新教材2024高考数学二轮专题复习强化训练14空间向量与立体几何-大题备考

强化训练14空间向量与立体几何——大题备考第一次作业1．[2023·河北石家庄三模]如图，在△AOB中，∠AOB＝eq\f(π,2)，OB＝eq\r(3)，OA＝1，C为OB的中点，将△AOB绕OB所在的直线逆时针旋转至△BOD形成如图所示的几何体Γ，∠AOD＝eq\f(2π,3).(1)求几何体Γ的体积；(2)求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．2.[2023·山东淄博三模]在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为10.(1)求棱A1A的长；(2)求平面A1BC1和平面BC1D夹角的余弦值．3.[2023·辽宁沈阳模拟]如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段B1D1上动点．(1)证明：CP∥平面A1BD；(2)当直线BP与平面A1BCD1所成的角正弦值为eq\f(\r(3),6)时，求点D到平面A1BP的距离．4．[2023·山东日照三模]如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，侧面ABB1A1是正方形，且平面A1BC⊥平面ABB1A1.(1)求证：AB⊥BC；(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为eq\f(π,6)，E为线段A1C的中点，求平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小．强化训练14空间向量与立体几何1．解析：(1)根据圆锥的定义易知，几何体Γ为圆锥的一部分，且OB为圆锥的高，所以V＝×S扇形AOD×OB＝×12×＝π；(2)过O点作OM⊥OA，分别以OA，OM，OB所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：A(1，0，0)，C(0，0，)，B(0，0，)，D(－，0)，则＝(－1，0，)，＝(－，0)，＝(－1，0，)，设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以，令y＝3，得n＝(，3，2)，设直线AB与平面ACD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为.2．解析：(1)设A1A＝h，由题设＝＝10；×h＝10，即2×2×h－×2×2×h＝10，解得h＝3，故A1A的长为3.(2)以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系；由已知及(1)，可知D(0，0，0)，A1(2，0，3)，B(2，2，0)，C1(0，2，3)，设平面A1BC1的法向量为n＝(u，v，w)，有n⊥A1B，n⊥C1B，其中A1B＝(0，2，－3)，C1B＝(2，0，－3)，则有，即，解得v＝w，u＝w，取w＝2，得平面A1BC1的一个法向量n＝(3，3，2)；设平面BDC1的法向量为n′＝(x，y，1)，有，其中＝(－2，0，3)，＝(2，2，0)，即，解得x＝，y＝－，得平面BDC1的一个法向量n′＝(，－，1)，故|cos〈n，n′〉|＝＝＝，则平面A1BC1和平面BC1D夹角的余弦值为.3．解析：(1)BD∥B1D1，BD⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，故BD∥平面B1CD1；同理可得：A1B∥平面B1CD1；A1B＝B，且A1B，BD⊂平面A1BD，故平面A1BD∥平面B1CD1；CP⊂B1CD1，故CP∥平面A1BD.(2)如图所示：以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，设P(a，a，2)，a∈[0，2]，D(0，0，0)，设平面A1BCD1的法向量为n1＝(m，n，p)，则，取n＝1得到n1＝(0，1，1)，＝(a－2，a－2，2)，BP与平面A1BCD1所成的角正弦值为：|cos〈n1，〉|＝＝＝，解得a＝1或a＝－3(舍)，设平面A1BP的法向量为n2＝(x，y，z)，则，取y＝1得到n2＝(1，1，1)，则点D到平面A1BP的距离d＝＝＝.4．解析：(1)证明：设A1B＝M，则A1B中点为M，且AM⊥A1B，∵平面A1BC⊥平面ABB1A1且交线为A1B，AM⊂平面ABB1A1，∴AM⊥平面A1BC.∵BC⊂平面A1BC，∴AM⊥BC.又直三棱柱ABCA1B1C1，BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BB1⊥BC.∵AM＝B1，AM，BB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1.∵AB⊂平面ABB1A1，∴AB⊥BC.(2)由(1)知AM⊥平面A1BC，所以直线AC与平面A1BC所成的角为∠ACM＝，AB＝2，AM＝，AC＝2，BC＝＝2，以B为原点分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系，A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，1)，M(0，1，1)，则＝(0，2，0)，＝(1，1，1)，设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则，故可设n＝(1，0，－1)，又因