（人教A版2019必修第二册）数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 6.3.4-6.3.5 平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示【附答案详解】

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)6.3.4-6.3.5平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示【考点梳理】考点一平面向量数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.考点二平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.考点三：平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).技巧：向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.(2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)判断θ的值时，要注意cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.【题型归纳】题型一：由坐标判断坐标是否共线问题1．（2023·全国·高一课时练习）若=(6，6)，=(5，7)，=(2，4)，则下列结论成立的是（）A．与共线 B．与共线C．与共线 D．与共线2．（2023·全国·高一课时练习）已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（）A． B． C． D．3．（2023·江苏淮安·高一阶段练习）若向量=(1，2)，=(2，3)，则与+共线的向量可以是（）A．(2，1) B．(6，10)C．(－1，2) D．(－6，10)题型二：由向量平行（共线）求参数4．（2023·全国·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A． B． C． D．5．（2023·全国·高一课时练习）设向量，，如果向量与平行，那么的值为（）A． B． C． D．6．（2023·云南·昆明八中高一阶段练习）已知，且则的最小值是（）A．3 B．C．4 D．题型三：由坐标解决三点共线问题7．（2023·上海·高一课时练习）已知、、三点共线，则x的值为（）A．-7 B．-8 C．-9 D．-108．（2023·江苏·泰兴市第三高级中学高一阶段练习）已知，，，若A，，三点共线，则（）A． B． C． D．29．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，，且A，B，C三点共线，则k的值是（）A． B． C． D．题型四：由坐标解决线段平行和长度问题10．（2023·辽宁丹东·高一期末）已知向量，，若，则（）A． B． C． D．311．（2023·江苏·星海实验中学高一期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量与平行，则（）A． B． C． D．12．（2018·广东·仲元中学高一期中）已知，下列向量中，与反向的单位向量是（）A． B． C． D．题型五：数量积和模的向量坐标运算13．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，若则（）A． B．5 C． D．14．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．15．（2023·吉林·延边二中高一期中）在中，，，为线段的三等分点，则＝()A． B．C． D．题型六：向量垂直的坐标表示问题16．（2023·全国·高一课时练习）设向量，，．若，则与的夹角为（）A．0° B．30° C．60° D．90°17．（2023·重庆第二外国语学校高一阶段练习）已知，向量，且，则（）A． B． C． D．18．（2023·安徽·合肥市第八中学高一期中）已知向量，，其中，则“x=2”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要题型七：向量垂直中的参数问题19．（2023·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）已知向量，，.若，则（）A． B． C． D．20．（2023·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）设，向量，且，‖，则|（）A． B． C． D．1021．（2023·全国·高一课时练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A． B． C． D．1题型八：向量坐标中的夹角计算问题22．（2023·全国·高一课时练习）已知，是单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．23．（2023·全国·高一课时练习）已知，，则下列结论中正确的个数为（）①与同向共线的单位向量是②与的夹角余弦值为③向量在向量上的投影向量为④A．个 B．个 C．个 D．个24．（2023·福建省漳州第一中学高一期中）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，向量与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题25．