2020-2021学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学模拟试卷及答案解析

2020-2021学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学模拟试卷

一.选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.下列事件中，是随机事件的是（）

A.射击运动员射击一次，命中靶心

B.任意画一个三角形，其内角和是360°

C.掷一次骰子，向上一面的点数大于6

D.通常加热到100℃,水沸腾

2.抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（）

A.（1,2）B.（-I,2）C.（1,-2）D.（-1,-2）

3.只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的

“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果.若从5,6,7,9这4个数中随机抽

取一个，则抽到的数是素数的概率是（）

113

A.-B.—C.一D.1

424

4.在Rt^ABC中，NC=90°,各边都扩大2倍，则锐角4的锐角三角函数值（）

1

A.扩大2倍B.缩小；C.不变D.无法确定

5.如图，已知点。在△ABC的BC边上，若且CO：AC=\：2,贝ijCD：BD

=()

C.1：4D.1：3

6.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD,若NAOB=15°,则N

40。的度数是（）

C.60°D.65°

7.如图，△ABC内接于O。，AB=BC,NA2C=120°,则NADB的度数为（）

第1页共28页

D

A.15°B.30°C.45°D.60°

8.如图，抛物线y=#-4与x轴交于4、8两点，P是以点C（0,3）为圆心，2为半径

的圆上的动点，。是线段%的中点，连结。。.则线段。。的最大值是（）

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.若点P（2a+3b,-2）关于原点的对称点为Q（3,a-2b）,则（3。+匕）2020=

10.如图，反比例函数图象经过点A,过点A作ABLx轴，垂足为5,若△OA8的面积为3,

11.如图，点尸是线段48的黄金分割点，且4P>BP,设以AP为边长的正方形面积为S,

以PB为宽,以AB为长的矩形面积为S2,5152（填“>”或“="或

第2页共28页

s.

S?

12.如图，PC是。0的直径，出切。。于点P,0A交。。于点B,连结BC.已知。。的

半径为2,NA=20°,则比的长为.（结果保留IT）

13.点C是以线段A8为直径得圆周一点，BC=5,AC=12,则sinA+cosB=.

14.若方程or2-2ax+c=0（〃W0）有一个根为x=-l,那么抛物线），="/-2or+c与x轴

两交点间的距离为.

15.不透明的盒中装着大小、外形、质地一样的红色、黑色、白色的乒乓球共20个，小明

通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的概率稳定在5%和15%,则盒子中白色

球的个数很可能是个.

16.如图，已知点A,点C在反比例函数&>0,x>0）的图象上，ABJ_x轴于点8,

OC交AB于点D,若CD=OD,则△A。。与△BC。的面积比为.

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.（5分）计算：2sin300+cos60°-tan60°lan300+cos245°-sin2340-cos234°

18.（5分）如图，在四边形ABC。中，/4=/ADC=120°,AB^AD,E是8c的中点,

DE=\5,DC=24,求四边形ABC。的周长.

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D

19.（5分）如图，。为等边三角形ABC内一点，将△BOC绕点C旋转，使点B与点4重

合，点O落在点E处，连接DE,试判定△CZJE的形状，并说明理由.

20.（5分）如图所示，A（-1,0）,B（2,-3）两点在二次函数），i=a?+Z?x-3与一次函

数y2—-x+m图象上.

（1）求，"的值和二次函数的解析式.

（2）请直接写出使户＞”时.，自变量x的取值范围.

21.（5分）如图，点A,D,B,C在。。上，ABLBC,OE14B于点E.若BC=3,AE=

DE=\,求（DO半径的长.

第4页共28页

22.（5分）A,B两点的距离为4厘米，用图形表示具有下列性质的点的集合，并指出它们

是怎样的图形：

（1）到点A的距离等于3厘米的点的集合；

（2）到点8的距离等于3厘米的点的集合；

（3）到A,8两点的距离都等于3厘米的点的集合；

（4）到A,8两点的距离都不大于3厘米的点的集合.

23.（6分）如图，已知在等腰△ABC中，/A=NB=30°,CD_LAC交AB于点D

（1）尺规作图：作线段AD的中点E（保留作图痕迹，不要求写作法），并连接CE；

（2）已知AQ=2g,P是线段BC上一点，若以P,D,8为顶点的三角形与△BCE相

似，QP的长为多少？

24.（6分）小明根据学习函数的经验，对函数丫=占+1的图象与性质进行了探究.下面

是小明的探究过程，请补充完整：

第5页共28页

J4

4

1

J

2.

