大学物理课后习题答案第四章

第四章机械振动4．1一物体沿x轴做简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s．当t=0时，物体的位移x=0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t=T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x=-0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x=Acos(ωt+φ)，其中A=0.12m，角频率ω=2π/T=π．当t=0时，x=0.06m，所以cosφ=0.5，因此φ=±π/3．物体的速度为v=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ)．当t=0时，v=-ωAsinφ，由于v>0，所以sinφ<0，因此：φ=-π/3．简谐振动的表达式为：x=0.12cos(πt–π/3)．（2）当t=T/4时物体的位置为;x=0.12cos(π/2–π/3)=0.12cosπ/6=0.104(m)．速度为；v=-πAsin(π/2–π/3)=-0.12πsinπ/6=-0.188(m·s-1)．加速度为：a=dv/dt=-ω2Acos(ωt+φ)=-π2Acos(πt-π/3)=-0.12π2cosπ/6=-1.03(m·s-2)．（3）方法一：求时间差．当x=-0.06m时，可得cos(πt1-π/3)=-0.5，因此πt1-π/3=±2π/3．由于物体向x轴负方向运动，即v<0，所以sin(πt1-π/3)>0，因此πt1-π/3=2π/3，得t1=1s．当物体从x=-0.06m处第一次回到平衡位置时，x=0，v>0，因此cos(πt2-π/3)=0，可得πt2-π/3=-π/2或3π/2等．由于t2>0，所以πt2-π/3=3π/2，可得t2=11/6=1.83(s)．所需要的时间为：Δt=t2-t1=0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x=-0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x=0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x=0，v<0，因此cos(πt-π/3)=0，可得πt-π/3=π/2，解得t=5/6=0.83(s)．[注意]根据振动方程x=Acos(ωt+φ)，当t=0时，可得φ=±arccos(x0/A)，（-π<φ<=π），初位相的取值由速度决定．由于v=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ)，当t=0时，v=-ωAsinφ，当v>0时，sinφ<0，因此φ=-arccos(x0/A)；当v<0时，sinφ>0，因此φ=arccos(x0/A)π/3．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0=A时，φ=0；当初位置x0=-A时，φ=π．4．2已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多OtxaOtxabcdeA/2A图4.2（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图．[解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x=AcosΦ，其中A表示振幅，Φ=ωt+φ表示相位．由于xa=A，所以cosΦa=1，因此Φa=0．由于xb=A/2，所以cosΦb=0.5，因此Φb=±π/3；由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此Φb=π/3．由于xc=0，所以cosΦc=0，又由于c点位相大于b位相，因此Φc=π/2．同理可得其他两点位相为：Φd=2π/3，Φe=π．c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为ta=T/6．到达b点的时刻为tb=2ta=T/3．到达c点的时刻为tc=ta+T/4=5T/12．到达d点的时刻为td=tc+T/12=T/2．到达e点的时刻为te=ta+T/2=2T/3．（2）设振动表达式为：x=Acos(ωt+φ)，当t=0时，x=A/2时，所以cosφ=0.5，因此φ=±π/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ=-π/3，因此振动表达式为．另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方OxOxaAbcdeφ（3）如图旋转矢量图所示．方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于xf=0，根据运动方程，可得OtxaOtxabcdeA/2Af显然f点的速度大于零，所以取负值，解得tf=-T/12．从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为：ta=T/4+tf=T/6，其位相为：．由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．4．3有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为9.8×10-2m．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．（1）t=0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m（2）t=0时，物体在平衡位置并以0.60m·s-1速度向上运动，求运动方程．[解答]当物体平衡时，有：Mg–kx0=0，所以弹簧的倔强系数为：k=Mg/x0，物体振动的圆频率为：=10(rad·s-1)．设物体的运动方程为：x=Acos(ωt+φ)．（1）当t=0时，x0=-8.0×10-2m，v0=0，因此振幅为：=8.0×10-2(m)；由于初位移为x0=-A，所以cosφ=-1，初位相为：φ=π．运动方程为：x=8.0×10-2cos(10t+π)．