（2023·福建省宁化第一中学）在菱形中，，，，，若，则（）A． B． C． D．26．（2022·全国·）已知平面向量满足，，则的最小值为（）A． B． C． D．27．（2023·全国·）已知向量，，，若，则实数的值为（）A．-8 B．-6 C．-1 D．628．（2022·全国·）如图，在平面四边形中，.若点E为边上的动点，则的最小值为（）A． B．2 C． D．29．（2023·福建省福州格致中学）骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，、、均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A． B． C． D．【高分突破】一：单选题30．（2023·北京石景山·）如图所示，边长为1的正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则的最大值是（）A．2 B． C．3 D．431．（2023·宁夏·青铜峡市高级中学（理））若点A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，则y的值等于()A．-4 B．-1 C．1 D．432．（2022·全国·）已知是边长为3的等边三角形，点在边上，且满足，点在边上及其内部运动，则的最大值为（）A．6 B． C． D．33．（2023·全国·（文））在矩形ABCD中，，，点P在CD上，，点Q在BP上，，则（）A．6 B．8 C．10 D．1234．（2023·北京市第二十二中学）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（）A．45° B．60° C．90° D．135°35．（2023·河北邢台·）已知向量，则下列说法不正确的是（）A．若，则的值为 B．若，则的值为2C．的最小值为1 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是36．（2023·重庆市江津中学校）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．37．（2023·河南·）已知向量，，则下列结论正确的是（）A． B．C．向量，的夹角为 D．在方向上的投影是38．（2023·广西桂林·（理））已知、、为的三个内角、、的对边，向量，，若，且，则角、的大小分别为（）A．， B．，C．， D．，39．（2023·河北巨鹿中学）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．40．（2023·黑龙江大庆·（理））已知向量，，下列说法正确的是（）A．，与的夹角不小于 B．，C．，使得 D．，使得二、多选题41．（2023·浙江·杭州市富阳区场口中学）已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则（）A．最小值为 B．最大值为C．无最小值 D．无最大值42．（2023·吉林·梅河口市第五中学）若向量，，下列结论正确的是（）A．若同向，则B．与垂直的单位向量一定是C．若在上的投影向量为（是与向量同向的单位向量），则D．若与所成角为锐角，则n的取值范围是43．（2023·湖北·）已知，，则下列说法正确的有（）A．在方向上的投影为 B．与同向的单位向量是C． D．与平行44．（2023·广东·仲元中学）已知向量，，则（）A．与的夹角余弦值为B．C．向量在向量上的投影向量的模为D．若，则45．（2023·全国全国·）已知向量，，，，则（）A．若，则B．若，则C．的最小值为D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是三、填空题46．（2023·四川·绵阳中学（理））已知，向量满足，当向量，夹角最大时，_________．47．（2023·全国·）设向量的夹角为，且，则___________.48．（2023·河北保定·）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是___________.49．（2023·全国·）已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．四、解答题50．（2020·广东·东莞五中）已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.（1）求点、、的坐标；（2）若，求与夹角的大小；（3）试确定点的位置，使取得最小值，并求此最小值.51．（2023·北京景山学校远洋分校）已知向量，向量．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）求；（Ⅲ）当为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向还是反向．52．（2023·安徽·蚌埠二中）已知中，，，.（1）求；（2）求的面积.53．（2023·江苏·金陵中学）设向量．（1）若与垂直，求的值；（2）求的最小值．【答案详解】1．C解：，因为，所以与不共线；，因为，所以与不共线；，因为，所以与共线；，因为，所以与不共线.故选：C.2．D【详解】因为，，，显然三点不共线，如图在坐标系中可得选项ABC能构成四边形，当时，，即此时A、C、D共线，不能使点A、B、C、D构成四边形.故选：D3．B【详解】由已知，只有，即只有与平行．故选：B．4．D【详解】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，所以，即，所以，解得，故选：D5．D【详解】解：，所以.所以.故选：D6．B【详解】根据向量平行的坐标表示，时，

