人教版九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析（共四套）

人教版九年级上学期期末考试数学试卷(一)一、精心选一选，相信自己的判断(本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入答题卡中)2.下列各点中，在函数的图象上的是()A.(2,1)B.(-2,1)C.3.二次函数y=ax²+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是()4.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是()A.勾股定理B.直径所对的圆周角是直角C.勾股定理的逆定理D.90°的圆周角所对的弦是直径5.如图，有反比例函数的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积5.如图，有反比例函数’C.4πD.条件不足，无法求6.如图所示，在一边靠墙(墙足够长)的空地上，修建一个面积为640m²的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm,则下列各方程中，符合题意的是()B.是⊙0的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿0→C→D→0的路线匀速运动.设∠APB=y(单位：度),那么y与点P运动的时间x(单位：秒)的关系图是()B.C.D.8.如图，已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙0的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则O0的半径是()A.3B.4C.o.9.如图，已知点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段.在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为√3的线段的概率为()AeF10.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：其中正确的是()在函数图象上，当x₁<x₂时，y₁<y₂二、细心填一填，试试自己的伸手!(本大题共6小题，每小题3分，共18分)a12.已知点A(1,3),0旋转后的对应点是A,是坐标原点，将线段OA绕点0逆时针旋转90°,点A则点A₁的坐标是13.一块△ABC余料，已知AB=5cm,BC=13cm,AC=12cm,现将余料裁剪成一个圆14.在一个不透明的袋子中，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，在这n个球中，红球、白球、黑球至少各有一个，则当n=时，这个事件必然发生.,AB=1,AD=2,将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A,C恰好同时落在反比例函的图象上，得矩形A'B'C′D',则反比例函数的解析式为三、用心做一做，显显自己的能力!(本大题共8小题，满分72分)90°.(1)在图中画出旋转后的图形；(2)若旋转后E点的对应点记为M,点F在BC上，且∠EAF=45°,连接EF.19.已知抛物线y=x²+(2k+1)+k²+1(k是常数)与x轴交于A(xi,0),A(x₂,0)(x₁<x₂)两点.(1)求实数k的取值范围.(2)0为坐标原点，若20.如图，已知反比例函数B(-4,m).(3)若M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)是反比例函数象上的两点，且x₁<x₂,y₁<y₂,指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由.21.4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点0为圆心作⊙0,使⊙0经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙0的位置关系，并说明理由；①求⊙0的半径；②设⊙0与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)23.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的关系可用一条线段上的点来表示(如图1);一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图2).(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润=售价-成本)(2)求图2中表示一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元?24.如图，抛物线y=ax²+c(a≠0)与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点C在x轴正半轴上),△ABC为等腰直角三角形，且面积为4,现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E,其顶点为F,对称轴与x轴的交点为H.(1)求a、c的值.(2)连接OF,试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由.(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E,另一直角边与y轴相交于点P,是否存在这样的点Q,使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.图1图2图1参考答案与试题解析一、精心选一选，相信自己的判断(本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入答题卡中)A.x=1B.x=0C.x₁=-1或x₂=0D.x₁=1或x₂=0【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.【解答】解：方程移项得：x²+x=0,故选C【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.2.下列各点中，在函数图象上的是()A.(2,1)B.(-2,1)C.(2,-2)D.(1,2)【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】反比例函数的比例系数为-2,找到横纵坐标的积等于-2的坐标即可.C、2×-2=-4,不符合题意；D、1×2=2,不符合题意；故选B.【点评】考查反比例函数图象上的点的坐标的特点；用到的知识点为：反比例函数图象上点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数.3.二次函数y=ax²+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是()【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【专题】计算题.【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把(1,1)代入解析式可得到a+b的值，然后计算a+b+1的值.【解答】解：∵二次函数y=ax²+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),故选D.