预习02向量的线性运算（六大考点）

预习02向量的线性运算一、向量的加法三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和,规定：零向量与任意向量的和,都有运算律：①交换律：；②结合律：二、相反向量1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量,3.性质：①；②若互为相反向量,则；③的相反向量是三、向量的减法1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法.2.运算法则:在平面内取一点O,作,则.3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量.4.向量减法的两个重要结论:①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量；②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”.四、向量的数乘运算1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下:①;②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，2.运算律:设为任意实数,则有①；②；③特别地,有.(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有.五、共线向量定理1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使.2.三点共线向量表示的两个结论结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得.结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得.考点01向量的加法运算【方法点拨】向量加法的三角形法则与平行四边形法则作图的方法法则作法三角形法则①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示);②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则①把两个已知向量的始点平移到同一点;②以这两个已知向量为邻边作平行四边形;③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和【例1】如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出；(2)以B为始点，作出；(3)若为单位向量，求、和．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)，，【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长.【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，；由共线向量的加法运算可知；利用图示的向量和勾股定理可知，.【例2】下列向量的运算结果为零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据向量加法运算规律，逐项检验，即可求得答案.【详解】对A，；对B，；对C，；对D，.综上所述，只有C符合题意故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握向量加法运算规律，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.【变式11】（多选）下列四个等式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由向量的运算律、加法法则及相反向量等判断各项正误即可.【详解】由向量的加法交换律及相反向量知：、，即A、B正确，由，C正确，向量的线性运算(加减、数乘运算)，结果应为向量，D错误．故选：ABC【变式12】化简下列各式:(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可.【详解】（1）原式.（2）原式【变式13】已知用向量加法的三角形法则作出.(1)；(2).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）（2）利用向量加法法则即可求解.【详解】（1）（2）考点02向量的减法运算【方法点拨】向量减法的三角形法则作图的方法：平移向量使之共起点，连接两向量的终点，方向指向被减向量【例3】已知向量、（三点不共线），若，则点是（

）A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算计算即可得出结论.【详解】因为，所以，即，所以点是的中点.故选：A．【例4】如图，已知向量，，不共线，求作向量．【答案】答案见解析【分析】根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可.【详解】如图，作，则即为，再作，则向量即为．【变式21】化简(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）（2）【变式22】已知正方形的边长为1，则（

