（人教A版2019必修第一册）高一数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 1.1 集合的概念【附答案解析】

高一数学人教A版（2019）必修第一册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念【考点梳理】考点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．考点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.考点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR考点四：集合的表示（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．【题型归纳】题型一：集合的概念1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（）①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于的正整数；④的近似值．A．①② B．③④C．②③ D．①③2．下列说法中正确的有（）个：①很小的数的全体组成一个集合：②全体等边三角形组成一个集合；③表示实数集；④不大于3的所有自然数组成一个集合.A．1 B．2 C．3 D．43．下列叙述正确的是（）A．方程的根构成的集合为B．C．集合表示的集合是D．集合与集合是不同的集合题型二：元素与集合的关系4．下列关系中①；②；③；④正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．下列五个写法，其中正确写法的个数为（）①；②；③；④；⑤A．1 B．2 C．3 D．46．设集合，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．题型三：元素特性技巧解题7．已知，，若集合，则的值为（）A． B． C． D．8．已知，，且，则（）A．或 B．C．或或 D．9．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则（）A．-1 B．0 C．1 D．2题型四：集合的表示方法10．若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A． B． C． D．11．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（）A．{（x，y）|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}B．{（x，y）|x＝0且y＝0}C．{（x，y）|xy＝0}D．{（x，y）|x，y不同时为零}12．集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（）A．{x|x=2n±1，n∈Z}B．{x|x=2n+1，n∈Z}C．{x|x=2n+1，n∈N*}D．{x|x=2n+1，n∈N}【双基达标】一、单选题13．已知集合，，则集合中元素个数为（）A． B． C． D．14．集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（）A．x≠–1 B．x≠0C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠315．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（）A．{x|-3<x<11，x∈Z}B．{x|-3<x<11}C．{x|-3<x<11，x=2k}D．{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z}16．下列关系正确的是（）A． B． C． D．17．集合A＝{1，－3，5，－7，9，}用描述法可表示为（）A．{x|x＝2n±1，n∈N}B．{x|x＝（－1）n（2n－1），n∈N}C．{x|x＝（－1）n（2n＋1），n∈N}D．{x|x＝（－1）n－1（2n＋1），n∈N}18．下列叙述正确的是（）A．集合{x|x<3，x∈N}中只有两个元素B．{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}C．整数集可表示为{Z}D．有理数集表示为{x|x为有理数集}19．有下列四个命题：①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．320．已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，1521．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（）A．{x|是小于18的正奇数} B．C． D．22．给出下列个关系：①，②，③，④，⑤，⑥，其中正确命题的个数为（）A． B． C． D．【高分突破】23．已知集合，则中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．424．集合{x|，x∈Z}等于（）A．{1，2} B．{0，1，2}C．{，0，1，2} D．{0，1}25．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是（）A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M26．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成集合A，则（）A．2∈A B．3∉A C．－1∈A D．1∈A27．设集合，，，则中元素的个数为（）A． B． C． D．28．设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则∈M.则下列结论正确的是（）A．集合M中至多有2个元素B．集合M中至多有3个元素C．集合M中有且仅有4个元素D．集合M中至少有4个元素29．已知集合，，，且，则的值为（）A．1或 B．1或3 C．或3 D．1，或330．若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（）A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B二、多选题31．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}32．(多选题)若集合A={x|kx2+4x+4=0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．333．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，，给出如下四个结论，其中，正确结论的是（）A．B．C．若整数，属于同一“类”，则D．若，则整数，属于同一“类”34．设非空集合满足：当时，有.给出如下四个命题，其中正确命题的有（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．35．下面四个说法中错误的是（）A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1}D．0与{0}表示同一个集合36．设集合，若，，，则运算可能是（）A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法37．若集合A具有以下性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x∈A，y∈A；则x﹣y∈A，且x≠0时，∈A．则称集合A是“好集”．下列命题中正确的是（）A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集”B．有理数集Q是“好集”C．整数集Z不是“好集”D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A三、填空题38．用符号“”或“”填空：（1）______；（2）_____；（3）_____；（4）_____；（5）_____；（6）_____；（7）_____；（8）_____.39．若集合只有一个元素，则集合______．40．已知集合，若，则__________.41．设集合，已知且，则实数的取值集合为__________.42．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B，1＋________B；（2）设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C；（3）设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1，1)________D．43．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会？”则此三女前三次相会经过的天数用集合表示为____.四、解答题44．（1）已知，，求实数的值；（2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．45．已知函数f（x）=-ax+b（a，b∈R）.集合A={x|f（x）-x=0}，B={x|f（x）+ax=0}，若A={1，-3}，试用列举法表示集合B.46．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式的解集（3）的解集47．已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．