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.4.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是()A.勾股定理B.直径所对的圆周角是直角C.勾股定理的逆定理D.90°的圆周角所对的弦是直径【考点】作图—复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理.【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断.【解答】解：由作图痕迹可以看出0为AB的中点，以0为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆0交于一点C,故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角.【点评】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键.5.如图，有反比例函数的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积,C.4πD.条件不足，无法求【考点】反比例函数图象的对称性；圆的认识.【专题】计算题.6.如图所示，在一边靠墙(墙足够长)的空地上，修建一个面积为640m²的矩长为xm,则下列各方程中，符合题意的是()=640B.【专题】几何图形问题.即可.故选A.是⊙0的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿0→C→D→0的路线匀速运动.设∠APB=y(单位：度),那么y与点P运动的时间x(单位：秒)的关系图是()B.C.D.【考点】动点问题的函数图象.【分析】根据图示，分三种情况：(1)当点P沿0→C运动时；(2)当点P沿C→D运动时；(3)当点P沿D→0运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x(单位：秒)的关系图是哪个即可.【解答】解：(1)当点P沿0→C运动时，当点P在点0的位置时，y=90°,当点P在点C的位置时，∴y由90°逐渐减小到45°;(2)当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得(3)当点P沿D→0运动时，当点P在点D的位置时，y=45°,当点P在点0的位置时，y=90°,∴y由45°逐渐增加到90°.【点评】(1)此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过含义即学会识图.8.如图，已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙0的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则O0的半径是()A.3B.4C.DD.【考点】切线的性质.【专题】压轴题.的值是多少，即可求出⊙0的半径是多少.【解答】解：如图1,连接OD、BD,图1又∵AB=BC,∵DE是⊙0的切线，∴⊙0的半径是；【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.9.如图，已知点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段.在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为√3的线段的概率为(AeB°FDC.)D.【考点】正多边形和圆；勾股定理；概率公式.【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可.【解答】解：连接AF,EF,AE,过点F作FN⊥AE于点N,∵点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为√3的线段有6种情况，则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为√3的线段的概率为：【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键.10.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：③若(xi,y₁)、(x₂,y₂)在函数图象上，其中正确的是()【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征【专题】压轴题.【分析】①函数图象的对称轴为：,所以b=-2a,即2a+b=0;②由抛物线的开口方向可以确定a的符号，再利用图象与x轴的交点坐标以及数形结合思想得出当-1≤x≤3时，y≤0;③由图象可以得到抛物线对称轴为x=1,由此即可确定抛物线的增减性；④由图象过点(3,0),即可得出9a+3b+c=0.【解答】解：①∵函数图象的对称轴为：②∵抛物线开口方向朝上，又∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点为(-1,0)、(3,0),③∵抛物线的对称轴为x=1,开口方向向上，∴若(xi,y₁)、(x₂,y₂)在函数图象上，当1<x₁<x₂时，y₁<yz;当x₁<x₂<1故③错误；④∵二次函数y=ax²+bx+c的图象过点(3,0),【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，难度适中.二、细心填一填，试试自己的伸手!(本大题共6小题，每小题3分，共18分)【考点】解一元二次方程-公式法.【专题】计算题；一次方程(组)及应用.【分析】方程两边除以a²变形后，利用公式法即可所求式子的值即可.【解答】解：方程整理得：故答案为：【点评】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关12.已知点A(1,3),0是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°,点A旋转后的对应点是A₁,则点A₁的坐标是(-3,1).【考点】坐标与图形变化-旋转.【分析】根据点(x,y)绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为(-y,x)解答即可.【解答】解：∵A、A₁两点是绕原点逆时针旋转90°得到的，故答案为：(-3,1).绕【点评】考查由旋转得到的两点的坐标的变换；用到的知识点为：点(x,y)绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为(-y,x).13.一块△ABC余料，已知AB=5cm,BC=13cm,AC=12cm,现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是4Tπcm².【考点】三角形的内切圆与内心.【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，然后利用面积法求得圆的半径，最后利用圆的面积公式求解即可.【解答】解：∵AB=5cm,BC=13cm,AC=12cm,设△ABC的内切圆的半径为rcm,∴圆的最大面积是2π=4π(cm²),【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、勾股定理的逆定理、三角形14.在一个不透明的袋子中，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，在这n个球中，红球、白球、黑球至少各有一个，则当n=7或8或9时，这个事件必然发生.【考点】随机事件.