一元函数的导数与微分

一元函数的导数与微分汇报人：XX2024-01-27XXREPORTING目录导数的基本概念与性质微分的基本概念与性质一元函数的求导法则一元函数的微分法则导数与微分的应用PART01导数的基本概念与性质REPORTINGXXVS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。导数的几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。导数的定义导数的定义及几何意义可导与连续的关系可导必连续如果函数在某点可导，则该函数在该点必定连续。连续不一定可导即使函数在某点连续，也不一定在该点可导。例如，函数$y=|x|$在$x=0$处连续但不可导。$(upmv)'=u'pmv'$加减法则$(uv)'=u'v+uv'$乘法法则$(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$（其中$vneq0$）除法法则如果函数$u=g(x)$在点$x$可导，且函数$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，则复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$或写作$y'=f'(u)cdotg'(x)$。复合函数求导法则导数的四则运算法则PART02微分的基本概念与性质REPORTINGXX设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地，函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的微分，记作$dy|_{x=x_0}$或$df(x_0)$，即微分$dy|_{x=x_0}$表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。定义几何意义微分的定义及几何意义微分与导数的关系01导数与微分的关系：函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充分必要条件是函数在该点处可导，且微分值等于导数值乘以自变量的增量，即02$$dy|_{x=x_0}=f'(x_0)cdotDeltax$$03一阶微分形式不变性：如果$y=f(u)$可微，且$u=g(x)$也可微，那么复合函数$y=f[g(x)]$也可微，且04$$dy=f'(u)cdotg'(x)cdotdx$$微分的四则运算法则03$$d(uv)=ucdotdv+vcdotdu$$01$$d(u+v)=du+dv$$02乘法运算法则：若函数$u=u(x)$和$v=v(x)$都可微，则它们的积也可微，且微分的四则运算法则微分的四则运算法则除法运算法则：若函数$u=u(x)$和$v=v(x)$都可微，且$vneq0$，则它们的商也可微，且$$dleft(frac{u}{v}right)=frac{vcdotdu-ucdotdv}{v^2}$$复合函数的微分法则：若函数$y=f(u)$可微，且$u=g(x)$也可微，那么复合函数$y=f[g(x)]$也可微，且$$dy=f'(u)cdotg'(x)cdotdx$$PART03一元函数的求导法则REPORTINGXX指数函数若f(x)=a^x（a>0且a≠1），则f'(x)=a^x*lna常数函数若f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0幂函数若f(x)=x^n（n为实数），则f'(x)=nx^(n-1)对数函数若f(x)=loga(x)（a>0且a≠1），则f'(x)=1/(xlna)三角函数如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，它们的导数可以通过三角函数的性质求得基本初等函数的导数公式链式法则：若h(x)=f(g(x))，则h'(x)=f'(g(x))*g'(x)具体应用时，需要分清内外层函数，然后分别求导再相乘复合函数的求导法则隐函数的求导法则对于方程F(x,y)=0确定的隐函数y=y(x)，可以通过对方程两边关于x求导来求解y'需要注意的是，在求导过程中要把y视为x的函数，即y是x的复合函数VS对于参数方程x=x(t)和y=y(t)，可以通过求解dy/dx来得到y关于x的导数具体求解时，需要利用链式法则和换元法，将dy/dx转化为dy/dt和dx/dt的商，即y'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)参数方程的求导法则PART04一元函数的微分法则REPORTINGXX常数函数$(C)'=0$幂函数$(x^n)'=nx^{n-1}$指数函数$(a^x)'=a^xlna$基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式对数函数：$(\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}$三角函数$(sinx)'=cosx$$(cosx)'=-sinx$基本初等函数的微分公式$(\tanx)'=\sec^2x$基本初等函数的微分公式01020304反三角函数$(arcsinx)'=frac{1}{sqrt{1-x^2}}$$(arccosx)'=-frac{1}{sqrt{1-x^2}}$$(arctanx)'=frac{1}{1+x^2}$基本初等函数的微分公式设$u=g(x)$可导，$y=f(u)$也可导，则复合函数$y=f[g(x)]$的导数为：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$或$y'=f'(u)\cdotg'(x)$。复合函数的微分法则隐函数的微分法则参数方程的微分法则对于参数方程$\begin{cases}x=\varphi(t)\y=\psi(t)\end{cases}$，若$\varphi(t)$和$\psi(t)$均可导，且$\varphi'(t)eq0$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$。PART05导数与微分的应用REPORTINGXX通过求函数在某一点的导数，可以得到该点处切线的斜率。切线斜率法线是与切线垂直的直线，其斜率为切线斜率的负倒数。法线斜率利用切点和斜率，可以求出切线方程和法线方程。切线方程与法线方程切线与法线问题瞬时速度物体在某一时刻的瞬时速度等于该时刻的位移导数。平均速度物体在一段时间内的平均速度等于该段时间内位移与时间的比值。加速度物体速度的变化率，即速度的导数，表示物体速度变化的快慢。速度与加速度问题单调性判断函数的单调性与极值问题通过求函数的导数，可以判断函数在某个区间内的单调性。极值点函数在其定义域内某一点的导数为零，则该点可能是函数的