（2）当t=0时，x0=0，v0=-0.60(m·s-1)，因此振幅为：=|v0/ω|=6.0×10-2(m)；由于cosφ=0，所以φ=π/2；运动方程为：x=6.0×10-2cos(10t+π/2)．4．4质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；（2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置．[解答]（1）比较简谐振动的标准方程：x=Acos(ωt+φ)，可知圆频率为：ω=8π，周期T=2π/ω=1/4=0.25(s)，振幅A=0.1(m)，初位相φ=2π/3．Oxt=1,2,10sA（2）速度的最大值为：vm=ωAOxt=1,2,10sA加速度的最大值为：am=ω2A=6.4π2=63.2(m·s-2)（3）弹簧的倔强系数为：k=mω2，最大回复力为:f=kA=mω2A=0.632(N)振动能量为:E=kA2/2=mω2A2/2=3.16×10-2(J)平均动能和平均势能为:=kA2/4=mω2A2/4=1.58×10-2(J)．（4）如图所示，当t为1，2，10s等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．4．5两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．[解答]设它们的振动方程为OxA:x=Acos(ωt+φOxA当x=A/2时，可得位相为:ωt+φ=±π/3．由于它们在相遇时反相，可取Φ1=(ωt+φ)1=-π/3，Φ2=(ωt+φ)2=π/3，它们的相差为:ΔΦ=Φ2–Φ1=2π/3，或者:ΔΦ`=2π–ΔΦ=4π/3．矢量图如图所示．4．6一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m=1.68×10-27kg，振动频率v=1.0×1014Hz，振幅A=1.0×10-11m．试计算：（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量．[解答]（1）氢原子的圆频率为:ω=2πv=6.28×1014(rad·s-1)，最大速度为:vm=ωA=6.28×103(m·s-1)．（2）氢原子的能量为:=3.32×10-20(J)．4．7如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物，若使图4.7平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为0.50s，振幅为2.0×10-2m，求：图4.7（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板？[解答]（1）重物的圆频率为：ω=2π/T=4π，其最大加速度为：am=ω2A合力为：F=mam，方向向上．重物受到板的向上支持力N和向下的重力G，所以F=N–G．重物对平板的作用力方向向下，大小等于板的支持力：N=G+F=m(g+am)=m(g+ω2A)=12.96(N)（2）当物体的最大加速度向下时，板的支持为：N=m(g-ω2A)当重物跳离平板时，N=0，频率不变时，振幅为：A=g/ω2=3.2×10-2(m)．（3）振幅不变时，频率为：=3.52(Hz)．4．8两轻弹簧与小球串连在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A和B之间，整个系统放在光滑水平面上．设两弹簧的原长分别为l1和l2，倔强系统分别为k1和k2，A和B间距为L，小球的质量为m．k1k2k1k2mAB图4.8（2）使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否为简谐振动？振动周期为多少？[解答]（1）这里不计小球的大小，不妨设L>l1+l2，当小球平衡时，两弹簧分别拉长x1和x2，因此得方程：L=l1+x1+l2+x2；小球受左右两边的弹簧的弹力分别向左和向右，大小相等，即k1x1=k2x2．将x2=x1k1/k2代入第一个公式解得：．小球离A点的距离为：．（2）以平衡位置为原点，取向右的方向为x轴正方向，当小球向右移动一个微小距离x时，左边弹簧拉长为x1+x，弹力大小为：f1=k1(x1+x)，方向向左；右边弹簧拉长为x1-x，弹力大小为：f2=k2(x2-x)，方向向右．根据牛顿第二定律得：k2(x2-x)-k1(x1+x)=ma，利用平衡条件得：，即小球做简谐振动．小球振动的圆频率为：，其周期为：．kMmv图4.94．9如图所示，质量为10g的子弹以速度v=10kMmv图4.9k=8×103N·m-1，木块的质量为4.99kg，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即：mv=(m+M)v0．解得子弹射入后的速度为：v0=mv/(m+M)=2(m·s-1)，这也是它们振动的初速度．子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得：(m+M)v02/2=kA2/2，所以振幅为：=5×10-2(m)．（2）振动的圆频率为：=40(rad·s-1)．取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方程可设为：x=Acos(ωt+φ)．当t=0时，x=0，可得：φ=±π/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为：x=5×10-2cos(40t-π/2)．4．10如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M的托盘．质量为m的物体由距盘底高h处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t=0时刻，求振动方程．[解答]物体落下后、碰撞前的速度为：，kMkMmhxx1x2O图4.10，这也是它们振动的初速度．设振动方程为：x=Acos(ωt+φ)，其中圆频率为：．物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x1，则：x1=Mg/k．物体与托盘磁盘之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x2，则：x2=(M+m)g/k．取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x0=x1-x2=-mg/k．