（1）若，求出A中其他所有元素；（2）是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素；（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？48．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【答案详解】1．C【详解】①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于的正整数”的标准确定，能构成集合；④“的近似值”的标准不确定，不能构成集合．故选：C.2．B【详解】①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：②全体等边三角形组成一个集合，故正确；③表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.故选：B3．B【详解】对于A，方程的根构成的集合为，故A错误；对于B，方程无解，所以，故B正确；对于C，集合为点集，集合是数集，故C错误；对于D，由集合元素的无序性可得集合，故D错误.故选：B.4．C【详解】①因为是自然数，所以，故正确；②因为不是整数，所以，故错误；③因为是整数，所以，故错误；④因为是无理数，所以，故正确；故选：C.5．B【详解】解：①，故①错误，②，故②正确，③，故③正确，④，故④错误，⑤为元素，与无法运算，故⑤错误；故选：B6．D【详解】解：，，，又，，．故选：D.7．B【详解】因为，所以，解得或，当时，不满足集合元素的互异性，故，，，故选：B.8．D【详解】当时，集合，都出现两个1，出现了互异性的错误，排除ABC，当时，，，，故选：D.【点睛】本题考查了集合性质，属于基础题.9．A【详解】解：由题意得，，所以即，，即，则有，所以，解得，∴.故选：A.10．B【详解】因为可解得：，所以.故选：B11．C【详解】A.表示轴和轴上的点，但不包含原点，故A错误；B.集合中只有一个元素，就是原点，故错误；C.或，即表示坐标轴上点的集合，故C正确；D.表示平面中的点，但不包含原点，故错误.故选：C.12．D【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D13．C【详解】解：由题意知：，，，∴集合中元素个数为3.故选：C.14．C【详解】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，解得x≠3且x≠–1且x≠0，故选：C．15．D【详解】解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3<x<11，x=2k，k∈Z，所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z}，故D符合题意；对于A，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意；对于B，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意；对于C，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意.故选：D.16．D【详解】对于A，因为0不是正整数，所以，所以A错误，对于B，因为是无理数，所以，所以B错误，对于C，因为空集是不含任何元素的集合，所以，所以C错误，对于D，因为是实数，所以，所以D正确，故选：D17．C解：观察集合的前几项发现：的元素都是奇数，并且偶数项为负，奇数项为正；可表示为，；，．故选：C.18．B【详解】A.集合中元素有0，1，2，错；B.，正确；C.整数集表示为Z，错；D.有理数集表示为{x|x为有理数}，错.故选：B.19．B【详解】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；②中当时不成立，不正确；③中有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；④中集合是有限集，正确，故选：B20．B【详解】解：关于x的方程等价于①，或者②．由题意知，P中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和．，对于方程①，．方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6．而对于方程②，，当时，可知方程②有两相等的实根为3，在集合中应按一个元素来记，故P中元素的和为9；当时，方程②无实根，故P中元素和为6；当时，方程②中，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6，故P中元素的和为12.故选：B．21．D【详解】对于A：{x|是小于18的正奇数}=，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D22．A【详解】、、、分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以，，，，，，，因此，①正确，②③④⑤⑥不正确，故选：A．23．A【详解】当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.24．B【详解】解：{x|，x∈Z}={x|<2x≤4，x∈Z}={x|<x≤2，x∈Z}={0，1，2}，故选：B．25．C【详解】由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2．所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2．故方程的另一根为－1．故选：C．26．C【详解】①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，∴集合A＝{－1，3}．∴－1∈A.故选：C27．C【详解】因集合，，又，则当时，的值有：6，7，8，9，当时，的值有：7，8，9，10，于是得，所以中元素的个数为5.故选：C28．D【详解】因为a∈M，∈M，所以＝－∈M，所以＝∈M，又因为＝a，所以集合M中必同时含有a，－，，这4个元素，由a的不确定性可知，集合M中至少有4个元素．故选：D29．B【详解】解：，，，或，即或.当时，，5，；当时，，3，；当时，，1，不满足互异性，的取值集合为，.故选：.30．C【详解】集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，，经验证，(3，10)∈B.故选：C．31．ABD【详解】选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．32．AB【详解】集合A中只有一个元素，即方程kx2+4x+4=0只有一个根，当k=0时，方程为一元一次方程，只有一个根，当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则=16-16k=0，即k=1，所以实数k的值为0或1.故选：AB33．ACD【详解】对于A：因为，所以，故选项A正确；对于B：因为，所以，故选项B错误；对于C：若与属于同一类，则，，其中，，故选项C正确；对于D：若，设，即，不妨令，，，，，，则，，，所以与属于同一类，故选项D正确；故选：ACD.34．ABC【详解】对于A选项，若，则，根据当时，有，可得，得，可得，故，A对；对于B选项，若，则，则，解得，B对；对于C选项，若，则，即，C对；对于D选项，若，时，此时符合题意，D错.故选：ABC．35．CD【详解】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确；方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误，故选：CD．36．AC由题意可设，，其中，，，，则，，所以加法满足条件，A正确；，当时，，所以减法不满足条件，B错误；，，所以乘法满足条件，C正确；，当时，，所以出发不满足条件，D错误.故选：AC.37．BCD【详解】解：对于，假设集合是“好集”，因为，，所以，这与矛盾，所以集合不是“好集”．故错误；对于，因为，，且对任意的，有，且时，，所以有理数集是“好集”，故正确；对于，因为，但，所以整数集不是“好集”．故正确；因为集合是“好集”，所以，又，所以，即，又，所以，即，故正确．故选：．38．.【详解】（1）是自然数集，所以；（2）是整数集，所以；（3）是有理数集，所以；（4）是实数集，所以；（5）中，所以；（6）=，所以；（7）（2,2）表示点，表示数集，所以；（8）集合中有2个元素，分别是，，所以.故答案为：；；；；；；；39．或解：只有一个元素；方程只有一个解；时，，，满足题意；时，；；解得，；或．故答案为：或．40．1【详解】依题意，分别令，得，此时，不满足互异性；当，得或，检验后，都不满足互异性；当，解得：或，经检验，，成立，所以.故答案为：141．【详解】当时，可得或，若时，则，不合题意；若时，则，符合题意；当，可得或，若，则，不合题意；若，则，不合题意.综上所述：.故答案为：42．∉∉∉【详解】（1）∵∴∉B；∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，∴1＋<，∴1＋B．（2）∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5C．（3）∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，则－1是数，∴－1∉D；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D．故答案为：∉，，∉，，∉，.43．【详解】因为三女相会经过的天数是，，的公倍数，且它们的最小公倍数为，所以三女前三次相会经