高中数学北师大版练习第七章2第1课时古典概型及应用

§2古典概型第1课时古典概型及应用水平11．任何一个事件都是一个样本点．()2．古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．()3．古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．()4．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上的不同位置是古典概型．()5．某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，9环，…，1环和脱靶．是古典概型．()【解析】1.√.2．√.3．√.4．提示：×.一条直线上点有无数个，不是古典概型．5．提示：×.命中10环和9环不是等可能的．·题组一古典概型的判断1．下列试验中，属于古典概型的是()A．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率B．从规格直径为250±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC．抛一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止D．某人射击一次，求射中环数的概率【解析】选A.A选项，只有n个等可能的结果，因此是古典概型；B选项，基本事件的个数有无限多个，所以不是古典概型；C选项，抛掷次数可能取值有无限多，所以不是古典概型；D选项，射击命中环数的概率一般不相等，所以不是古典概型．2．下列试验是古典概型的是()A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}B．在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶【解析】选C.根据古典概型的两个特征进行判断．A中两个样本点不是等可能的，B中样本点的个数是无限的，D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C符合古典概型的两个特征．3．下列概率模型中，古典概型的个数为()①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，…，9，10中任取一个整数，求取到1的概率；③向正方形ABCD内任意投一点P，求点P刚好与点A重合的概率；④抛掷一枚质地不均匀的骰子，求向上点数为3的概率．A．1 B．2C．3 D．4【解析】选A.古典概型的特点是样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等．①和③中的样本点是无限的，④中的骰子不均匀，不具有等可能性，故只有②是古典概型．4．下列是古典概型的个数为()①已知1≤x≤9且x∈Z，从x中任取一个数，则满足2<x≤5的概率；②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率；③近一周中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．A．1B．2C．3D．4【解析】选C.因为古典概型的两个特点，一是结果有限个，二是每个结果等可能．所以①为几何概型，②③④为古典概型．·题组二古典概型的计算1．把一根长度为7的铁丝截成3段，如果3段的长度均为正整数，那么能构成三角形的概率为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(5,6)C．eq\f(3,5)D．eq\f(1,2)【解析】选D.所有的基本事件有：(1，1，5)，(1，2，4)，(1，3，3)，(2，2，3)，共4个，其中，事件“能构成三角形”所包含的基本事件有：(1，3，3)，(2，2，3)，共2个，由古典概型的概率公式可知，事件“能构成三角形”的概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).2．下列说法中，正确的说法有()(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”3种结果；(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3)从－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(4)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；(5)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】选A.由题意，(1)中，掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”、“一反一正”，共4种结果，所以不正确；(2)中，因为某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，红球出现的概率是eq\f(1,2)，黑球出现的概率为eq\f(1,3)，白球出现的概率为eq\f(1,6)，所以每种颜色的球被摸到的概率不相同，所以不正确；(3)中，从－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0的概率为eq\f(4,7)；不小于0的概率为eq\f(3,7)，所以不相同，故不正确；(4)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么男同学被选中的概率为eq\f(3,7)，每位女同学被选中的概率为eq\f(4,7)，所以每个同学当选的可能性不相同，所以是不正确的；(5)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性是相同的，所以不正确．3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它做成棱长为5寸的正方体枕头，可做多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为()A．eq\f(125,216) B．eq\f(8,27)C．eq\f(4,9) D．eq\f(1,4)【解析】选C.有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它做成棱长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有油漆的木块是每个面的中间有16块，共有6×16＝96块，所以从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：P＝eq\f(96,216)＝eq\f(4,9).易错点一混淆“等可能性”与“非等可能性”从5名男生和3名女生中任选1人去参加歌唱比赛，则选中女生的概率是________．【解析】选出1人的所有可能的结果有8种，即共有8个基本事件，其中选中女生的基本事件有3个，故选中女生的概率为eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)易错点二对有序与无序判断不准甲乙两人参加数学竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，填空题2道．甲乙两人依次抽取1道题，则甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为________．【解析】通过列举法可得到甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，又甲乙两人依次抽到1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)水平1、2限时30分钟分值60分战报得分______一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，2件都是合格品的概率为()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【解析】选A.