature,theoremandsoon.KeyWords：FunctionLimit；Computingmethod；L’Hospitalrules;Fourfundamentalrules前言极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧.1.预备知识1.1函数极限的定义设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或.2.求函数极限的方法总结极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧.2.1依据函数极限的迫敛性求极限函数极限的迫敛性设，且在某内有，则.例1求极限解：当时，有而,由函数迫敛性可得同理可得时,，即注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式：2.2依据极限的四则运算求极限依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型：分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则：例2求极限（和都是正整数）解：原式==等未定型：因“”不是一个数，故该类型的题目不能直接使用运算法则，但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法，将其转化为极限存在后，再运用法则计算.例3求极限解：原式==2.3依据两个重要极限求极限两个重要的极限:，.函数经过一定变形，若能出现以下情况：时，也可采用重要极限来求.例4求极限解：原式=例5求极限解：原式=2.4依据等价无穷小替换求极限求函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小,如当时:例6求极限解:原式注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代.2.5依据洛必达法则求极限洛必达法则:型不定式极限若函数和满足:(i);(ii)在点的某空心邻域内两者都可导,且(iii)(可为实数,也可为或),则型不定式极限若函数和满足:(i);(ii)在点的某右邻域内两者都可导,且(iii)(可为实数,也可为或),则因此函数为型，通常可采用此法，如下：例7计算极限解：原式注：“洛必达法则”是求函数极限的有力工具，但在运用中，由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加,导致求极限过程繁琐，因此用法则求型的极限是不够的，需综合运用其它方法才能发挥作用.2.6依据麦克劳林展开式求极限一般常见函数的麦克劳林公式:利用洛必达法则求型极限时，其结果是化成某阶导数的比，而麦克劳林展开式的各项系数正分别含着各阶导数的值，因此对型函数极限也可采用此法.例8求极限解：原式=注：若本题采用洛必达法则去做，会导致计算过程繁杂.2.7运用函数的连续性求极限函数的连续性定义:设函数在某内有定义,若,则称在点连续.若函数在区间上的每一点都连续,则称为上的连续函数.例9计算极限思路：为连续函数,为的定义区间上的一点，则.解：原式=2.8运用导数的定义求极限导数的定义:设函数在点的某邻域内有定义,若极限存在,则称函数在点处可导,并称该极限值为函数在点处的导数,记作.若函数在区间上的每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称为上的可导函数.例10计算思路：对具有或形式的极限，可由导数的定义来进行计算.解：原式=2.9运用定积分的定义求极限定积分的定义:设是定义在上的一个函数,是一个确定的实数.若对任意给的正数,总存在某一正数,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要,就有则称函数在区间上可积或黎曼可积;数称为在区间上的定积分或黎曼积分,记作例11计算思路：和式极限，利用定积分定义求得极限.解：原式2.10运用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理:若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.例12：计算思路：对函数在区间上运用拉格朗日中值定理，即可求得.解：原式（其中在区间内）综上所述，求极限时，在不同的函数类型下，所采用的技巧是各不相同的，对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型和对以上的解法的灵活运用是必要的.参考文献[1]华东师范大学数