1

一3-2-1001>1

-1

一

(l)函数)=告+1的自变量X的取值范围是;

(2)如表列出了y与x的几组对应值，请写出小，”的值：m—，n—

1

X•••3-1_1022三3Z

~22222

31537

y•・・0-1n2

53325

(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该

函数的图象.

(4)结合函数的图象，解决问题：

①写出该函数的一条性质：.

1O

②当函数值一；+1＞郭j,X的取值范围是：.

25.(6分)如图1,P是矩形ABC。内部的一定点，M是4B边上一动点，连接A/P并延长

与矩形ABC。的一边交于点N,连接AN.已知AB=6CTM,设4,M两点间的距离为xcm,

M,N两点间的距离为yicnnA,N两点间的距离为小欣根据学习函数的经验，

分别对函数W，”随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小欣的探究过程，请补充完整：

(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了yi,"与x的几组对

应值；

x/cm0123456

第6页共28页

y\/cm6.305.404.223.133.254.52

yilcm6.306.346.436.695.754.813.98

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点（工,

并画出函数yi的图象;

当△AMN为等腰三角形时，AM的长度约为cm.

26.（6分）己知：抛物线y=5x2+（m-3）x与y--2x-m交于点A（xi,yi）和点B（必

”，且有（xi-X2）2=祟求机的值.

27.（7分）已知△ABC是等边三角形，于点。，点E是直线AD上的动点，将BE

绕点B顺时针方向旋转60°得到8F,连接EF、CF、AF.

（1）如图1,当点E在线段A。上时，猜想/AFC和NE4C的数量关系；（直接写出结

果）

（2）如图2,当点E在线段AO的延长线上时，（I）中的结论还成立吗？若成立，请证

明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论；

（3）点£在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出NEBC的度数.

28.（7分）如图，AB是的直径，AC1.AB,BC交。。于点。，点E在劣弧BO上，DE

第7页共28页

的延长线交A8的延长线于点F,连接AE交80于点G.

(1)求证：NAED=NCAD；

(2)若点E是劣弧的中点，求证：ED2=EG-EA；

(3)在(2)的条件下，若BO=BF,DE=2,求EF的长.

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2020-2021学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题(共8小题，满分16分，每小题2分)

1.下列事件中，是随机事件的是()

A.射击运动员射击一次，命中靶心

B.任意画一个三角形，其内角和是360°

C.掷一次骰子，向上一面的点数大于6

D.通常加热到100C,水沸腾

【解答】解：射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能不命中把心，是随机事件，

因此A选项符合题意；

任意画一个三角形，其内角和是360°是确定事件，是不可能事件，因此选项B不符合

题意；

掷一次骰子，向上一面的点数不可能大于6,是确定事件，因此选项C不符合题意；

通常加热到100C,水沸腾是确定事件，因此选项。不符合题意；

故选：A.

2.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)

【解答】解：

：y=(x-1)2+2,

抛物线顶点坐标为(1,2),

故选：A.

3.只有.1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的

“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果.若从5,6,7,9这4个数中随机抽

取一个，则抽到的数是素数的概率是()

113

A.-B.-C.一D.1

424

【解答】解:若从5,6,7,9这4个数中随机抽取一个,则抽到的数是素数的概率=|=

故选：B.

4.在RtZVlBC中，NC=90°,各边都扩大2倍，则锐角A的锐角三角函数值()

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A.扩大2倍B.缩小三C.不变D.无法确定

2

【解答】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大2倍后，锐

有A的各三角函数值没有变化，

故选：C.

5.如图，已知点。在△4BC的BC边上，若NCAD=NB,且CD：AC=\：2,则CD：BD

=()

【解答】解：'：ZCAD^ZB,ZACD^ZBCA,

/XACD^^BCA,

cDcA1

--=--=-

c4cB2

：.BC=2AC=4CD,

:.CD：80=1：(4-1)=1：3.

故选：D.