）A．0 B． C． D．4【答案】C【分析】利用向量运算法则得到.【详解】，因为正方形的边长为1，所以，故.故选：C【变式23】如图，已知向量、，求作．(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量.【详解】（1）解：作，，则，即即为所求作的向量.（2）解：作，，则，即即为所求作的向量.（3）解：作，，则，即即为所求作的向量.（4）解：作，，则，即即为所求作的向量.考点03向量的数乘运算及其几何意义【方法点拨】（1）当时,与同向;当时,与反向().（2）当且时,或当且时,,注意是,而不是.【例5】“实数”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断出结果.【详解】当时，显然成立，当时，此时不一定成立，例如时可取任意实数，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.【例6】（多选）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由图和平面向量线性运算逐一判断选项即可.【详解】由图可得两点把线段三等分，故，A，B正确；，故C，D，错误，故选：AB.【变式31】已知，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据数乘向量的模的意义即可得解.【详解】由数乘向量的模的意义可知，故AB错误，C正确，当或时，，故D错误.故选：C.【变式32】已知，与的方向相反，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定方向和大小关系即可得答案.【详解】由，得，又与的方向相反，所以.故选：C.【变式33】已知，，判断，是否共线，并说明理由.【答案】共线，理由见解析.【分析】根据给定结果，可得，再借助共线向量定理作答.【详解】由，，得，所以，共线.考点04向量的线性运算【方法点拨】向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用.【例7】设是两两不共线的向量，且向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.【详解】因为，，所以.故选：C【例8】若，则．【答案】【分析】根据向量的线性运算求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，故答案为：.【变式41】已知向量，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量混合运算即可.【详解】，故选：C.【变式42】求下列未知向量．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用平面向量的线性运算可解得向量.【详解】（1）因为，所以，.（2）因为，所以，.【变式43】若向量，，则.【答案】【分析】根据向量的加减与数乘，可得答案.【详解】；；；.故答案为：.考点05用已知向量表示其他向量【方法点拨】利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意：（1）一个关键：一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.（2）三点注意：①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三向量之间的关系;②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则.【例9】已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的运算法则可得结果.【详解】,故选：B.【例10】（多选）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项.【详解】A选项：，A选项正确；B选项：，B选项错误；C选项：，C选项正确；D选项：，D选项错误；故选：AC.【变式51】在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先结合图形表示出，；再根据向量的减法运算即可解答.【详解】因为，所以，.所以.故选：A【变式52】在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合图形，利用向量的线性运算的定义进行运算可得.【详解】作出图形如图，则，所以，故选：D．【变式53】如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为，所以.故选：C考点06向量共线定理【方法点拨】用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路：（1）若,且与所在的直线无公共点,则这两条直线平行.（2）若,且与所在的直线有公共点,则这两条直线重合.例如,若向量,则共线,又与有公共点,从而三点共线,这是证明三点共线的重要方法.【例11】已知向量不共线，，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线【答案】C【分析】根据向量共线定理进行判断即可.【详解】因为不共线，，，，易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；而，所以A，B，D三点共线，故C正确.故选：C.【例12】在中，点是边上的动点（点异于，），且，若，则的最小值为.【答案】【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，由于三点共线，所以，而，由于点是边上的动点（点异于，），所以，则，所以为正数，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：【变式61】设，是两个不共线的向量，向量，共线，则.【答案】【分析】用向量的共线定理，结合平面向量基本定中的唯一性构建参数方程组，即可求解.【详解】与共线，，，又，是两个不共线的向量，，解得.故答案为：.【变式62】已知与为非零向量，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.【详解】由题意知，三点共线，故,且共线，故不妨设，则，所以，解得，故选：D【变式63】如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定，得到，根据计算得到答案.【详解】，故，则，又是上一点，所以，解得.故选：A.一、单选题1．下列等式中，正确的个数为（

）①②③④⑤⑥．A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【分析】根据向量加减法的概念和相反向量的概念分别判断即可.【详解】根据向量的运算及相反向量的概念知①②③④⑤正确，⑥错误，所以正确的个数为5．故选:C．2．如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算化简求解即可.【详解】由题意可知，，故选：A3．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若与共线，与共线，则与也共线；③若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；④与是非零向量，若与同向，则与反向；⑤已知为实数，若，则与共线.其中真命题的序号（

）A．③④ B．②③C．②④ D．④⑤【答案】A【分析】根据向量的概念，举例即可得出答案.【详解】对于①，如图，中，，但是它们的起点、终点均不相同.故①错误；对于②，若，则与任意向量均满足条件，故②错误；对于③，因为与共线，且有公共点A，所以，A，B，C三点在同一条直线上，故③正确；对于④，由已知可得，使得，所以，，所以与反向，故④正确；对于⑤，若，则不论与如何，均有，故不能说明与共线，故⑤错误.综上所述，③④正确.故选：A.4．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（

）A． B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，.因为A，C，D三点共线，所以共线，则，使得，即，整理可得.因为，不共线，所以有，解得.故选：D.5．如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，.若，则实数的值为（

）A．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.5【答案】D【分析】根据向量线性运算，结合线段关系，用，表示出，，，由平面向量的基本定理，即可求得的值．【详解】因为D为BC的中点，且，，故，即，又AE=EC，可得，，又，故，因为，共线，由平面向量的基本定理可知满足，解得，故选：D．6．若，则的取值范围是（

）A．[3，7] B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量共线时取得最值，即可求得答案.【详解】由题意知，且,当同向时，取得最小值，；当反向时，取得最大值，；当不共线时，取得最小值，，故的取值范围是，故选：C二、多选题7．化简以下各式，结果为的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】对A，，故A正确；对B，，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：ABD8．对于菱形，给出下列各式，其中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据向量共线，向量的模，数量线性运算法则依次判断各选项.【详解】连接，记其交点为，因为四边形为菱形，所以设，则，因为，方向相同，大小相等，所以，A正确；因为不一定相等，所以B错误；因为，，所以，，所以，C错误；因为，所以，D正确；故选：AD.三、填空题9．在平行四边形中，,,．【答案