【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念解答即可.【解答】解：当n=1或2时，红球、白球、黑球至少各有一个，是不可能事件，当n=3或4或5或6时，红球、白球、黑球至少各有一个，是随机事件，当n=7或8或9时，红球、白球、黑球至少各有一个，是必然事件，故答案为：7或8或9.不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.15.二次函数y=√3x²的图象如图，点0为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，【考点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征.【专题】压轴题.用含30度的直角三角形三边的关系得OD=√3BD,设BD=t,则OD=√3t,B(t,√3t),利用二次函数图象上点的坐标特征得√3²=√3,解得t₁=0(舍去),t₂=1,则BD=1,OD=√3,然后根据菱形性质得BC=2BD=2,OA=20D=2√3,再利用菱形面积公式计算即可.【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是两条对角线的长度).也考查了二次函数图象上点的坐标特征.9AB=1,AD=2,将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A,C恰好同时落在反比例函的图象上，得矩形A′B'C'D′,数【考点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移.【分析】由四边形ABCD是矩形，得到AB=CD=1,BC=AD=2,根据根据平移的性质,由点A′,AD//x根据平移的性质,由点A′,,将矩形ABCD向右平移m个单位，得到的图象上，得到方程C′在在反比例函数的图象上，得到方程即可求得结果.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∵将矩形ABCD向右平移m个单位，,∵点A’,C′在反比例函数·【点评】本题考查了矩形的性质，图形的变换-平移，反比例函数图形上点的坐标特征，求反比例函数的解析式，掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题的关键.三、用心做一做，显显自己的能力!(本大题共8小题，满分72分)【考点】解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程.【专题】计算题.【分析】把方程的左边分解因式得到(x-2)(x+1)=0,推出方程x-2=0,x+1=0,求出方程的解即可【点评】本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的选择等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键.18.如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°.(1)在图中画出旋转后的图形；(2)若旋转后E点的对应点记为M,点F在BC上，且∠EAF=45°,连接EF.【考点】作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.【专题】作图题；证明题.【分析】(1)在CB的延长线上截取BM=DE,则△ABM满足条件；(2))①由旋转性质得AM=AE,∠MAE=90°,则∠MAF=∠EAF=45°,则可根据“SAS”判断△AMF≌△AEF;②由△AMF≌△AEF得到EF=MF,即ME=BF+MB,加上BM=DE,所以EF=BF+DE,再利用勾股定理计算出DE=3,则CE=3,设EF=x,则BF=x-3,CF=9-x,然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到(9-x)²+3²=x²,然后解方程求出x即可.【解答】(1)解：如图，△ABM为所作；(2)①证明：∵ABCD是正方形，∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM,又∵∠EAF=45°,②解：∵△AMF≌△AEF,设EF=x,则BF=x-3,解EF=5.故答案为5.【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.19.已知抛物线y=x²+(2k+1)+k²+1(k是常数)与x轴交于A(xi,0),A(xz,0)(x₁<x₂)两点.(1)求实数k的取值范围.(2)0为坐标原点，若【考点】抛物线与x轴的交点.【专题】计算题.【分析】(1)根据抛物线与x轴的交点问题可判断方程x²+(2k+1)+k²+1的两个实数解，利用判别式的意义得到△=(2k+1)²-4(k²+1)>0,然后解不等式即可得到k的范围；(2)根据根与系数的关系可k的范围得到x₁+x₂=-(2k+1)<0,x₁·x₂=k²+1>0,则利用有理数的性质可判断x₁<0,x₂<0,则OA=-x₁,OB=-x₂,所以2k+1=k²+1,解得k₁=0,k₂=2,然后根据(1)中k的范围可确定k的值.【解答】解：(1)∵抛物线与x轴有两个交点，(2)根据题意得x₁、x₂是方程x²+(2k+1)+k²+1的两个实数解，且【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.熟练掌握根的判别式的意义和根与系数的关系是解决此题的关键.20.如图，已知反比例函数B(-4,m).(3)若M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)是反比例函数象上的两点，且x₁<x₂,y₁<y₂,指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.可求得k₁=8,则可得到反比例函数解析式，再把B(-4,m)代入反比例函数求得m,得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；(2)由(1)知一次函数y=k₂x+b的图象与y轴的交点坐标为(0,6),可求S△am=(3)根据反比例函数的性质即可得到结果.【解答】解：(1)∵反比例函数函数y=k₂x+b的图象交于点A(1,(2)由(1)知一次函数y=k₂x+b的图象与y轴的交点坐标为C(0,6),(3)∵比例函数的图象位于一、三象限，∴M(x₁,y₁)在第三象限，N(x₂,y₂)在第一象限.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键.21.4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?【考点】利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法.【分析】(1)用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；(2)利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可(3)根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；【解答】解：(1)∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，;不合格不台格含格合格不台格名格合格不名格名楷名格共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，;(3)∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95,∴抽到合格品的概率等于0.95,【点评】本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率.22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点0为圆心作⊙0,使⊙0经过点A和点D.