6.如图，将△408绕点。按逆时针方向旋转40°后得到△C。。，若/AO8=15°,则N

AOD的度数是()

55°C.60°D.65°

【解答】解：；将△AOB绕点。按逆时针方向旋转40。后得到△C。。,

.,.N4OB=/CO£>=15°,/AOC=ZBOD=40°,

，ZAOD=ZAOB+ZBOD=55°,

故选:B.

7.如图，5c内接于O。，AB=BC,NABC=120°,则NAO8的度数为()

第10页共28页

D

/^7c

R

A.15°B.30°C.45°D.60°

【解答】解：-：AB=BCfZABC=120°,

AZC=ZBAC=30°,

/.ZADB=ZC=30°,

故选：B.

8.如图，抛物线y=#-4与x轴交于A、8两点，尸是以点C(0,3)为圆心，2为半径

的圆上的动点，。是线段外的中点，连结。。.则线段。。的最大值是()

【解答】解：连接BP,如图，

当y=0时，-x2-4=0,解得xi=4,X2=-4,则A(-4,0),B(4,0),

4

是线段办的中点，

二OQ为△ABP的中位线，

1

OQ=5BP,

当8P最大时，OQ最大，

而8P过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P'位置时，BP最大,

:BC=V32+42=5,

：.BP'=5+2=7,

第11页共28页

7

，线段。。的最大值是3

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.若点P（2a+3b,-2）关于原点的对称点为Q（3,a-2b）,则（3a+6）2020=1

【解答】解：•••点PC2a+3b,-2）关于原点的对称点为。（3,a-2b）,

・[2Q+3b=-3

"ia-2b=2'

故3a+b=-1,

则（3a+b）2020=].

故答案为：1.

10.如图，反比例函数图象经过点A,过点A作AB,尤轴，垂足为B,若4048的面积为3,

则该反比例函数的解析式是q=f_.

【解答】解：如图，连接04

•.•△OAB的面积为3,

第12页共28页

：.k=2S&OAB=6,

...反比例函数的表达式是y=%

11.如图，点尸是线段A8的黄金分割点，且AP>BP,设以AP为边长的正方形面积为Si,

以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2,51=52（填“>”或“="或

卜

【解答】解：♦.•点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,

:.AP2=BPXAB,

又；51=4产，S2=PBXAB,

•'•Si=S2.

故答案为：=.

12.如图，PC是。。的直径，抬切。0于点P,交。。于点3,连结3c已知。。的

11

半径为2,ZA=20°,则我的长为（结果保留Ti）

【解答】解：・・・布切。。于点P,PC是。。的直径,

・・・NAPO=90°,

VZA=20°,

・・・N8OC=NA+NAPO=200+90°=110°,

•••。。的半径为2,

・办_110-7TX2_11

..BC-18()--g-TC,

11

故答案为：

第13页共28页

13.点C是以线段48为直径得圆周一点，BC=5,AC=U,则sinA+cosB=—.

—13―

【解答】解：如图，

为直径，

AZACB=90°,

：.AB=V52+122=13,

....BC5BC5

•sim=通=ITcosnB=诙=变'

..sinA+cosn=百.

故答案为”.

14.若方程ax2-2ax+c=0(aWO)有一个根为x=-L那么抛物线-2ax+c与x轴

两交点间的距离为4.

【解答】解：抛物线的对称轴是直线》=-玄=1.

，方程or2-2ax+c=0(a#0)的另一根为x=3.

则两交点间的距离为4.

故答案是：4.

15.不透明的盒中装着大小、外形、质地一样的红色、黑色、白色的乒乓球共20个，小明

通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的概率稳定在5%和15%,则盒子中白色

球的个数很可能是」个.

【解答】解：20X(1-5%-15%)=16个，

故答案为：16.

b

16.如图，已知点A,点C在反比例函数y=£(A>0,x>0)的图象上，ABLx轴于点8,

OC交A8于点。，若C£>=。。，则△AOZ)与△8CZ)的面积比为3.

第14页共28页

【解答】解：作轴于£如图，

YDB〃CE,

,OBBDOP1

OE~CE~OC~2

设D（m,〃）,则。（2m,2〃）,

VC（2加，2n）在反比例函数图象上，

:.k=2mX2n=,

•'A（"z,4H）,

13ii

x

丁S〉AOD=2（4H-n）Xm=-^nn,S^BCD=々x（2m-m）Xn--^nn

Q1

/.△AOD与4BCD的面积比=Tzfnn：—mn=3.

