抽象函数周期性对称性相关定理全总结

抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容1.假设那么的周期为。2.假设那么的周期为。证：令∴3.假设那么的周期。证：令∴①令∴②由①②得：∴∴4.假设那么图象的对称轴为。证：要证原结论成立只需证令代入那么5.假设那么的图象，以为对称中心。证：方法一：要证原结论成立只需证令代入那么方法二：设它的图象为那么关于点的对称点∵∴∴【几个重要的结论】〔一〕函数图象本身的对称性〔自身对称〕1、函数满足〔T为常数〕的充要条件是的图象关于直线对称。2、函数满足〔T为常数〕的充要条件是的图象关于直线对称。3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称。4、如果函数满足且，〔和是不相等的常数〕，那么是以为为周期的周期函数。5、如果奇函数满足〔〕，那么函数是以4T为周期的周期性函数。6、如果偶函数满足〔〕，那么函数是以2T为周期的周期性函数。〔二〕两个函数的图象对称性〔相互对称〕〔利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解〕1、曲线与关于X轴对称。2、曲线与关于Y轴对称。3、曲线与关于直线对称。4、曲线关于直线对称曲线为。5、曲线关于直线对称曲线为。6、曲线关于直线对称曲线为。7、曲线关于点对称曲线为。注：一个结论：设，都有且有个实根，那么所有实根之和为【典型例题】【例1】对于，有以下命题。〔1〕在同一坐标系下，函数与的图象关于直线对称。〔2〕假设且均成立，那么为偶函数。〔3〕假设恒成立，那么为周期函数。〔4〕假设为单调增函数，那么也为单调增函数，其中正确的为解：〔2〕〔3〕【例2】假设函数有求。解：，知的图象关于对称而的对称中心∴∴那么【例3】设是定义在上的函数，均有，当时，，求当时，的解析式。解：由有得设那么，∴，∴时【例4】是定义在上的函数且满足，当时有那么〔1〕是周期函数且周期为，〔2〕当时，〔3〕其中正确的选项是？解：〔1〕〔2〕〔3〕【例5】满足，，当时且，假设，，求大小关系？解：由得，对称轴∴也为一条对称轴∴∴由∴∴∴，，∴【例6】定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，假设的最小正周期是，且当时，求的值。解【例7】设定义在上，有且当时，〔1〕求证：且当时，〔2〕求证：在上递减。解：〔1〕在中，令得∵∴设，那么令代入条件式有而∴〔2〕设那么∴令那么代入条件式得即∴∴在上递减【模拟试题】一、选择题1.满足，且是奇函数，假设那么〔〕A.B.C.D.2.是定义在上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，，当时，〔〕A.B.C.D.3.假设函数，都有那么等于〔〕A.B.C.D.或4.函数是〔〕A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D.周期为的奇函数5.的图象关于轴对称的充要条件是〔〕A.B.C.D.6.如果且那么可以是〔〕A.B.C.D.7.为偶函数的充要条件是〔〕A.B.C.D.8.设是上的奇函数，当时，，那么〔〕A.B.C.D.9.设，有那么〔〕A.B.C.D.10.定义在上，那么与的图象关于〔〕A.对称B.对称C.对称D.对称二、填空题1.是上的奇函数，且，。2.函数的图象的对称轴中最靠近轴的是。3.为奇函数，且当时，那么当时。4.偶函数的定义域为，且在上是增函数，那么〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕中正确的选项是。三.解答题1.设是定义在上的偶函数，图象关于对称,都且。〔1〕求、〔2〕证明：是周期函数2.如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足。3.对任意实数都有，比拟与的大小。4.定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，假设方程仅有个不同实根，求所有实根之和。【课后练习】1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,那么________。2、函数满足，那么图象关于__________对称。3、函数与函数的图象关于关于__________对称。4、设函数的定义域为R，且满足，那么的图象关于__________对称。5、设函数的定义域为R，且满足，那么的图象关于__________对称。图象关于__________对称。6、设的定义域为R，且对任意，有，那么图象关于__________对称，关于__________对称。7、函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，那么这5个实根之和为〔〕A、5B、10C、15D、188、设函数的定义域为R，那么以下命题中，①假设是偶函数，那么图象关于y轴对称；②假设是偶函数，那么图象关于直线对称；③假设，那么函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。9、函数定义域为R，且恒满足和，当时，，求解析式。10、偶函数定义域为R，且恒满足，假设方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。【模拟试题答案】一．1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.B8.B9.A10.B二．1.2.3.4.三.1.解：〔1〕∵都有∴∵∵，∴〔2〕由关于对称∴即，又由是偶函数知，∴，将上式中以代换得∴是上的周期函数，且是它的一个周期2.证：∵关于和对称∴，∴令，那么