新教材2024高考数学二轮专题复习强化训练7三角函数与解三角形

强化训练7三角函数与解三角形——大题备考第一次作业1．[2023·全国乙卷]在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．2．[2023·全国甲卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\f(b2＋c2－a2,cosA)＝2.(1)求bc；(2)若eq\f(acosB－bcosA,acosB＋bcosA)－eq\f(b,c)＝1，求△ABC面积．3．△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求角C；(2)若c＝2eq\r(3)，△ABC的面积为2eq\r(3)，求△ABC的周长．4．[2023·山东潍坊二模]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝eq\f(π,2)，∠ACD＝eq\f(π,3)，AD＝eq\r(3)，S为△ABC的面积，且2S＝－eq\r(3)·.(1)求角B；(2)若cosD＝eq\f(1,2)，求四边形ABCD的周长．强化训练7三角函数与解三角形1．解析：(1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，得BC＝.方法一由正弦定理＝，得sin∠ABC＝＝.方法二由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，所以sin∠ABC＝＝.(2)方法一由sin∠ABC＝，得tan∠ABC＝，又tan∠ABC＝＝，所以DA＝，故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°－90°)＝×1×＝.方法二△ABC的面积为AC·AB·sin∠BAC＝×1×2×＝，＝＝＝，故△ADC的面积为S△ABC＝＝.2．解析：(1)由余弦定理知cosA＝，代入＝2，得2bc＝2，故bc＝1.(2)由正弦定理及＝1，得＝1，化简得＝1.∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sinC，∴sin(A－B)－sinB＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB－sinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴－2cosAsinB＝sinB.∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosA＝－.∵A∈(0，π)，∴sinA＝＝.由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bcsinA＝×1×＝.3．解析：(1)∵c＝2cosC(acosB＋bcosA)，∴sinC＝2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)，即sinC＝2cosCsin(A＋B)，∴cosC＝.又0<C<π，所以C＝.(2)由(1)知C＝，由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab·cosC，即12＝a2＋b2－2ab·，∴(a＋b)2－3ab＝12.又S＝ab·sinC＝ab＝2，∴ab＝8，∴(a＋b)2－24＝12，a＋b＝6，∴△ABC周长为a＋b＋c＝6＋2.4．解析：(1)由2S＝－·，在△ABC中得2×AB×BCsinB＝－AB×BCcosB，即sinB＝－cosB，可得tanB＝－，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由cosD＝，D∈(0，π)，所以D＝，