22

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.（5分）计算：2sin30。+cos60°-tan60°tan300+cos2450-sin2340-cos234°

【解答】解：原式=1+1■—V3x孚+4-1

=1-1

=0.

18.（5分）如图，在四边形ABCO中，ZA=ZADC=\20°,AB=ADfE是BC的中点,

DE=T5,DC=24,求四边形ABC。的周长.

第15页共28页

D

【解答】解：如图，过A作4尸，8。与凡

VZBAD=120°,AB=AD,

：.ZABD=ZADB=3G°,

VZADC=nO0,

：.ZBDC=ZADC-ZADB=120°-30°=90°,

在RtZ\&)C中，ZBDC=90°,E是3c的中点，DE=15,

:・BC=2DE=30,

则BD=yjBC2-DC2=V302-242=18,

^AD=ABfAFA.BD,

11

ADF=^5D=^xl8=9,

在RtZiAF。中，

VZAFD=90°,ZADB=30°,

••・3丘瑞吗=6心

T

则四边形ABCD的周长=48+8C+CZ)+AO=6V5+30+24+6A/3=54+12国..

19.（5分）如图，。为等边三角形ABC内一点，将△BOC绕点C旋转，使点B与点A重

合，点。落在点E处，连接。E,试判定△CCE的形状，并说明理由.

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【解答】解：结论：△OCE是等边三角形.

理由：VABCD^AACE,

:.CD=CE,ZBCD^ZACE,

：.ZDCE=^BCA=6Q°,

...△OCE是等边三角形.

20.(5分)如图所示，A(-1,0),8(2,-3)两点在二次函数)，I=以2+区-3与一次函

数”=-x+m图象上.

(1)求机的值和二次函数的解析式.

(2)请直接写出使yi>”时，自变量x的取值范围.

(3)二次函数交y轴于C,求AABC的面积.

【解答】解：(1)A(-1,0)在一次函数”=-x+m图象上

，0=l+机

•-1；

VA(-1,0),8(2,-3)两点在二次函数yi=o?+历3图象上

.(a—b—3=0

14Q+2b-3=-3

解得：*=12；

3=-2

二次函数的解析式为yi=f-2x-3；

(2)由图象可得yi>中时，自变量x的取值范围为x<-1或x>2；

(3)：二次函数yi=x2-2x-3交y轴于C,

：.C(0,-3),

又(2,-3),

轴，如图，

第17页共28页

...△ABC的面积为3.

21.（5分）如图，点A,D,B,C在。。上，ABA.BC,于点区若BC=3,AE=

DE=\,求。。半径的长.

【解答】解：如图，连接A。，AC,连接CQ与AB交于点F,

：.ZABC=90a.

；.4C为直径.

AZADC=90°.

\"AE=DE,DELAB,

：.ZDAB=ZADE=45°.

：.ZBCF=ZDAB=45°.

：.BC=BF=3.

在△«£＞月中，ZDAB^ZAFD=45°,

:.EF=ED=L

：.AB=5.

：.AC=y/AB2+BC2=V34.

第18页共28页

V34

...o。半径的长—

22.（5分）A,3两点的距离为4厘米，用图形表示具有下列性质的点的集合，并指出它们

是怎样的图形：

（1）到点A的距离等于3厘米的点的集合；

（2）到点B的距离等于3厘米的点的集合；

（3）到A,3两点的距离都等于3厘米的点的集合；

（4）到4,B两点的距离都不大于3厘米的点的集合.

【解答】解：（1）与点A的距离为1.5c5的点的集合

（2）与点B的距离为\.5cm的点的集合

（3）点C、。即为符合条件的点的集合

（4）图中阴影部分即为符合条件的点的集合（含边界）

23.（6分）如图，已知在等腰△ABC中，ZA=ZB=30°,CC_LAC交AB于点D

第19页共28页

(1)尺规作图：作线段A。的中点E(保留作图痕迹，不要求写作法)，并连接CE；

(2)已知AO=2次，尸是线段BC上一点，若以P,D,8为顶点的三角形与△BCE相

似，0P的长为多少？

【解答】解：(1)如图点E即为所求;

(2)是边4。的中点，

:.CE=AE=ED,

VZA=30°,

：.CD=AE=ED,ZADC=60°

:.CD=AE=ED,Z£CD=60°

而NB=30°,

：.ZBCD^ZADC-ZB=60°-30°=30°.