设5件产品中2件次品为B1，B2，剩下的3件合格品为A1，A2，A3，任取2件产品的基本事件为：B1B2，B1A1，B1A2，B1A3，B2A1，B2A2，B2A3，A1A2，A1A3，A2A3，共10种，其中2件都是合格品的基本事件为：A1A2，A1A3，A2A3，共3种．所以2件都是合格品的概率为：eq\f(3,10)＝0.3.2．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A．eq\f(5,6)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)【解析】选C.设田忌的上等马为A1，中等马为A2，下等马为A3，齐王的上等马为B1，中等马为B2，下等马为B3，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：A1B2，A1B3，A2B3，共3种，所以田忌的马获胜的概率为：P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).3．同时掷两个骰子，向上的点数之和是6的概率是()A．eq\f(1,18)B．eq\f(1,9)C．eq\f(5,36)D．eq\f(1,2)【解析】选C.同时掷两个骰子，共有6×6＝36种结果，其中点数之和是6的共有：(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，共5种结果，所以点数之和是6的概率为：eq\f(5,36).4．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,8)【解析】选C.将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12，13，20，21，30，31，共6个，两位数为奇数的有13，21，31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).5．已知点P(a，b)，且a，b∈{－1，0，1，2}，使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的点P的概率为()A．eq\f(7,8)B．eq\f(13,16)C．eq\f(3,4)D．eq\f(5,8)【解析】选B.因为a，b∈{－1，0，1，2}，所以得到点P共有4×4＝16个．因为方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，所以4－4ab≥0，a≠0，即ab≤1，当(a，b)取(1，2)，(2，1)，(2，2)时ab>1；又a＝0时原方程为2x＋b＝0有解，所以方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的点P的概率为eq\f(16－3,16)＝eq\f(13,16).6．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2017次，那么第2016次出现正面朝上的概率是()A．eq\f(1,2016)B．eq\f(1,2017)C．eq\f(2016,2017)D．eq\f(1,2)【解析】选D.由题意，抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第2016次，基本事件只有两种结果：正面朝上、反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为eq\f(1,2).二、填空题(每小题5分，共20分)7．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子刚好成对的概率为________．【解析】设三双鞋子分别为A1，A2，B1，B2，C1，C2，则取出2只鞋子的情况有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共15种．其中，成对的情况有：(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，共3种，由古典概型的公式可得，所求概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙、丙、丁四名党员志愿者参加社区防控值班．若从四位志愿者中随机选三人参加夜间防控，则甲被选中的概率为________．【解析】从甲、乙、丙、丁四位志愿者中随机选三人参加夜间防控，有(甲、乙、丙)，(甲、乙、丁)，(甲、丙、丁)，(乙、丙、丁)，共四种情况，其中甲被选中的情况有(甲、乙、丙)，(甲、乙、丁)，(甲、丙、丁)，共三种情况，所以甲被选中的概率为eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．某小组有6人，血型情况分别是：A型血3人，B型血2人，AB型血1人，如果从这个小组中随机地抽取2人，那么，他们具有不同的血型的概率为________．【解析】设A型血3人分别设为a，b，c，B型血2人分别为1，2，AB型血1人为AB，随机抽取2人有(a，b)(a，c)(a，1)(a，2)(a，AB)(b，c)(b，1)(b，2)(b，AB)(c，1)(c，2)(c，AB)(1，2)(1，AB)(2，AB)共15种情况，满足要求的有11种，从而可得所求概率为eq\f(11,15).答案：eq\f(11,15)10．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．(骰子为正方体，且六个面分别标有数字1，2，…，6)【解析】由题意得，基本事件总数为36，点P落在圆内包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8个，由古典概型概率公式可得所求概率为eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)三、解答题11．(10分)某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示年龄(单位：岁)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]保费(单位：元)306090120150(1)求频率分布直方图中实数a的值，并求出该样本年龄的中位数；(2)现分别在年龄段[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]中各选出1人共5人进行回访．若从这5人中随机选出2人，求这2人所交保费之和大于200元的概率．【解析】(1)因为(0.007＋0.018＋a＋0.025＋0.020)×10＝1，解得：a＝0.030.设该样本年龄的中位数为x0，前两个矩形的面积之和为(0.007＋0.018)×10＝0.25<0.5，前三个矩形的面积之和为(0.007＋0.018＋0.030)×10＝0.55>0.5，所以40<x0<50.所以(x0－40)×0.03＋0.18＋0.07＝0.5，解得x0＝48eq\f(1,3).(2)设回访的这5人分别记为a30，a60，a90，a120，a150，从5人中任选2人的基本事件有：(a30，a60)，(a30，a90)，(a30，a120)，(a30，a150)，(a60，a90)，(a60，a120)，(a60，a150)，(a90，a120)，(a90，a150)，(a120，a150)，共10种．事件“两人保费之和大于200元”包含的基本事件有：(a60，a150)，(a90，a120)，(a90，a150)，(a120，a150)，共4种．所以两人保费之和大于200元的概率为P＝eq\f(4,10)＝eq