(1)判断直线BC与O0的位置关系，并说明理由；①求⊙0的半径；②设O0与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)【考点】切线的判定；扇形面积的计算.【专题】压轴题.【分析】(1)连接OD,根据平行线判定推出OD//AC,推出OD⊥BC,根据切线的判定推出即可；(2)①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=20D=2r,AB=2AC=3r,从而求得半径r的值；②根据S=S△p-S形求得即可.【解答】解：(1)直线BC与⊙0相切；∴直线BC与⊙0相切.在Rt△ACB中，∠B=30°,(3)在Rt△ACB中，∠B=30°,.元元【点评】本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力.23.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的关系可用一条线段上的点来表示(如图1);一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图2).(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润=售价-成本)(2)求图2中表示一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算一下该QQ(【考点】二次函数的应用.【专题】数形结合.【分析】(1)从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；(2)根据图象特征抛物线的顶点为(6,4),可设抛物线的解析式为Q=a(t-6)²+4,将点(3,1)代入可得出函数解析式.(3)根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润.【解答】解：(1)由图象知：3月份每件商品售价6元，成本1元，故可得，一件商品在3月份出售时的利润为5元.(2)由图知，抛物线的顶点为(6,4),故可设抛物线的解析式为Q=a(t-6)²+4.∵抛物线过(3,1)点，解得故抛物线的解析式为(3)设每件商品的售价M(元)与时间t(月)之间的函数关系式为M=kt+b.∵线段经过(3,6)、(6,8)两点，解得其中t=3,4,5,6,7.故可得：一件商品的利润W(元)与时间t(月)的函数关系式为：W=M-Q=即30000件商品一个月内售完至少获利答：该公司一个月内至少获利110000元.【点评】此题考查了二次函数的应用，及待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第3个问题：表示利润，注意配方法求二次函数最值的应用，难度较大.24.如图，抛物线y=ax²+c(a≠0)与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点C在x轴正半轴上),△ABC为等腰直角三角形，且面积为4,现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E,其顶点为F,对称轴与x轴的交点为H.(2)连接OF,试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由.(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E,另一直角边与y轴相交于点P,是否存在这样的点Q,使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.图2图1图2【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)先求出A(0,c),则OA=c,再根据等腰直角三角形的性质得0A=0B=0C=c,理由三角形面积公式得解得c=2,接着把C(2,0)代入y=ax²+2可(2)如图1,先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2,设F(t,t+2),利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为再(2-t)²+t+2=0,可解得t=6,则平移后的抛物线解析式为,所以F(6,8),利用勾股定理计算出OF=10,接着根据抛物线与x轴的交点问题确定E(10,0),则OE=OF=10,于是可判断△OEF为等腰三角形；(3)分类讨论：当点Q在射线HF上，如图2,利用三角形全等的判定方法，当点坐标为(6,2√21);当点Q在射线AF上，如图3,利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP,设Q(m,m+2),利用两点间的距离公式得到(m-10)²+(m+2)²=10²,解方程求出m的值即可得到Q点坐标.【解答】解：(1)∵抛物线y=ax²+c(a≠0)与y轴交于点A,把C(2,0)代入y=ax²+2得4a+2=0,解得(2)△OEF是等腰三角形.理由如下：如图1,设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(0,2)、B(-2,0)代入得,解得则直线AB的解析式为y=x+2,∵抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，顶点为F,∴平移后的抛物线解析式为∴平移后的抛物线解析式为解得x₁=2,xz=10,(3)存在.点Q的位置分两种情形.情形一：点Q在射线HF上，当点P在x轴上方时，如图2,当点P在x轴下方时，如图3,有PQ=OE=10,过P点作PK⊥HF于点K,则有PK=6,.∴’情形二、点Q在射线AF上，当QE=OE=10时，如图5,过Q作QM⊥y轴于点M,过E点作x轴的垂线交QM于点N.设Q的坐标为为(x,x+2),∴MQ=x,QN=10-x,EN=x+2, 移的规律和三角形全等的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住两点间的距离公式.人教版九年级上学期期末考试数学试卷(二)一、精心选一选，一锤定音.每小题3分，共30分.每小题只有一项是正确的.2.在平面直角坐标系中，点A(1,3)关于原点0对称的点A′的坐标为()3.下列函数中，当x>0时，y的值随x的值增大而增大的是()A.y=-xB.C.y=-x+14.商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”.下列说法正确A.抽10次奖必有一次抽到一等奖B.抽一次不可能抽到一等奖C.抽10次也可能没有抽到一等奖D.抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖若5.如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C′,若AC=1,则图中阴影部分的面积为()C.√3D.3√36.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()A.4或4.8B.3或4.8C.2或4D.1或67.如图，直线AB、AD与⊙0相切于点B、D,C为⊙0上一点，且∠BCD=140°,则∠A的度数是()A.70°B.105°C.100°D.110°9.