因此振幅为：；初位相为：．4．11装置如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体m间用细绳MkT1T2RmmgXO图4.11相连，细绳跨于桌边定滑轮M上，m悬于细绳下端．已知弹簧的倔强系数为k=50N·m-1，滑轮的转动惯量J=0.02kg·m2，半径R=0.2m，物体质量为MkT1T2RmmgXO图4.11（1）试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力；（2）将物体m用手托起0.15m，再突然放手，任物体m下落而整个系统进入振动状态．设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体m是做简谐振动；（3）确定物体m的振动周期；（4）取物体m的平衡位置为原点，OX轴竖直向下，设振物体m相对于平衡位置的位移为x，写出振动方程．[解答]（1）在平衡时，绳子的张力等于物体的重力T=G=mg=15(N)．这也是对弹簧的拉力，所以弹簧的伸长为：x0=mg/k=0.3(m)．（2）以物体平衡位置为原点，取向下的方向为正，当物体下落x时，弹簧拉长为x0+x，因此水平绳子的张力为：T1=k(x0+x)．设竖直绳子的张力为T2，对定滑轮可列转动方程：T2R–T1R=Jβ，其中β是角加速度，与线加速度的关系是：β=a/R．对于物体也可列方程：mg-T2=ma．转动方程化为：T2–k(x0+x)=aJ/R2，与物体平动方程相加并利用平衡条件得：a(m+J/R2)=–kx，可得微分方程：，故物体做简谐振动．（3）简谐振动的圆频率为：=5(rad·s-1)．周期为：T2=2π/ω=1.26(s)．（4）设物体振动方程为：x=Acos(ωt+φ)，其中振幅为：A=0.15(m)．当t=0时，x=-0.15m，v0=0，可得：cosφ=-1，因此φ=π或-π，所以振动方程为：x=0.15cos(5t+π)，或x=0.15cos(5t-π)．4．12一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面CRmgθCRmgθO[解答]通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为：Ic=mR2．根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为I=Ic+mR2=2mR2．当环偏离平衡位置时，重力的力矩为：M=mgRsinθ，方向与角度θ增加的方向相反．根据转动定理得：Iβ=-M，即，由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得微分方程：．摆动的圆频率为：，周期为：．4．13重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图k1k2k1k2kk(a)(b)图4.13[解答]（1）前面已经证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k=k1k2/(k1+k2)，因此固有频率为．（2）前面还证明：当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为．4．14质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k=25N·m-1，如果开始振动时具有势能0.6J，和动能0.2J，求：（1）振幅；（2）位移多大时，动能恰等于势能？（3）经过平衡位置时的速度．[解答]物体的总能量为：E=Ek+Ep=0.8(J)．（1）根据能量公式E=kA2/2，得振幅为：=0.253(m)．（2）当动能等于势能时，即Ek=Ep，由于E=Ek+Ep，可得：E=2Ep，即，解得：=±0.179(m)．（3）再根据能量公式E=mvm2/2，得物体经过平衡位置的速度为：=±2.53(m·s-1)．4．15两个频率和振幅都相同的简谐振动的x-t曲线如图所示，求：（1）两个简谐振动的位相差；t/sx/cmt/sx/cm501234-5x1x2图4.15[解答]（1）两个简谐振动的振幅为：A=5(cm)，周期为：T=4(s)，圆频率为：ω=2π/T=π/2，它们的振动方程分别为：x1=Acosωt=5cosπt/2，x2=Asinωt=5sinπt/2=5cos(π/2-πt/2)即x2=5cos(πt/2-π/2)．位相差为：Δφ=φ2-φ1=-π/2．（2）由于x=x1+x2=5cosπt/2+5sinπt/2=5(cosπt/2·cosπ/4+5sinπt/2·sinπ/4)/sinπ/4合振动方程为：(cm)．4．16已知两个同方向简谐振动如下：，．（1）求它们的合成振动的振幅和初位相；（2）另有一同方向简谐振动x3=0.07cos(10t+φ)，问φ为何值时，x1+x3的振幅为最大？φ为何值时，x2+x3的振幅为最小？（3）用旋转矢量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果．x以米计，t以秒计．[解答]（1）根据公式，合振动的振幅为：=8.92×10-2(m)．初位相为：=68.22°．（2）要使x1+x3的振幅最大，则：cos(φ–φ1)=1，因此φ–φ1=0，所以：φ=φ1=0.6π．要使x2+x3的振幅最小，则cos(φ–φ2)=-1，因此φ–φ2=π，所以φ=π+φ2=1.2π．OxφAOxφA2A3x3x2φ2OxOxA3A1x1φ1x3OxAφA2A1x1x2xφ2φ14．17质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：，．式中x和y以米(m)计，t以秒(s)计．（1）求运动的轨道方程；（2）画出合成振动的轨迹；（3）求质点在任一位置所受的力．[解答]（1）根据公式：，其中位相差为：Δφ=φ2–φ1=-π/2，所以质点运动的轨道方程为：．（2）合振动的轨迹是椭圆．（3）两个振动的圆频率是相同的ω=π/3，质点在x方向所受的力为Oxa=0.08Oxa=0.08yb=0.06FxFyFθ即Fx=0.035cos(πt/3+π/6)(N)．在y方向所受的力为，即Fy=0.026cos(πt/3-π/3)(N)．用矢量表示就是，其大小为，与x轴的夹角为θ=arctan(Fy/Fx)．4．18将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz，在待测νν0ννν0ν1ν2ν