当且仅当，即时取等号，所以选项B正确.故选：B.7．B【详解】解：因为、、所以，，因为、、三点共线，所以，即，解得故选：B8．A【详解】由题意得，，又A，B，D三点共线，所以，即，即，所以.故选：A.9．A【详解】，.因为A，B，C三点共线，所以共线，所以，解得.故选：A10．C【详解】因为，所以，易知，所以，所以.故选：C.11．B解：因为向量与平行，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，故选：B12．B因为与反向，所以舍去A,C,D因为的模为1，故选：B.13．B【详解】由向量，，∴，所以，∴，∴，即.故选：B14．D【详解】，，∴＝．故选：D．15．C【详解】中，||＝||，∴22，∴0，∴⊥，建立如图所示的平面直角坐标系，由E，F为BC边的三等分点，则A（0，0），B（0，4），C（2，0），E（，），F（，），∴（，），（，），∴+．故选：C16．D【分析】根据题意，求出x的值，即可得的坐标，进而可得的坐标，即可求解．【详解】根据题意，设与的夹角为，，，，则，解得，则，，则，所以，故，故选：D．17．B【分析】根据，利用向量坐标运算求解.【详解】因为向量，且，所以向量，解得，所以，故选：B18．A【分析】根据，，由，求得x，再利用充分、必要条件的定义判断.【详解】已知，，若，则，解得或，所以“x=2”是“”的充分不必要条件，故选：A19．A【分析】依题意首先求出的坐标，再根据，得到，即可得到方程，解得即可；【详解】解：因为，，，所以，因为，所以，解得，故选：A20．B【分析】先由，‖，列方程求出，从而可求出的坐标，进而可求出【详解】解：因为，‖，所以，，则，所以，则，故选：B．21．B【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可.【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系因为AB=3，BC=4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，，，设，因为BE⊥AC，所以，解得.由，得，所以解得所以，故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.22．A【分析】根据平面向量夹角坐标公式求解即可．【详解】由题意可知，，则解得故选：A23．C【分析】根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.【详解】解：，故①正确；，故②错误；向量在向量上的投影向量为，故③正确；，故④正确；故选:C.24．D【分析】以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，结合向量的坐标运算得出当时，取得最小值，再由数量积运算得出向量与夹角的余弦值.【详解】以的中点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设，当时，取得最小值为此时，故选：D25．D【分析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设,得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.【详解】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为因为，所以,即是的中点，所以所以，由题知.故故选：D26．D【分析】根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.【详解】因为，所以，，，因为，所以，设，，，，，所以，即，所以点在以为圆心，半径的圆上，表示圆上的点与定点的距离，所以的最小值为，故选：D.27．C【分析】先求出，再解方程即得解.【详解】由题得，因为，所以.故选：C28．D【分析】以D为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，设，用数量积的坐标表示求出数量积，结合二次函数性质得最小值．【详解】如图所示，以D为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，过点B做轴，过点B做轴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴，设，∴.；∴，当时.取得最小值为.故选：D．29．D【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式可求得的最大值.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：因为、、均是边长为的等边三角形，则、、、，设点，则，，所以，.故选：D.30．A【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．【详解】解：令，由于，故，，，，故，，故，同理可求得，即，,,，的最大值是2，故选：．31．C【分析】首先根据已知条件，首先求出，的坐标表示，然后利用三点共线的向量表示即可求解.【详解】由题意可知，，，因为A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，故，即，解得，，.