ZECB=ZECD+ZBCD=600+30°=90°

11

EC=ED=BD=CD=々4。=2*2H=显.............(6分)

方法一

①过D作DP1BC交BC于P,

第20页共28页

在△BP。和△BCE中，

(Z.BPD=乙BCE

tzB=乙B

:./\BPD〜4BCE(A4).

.££_££即史一包

''EC-EB'1V3-2忖

:.DP=专.

②过D作DP,LAB交4B于P',

在和△BEC中，

gP'DB=乙ECB

Ufi=aB

:./\BP'D〜ABEC(AA).

.吧_吧即DP，取

•,EC-BC'NV3一争＜2后

：.DP'=l.

综合①②若以P,D,8为顶点的三角形与ABCE相似，OP的长为手或1.

方法二

①过D作DP±BC交BC于P,

则DP=BDsinB=V3-sin30°=遮x=坐，

②过D作DP1LAB交4B于P,,

F5

贝ijDP'=BDtanB=遮•tan30°=遮x券=1,

综合①②若以P,D,8为顶点的三角形与△BCE相似，。尸的长为手或1.

24.(6分)小明根据学习函数的经验，对函数丫=告+1的图象与性质进行了探究.下面

第21页共28页

是小明的探究过程，请补充完整:

1

（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出〃?，”的值：w=_-_,〃=3；

X•・.3-1_10122三3Z

~22222

1

y…3tn±0-1n2537

53325

（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该

函数的图象.

（4）结合函数的图象，解决问题：

①写出该函数的一•条性质：函数图象经过原点且关于点（1,1）对称.

1Q

②当函数值-7+1时，x的取值范围是：1vx<3.

X—1乙

【解答】解：（1）由分式的分母不为0得：X-1W0,

・%#1；

故答案为：xWl.

(2)当x=-l时，，尸+

X-1Z

Q1

当x=2时，y=1_]+1=3,

・••机=2，〃=3,

第22页共28页

1

-3

2

(4)①观察函数图象，可知：函数图象经过原点且关于点(1,1)对称，

故答案为：函数图象经过原点且关于点(1,1)对称.

②观察函数图象，可知：当函数值1口+1>郃Q寸，x的取值范围是l<x<3,

故答案为：l<x<3.

25.(6分)如图1,P是矩形ABCD内部的一定点，M是A8边上一动点，连接MP并延长

与矩形ABCD的一边交于点N,连接AN.已知AB=6cm,设A,M两点间的距离为xcm,

M,N两点间的距离为yicm,A,N两点间的距离为"cm.小欣根据学习函数的经验，

分别对函数yi,”随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小欣的探究过程，请补充完整：

(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了yi,”与x的几组对

应值；

xlcm0123456

y\/cm6.305.404.223.133.254.52

yilcm6.306.346.436.695.754.813.98

(2)在同一平面直角坐标系xQv中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点(x,

VI).并画出函数yi的图象;

第23页共28页

y/cmA

f"8-*

■4---i~

6••7।8比比

(3)结合函数图象，解决问题：

当△AMN为等腰三角形时，AM的长度约为3.3或4.8或5.7cm.

【解答】解：(1)观察图象可知。(2,4.80),

故答案为4.80.

(3)两个函数与直线y=x的交点为4,B,函数＞1与”的交点为C,

观察图象可知：A(3.3,3.3),B(4.8,4.8),C(5.7,4).

△AMN为等腰三角形时，AM的值约为3.3或4.8或5.7.

故答案为3.3或4.8或5.7.

26.(6分)已知：抛物线y=57+(机-3)x与y--2x-m交于点A(xi,yi)和点8(双,

c4Q

y2),且有(xi-%2)2=25,求m的值.

【解答】解：.抛物线y=5/+(〃?-3)x与y=-lx-m交于点A(xi,yi)和点B(%2,

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丫2）,

/.5JT+（m-3）x=-2x-

化简，得

5/+（Z77-1）x+m=0,

.m—11—mm

・・Xl+X2=------g-=-g—,X\X2=百，

2492、2

（XI-X2）=25，（XI-X2）=（X1+X2）-4x1X2,

•/\2A49

・♦（XI+X2）-4x1X2=2^f

.