故选：C.32．C【分析】建立适当的坐标系，然后用向量数量积公式得，最后用线性规划的知识求得最大值.【详解】如图，以为坐标原点，所在的方向为轴正方向，建立直角坐标系，所以，，，，，设，则，，所以，由直线：，直线：，因为点在边上及其内部运动，由线性规划可得，当点与重合时，取值最大为.33．D【分析】画出图形，建立坐标系，求出P的坐标，然后求解Q的坐标，然后求解向量的数量积即可.【详解】建立如下图的坐标系，在矩形ABCD中，AB=4，，又点P在CD上，，由已知得，点Q在BP上，过点Q作于点E，又，所以，即，所以，，，所以，所以，所以.故选：D.34．A【分析】设小正方形边长为1，则，，由夹角公式可求得结果.【详解】设小正方形边长为1，由平面向量的坐标表示可得，，设两向量夹角为，则，又，所以.故选：A.35．D【分析】根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.【详解】A选项，若，则，A选项说法正确.B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.C选项，，当时，有最小值为，C选项说法正确.D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.故选：D36．C【分析】不妨设，，则，，进而由夹角公式可求得结果.【详解】不妨设，，则，，所以，，，设的夹角为，则，又，所以.故选：C.37．C【分析】利用向量数量积、模、夹角、投影等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对选项A，，因为，所以，故A错误；对选项B，，所以，故B错误；对选项C，，所以向量，的夹角为，故C正确；对选项D，在方向上的投影是，故D错误.故选：C38．A【分析】根据可得，再化简可得，进而得出即可【详解】由可得，即，即，又为的内角，所以角，因为，由正弦定理得，又，故，所以故选：A【点睛】（1）平面向量可得；（2）关于解三角形的化简，常用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换与内角和、诱导公式化简39．D【分析】由已知得且与不平行，根据向量的坐标运算可得选项.【详解】因为与的夹角为锐角，所以且与不平行，即且，解得且，所以实数的取值范围是，故选：D.40．D【分析】根据向量坐标运算的知识，对选项逐一分析即可.【详解】因为向量，，对于A选项，，若与的夹角小于，则，即，解得，，故A错误；对于B选项，因为，所以设其对称轴为，因为，所以时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，，所以，故B错误；对于C选项，，因为，所以，解得，所以C错误；对于D选项，，因为，所以，，，，所以异号，故，使得，因此D正确.故选：D41．AD【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，用坐标表示出数量积，通过函数分析出其最值情况．【详解】建立如图所示的直角坐标系则，，，.设，则，，，，所以，所以当，时，取得最小值，无最大值.故选：AD．【点睛】本题考查平面向量数量积，求平面向量数量积的最值，一种方法直接用数量积的定义表示出数量积求解，一种方法是建立平面直角坐标系，把数量积用坐标表示，然后用函数的知识求解．42．AC【分析】A．先根据共线确定出的可取值，然后根据同向确定出的值；B．分析的相反向量与的位置关系并进行判断；C．根据求解出的值；D．根据且不同向即可求解出的取值范围.【详解】A．设，所以，所以，即，所以满足，故正确；B．因为，所以也是与垂直的单位向量，故错误；C．因为在上的投影向量为，所以，所以，所以，故正确；D．因为与所成角为锐角，所以且不同向，所以，所以，故错误；故选：AC.【点睛】思路点睛：已知向量的夹角为锐角或者钝角，求解参数范围的步骤：（1）根据两个向量的夹角为锐角或钝角，得到或，求解出的范围；（2）特殊分析：当两个向量共线时，计算出参数的取值；（3）排除两个向量共线时参数的取值，确定出参数的取值范围.43．ABC【分析】根据投影的计算公式可判断A；根据单位向量和数乘向量的概念可判断B；根据向量夹角公式可判断C；根据向量平行的坐标表示可判断D.【详解】对于A：因为，，所以，，所以在方向上的投影为，故选项A正确；对于B：，所以与同向的单位向量是，即，故选项B正确；对于C：由，因为，所以故选项C正确；对于D：因为，所以与不平行，故选项D错误，故选：ABC.44．ACD【分析】对于A：由已知得，根据向量夹角的计算公式计算可判断；对于B：由已知得，由此可判断；对于C：由已知得向量在向量上的投影，从而可判断；对于D：由，可判断.【详解】解：对于A：因为向量，，所以，所以与的夹角余弦值为，故A正确；对于B：因为，所以，所以，故B不正确；对于C：向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量的模为，故C正确；对于D：因为，所以，所以，故D正确，故选：ACD.45．ABC【分析】对于A，根据两向量垂直时其数量积为可求得的值；对于B，根据向量相等建立方程组可求得、的值，即可得的值；对于C，由模的计算公式求出，然后利用二次函数的性质求解即可；对于D，由两向量的夹角为锐角时其数量积大于且两向量不共线即可求出的范围．【详解】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确；对于B，由，得，则，解得，故，所以B正确；对于C，因为，所以，则当时，取得最小值为，所以C正确；对于D，因为，，因