如图，在O0内有折线OABC,点B、C在圆上，点A在O0内，其中0A=4cm,10.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1,给出下列结果：①b²>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a-b+c<0;⑤3a+c>0;则正确的结论是二、细心填一填，试试自己的身手.每小题3分，共18分.12.一个扇形的弧长是20πcm,面积是240πcm²,则这个扇形的圆心角是13.某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是14.若△ABC的边长均满足关于x的方程x²-9x+8=0,则ABC的周长15.在同一平面直角坐标系内，将函数y=x²-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象的顶点坐标为16.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数三、用心做一做，显显自己的能力.满分72分.17.解下列方程.18.已知关于x的方程x²-2(k-1)x+k²=0有两个实数根x,xz.19.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于E,△BEA旋转后能与△DFA重合.(2)若AE=√6cm,求四边形AECF的面积.20.为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动?21.已知甲同学手中藏有三张分别标有数1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1,3,2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a,b.(1)请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.(2)现制定这样一个游戏规则：若所选出的a,b能使得ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗?请你用概率知识解释.22.如图，以等腰△ABC的一腰AB上的点0为圆心，以OB为半径作圆，O0交底边BC于点D.过D作⊙0的切线DE,交AC于点E.(2)若AB=BC=CA=2,问圆心0与点A的距离为多少时，⊙0与AC相切?23.某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间，每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm²)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长(cm)出厂价(元/张)(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)40cm的薄板，获得的利润是26元(利润=出厂价-成本价).①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱形?若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.参考答案与试题解析一、精心选一选，一锤定音.每小题3分，共30分.每小题只有一项是正确的.A.x=2B.x=-2C.x₁=2,x₂=-2【考点】解一元二次方程-直接开平方法.【分析】先移项，然后利用数的开方解答.【解答】解：移项得x²=4,开方得x=±2,故选C.【点评】(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x²=a(a≥0),ax²=b(a,b同号且a≠0),(x+a)²=b(b≥0),a(x+b)²=c(a,c同号且a≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”;(2)运用整体思想，会把被开方数看成整体；(3)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.2.在平面直角坐标系中，点A(1,3)关于原点0对称的点A′的坐标为()A.(-1,3)B.(1,-3【考点】关于原点对称的点的坐标.【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案.【解答】解：点A(1,3)关于原点0对称的点A'的坐标为(-1,-3).【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.3.下列函数中，当x>0时，y的值随x的值增大而增大的是()【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质.【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质进行解答即可.【解答】解：A、∵y=-x²,∴对称轴x=0,当x>0时，y随着故本选项错误；B、∵反比例函数,k=-1<0,∴当x>0时y随x的增大而增大，故本C、∵k<0,∴y随x的增大而减小，故本选项错误；D、∵k>0,∴y随着x的增大而增大，故本选项错误.故选B.【点评】本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，主要掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性(单调性),是解题的关键，是一道难度中等的题目.4.商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”.下列说法正确A.抽10次奖必有一次抽到一等奖B.抽一次不可能抽到一等奖C.抽10次也可能没有抽到一等奖D.抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖【考点】概率的意义.【分析】根据概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可.【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为0.1”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现.5.如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C′,若AC=1,则图中阴影部分的面积为()【考点】解直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质.【专题】计算题.【分析】根据旋转的性质可得AC'=AC,∠BAC′=30°,然后利用∠BAC′的正切求出C'D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解.故选B.【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的两直角边相等，锐角等于45°的性质，是基础题，难度不大.6.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()A.4或4.8B.3或4.8C.2或4D.1或6【考点】相似三角形的判定.【专题】动点型.【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC可求运动的时间是3秒或4.8秒.【解答】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8漏解；还要注意运用方程思想解题.7.如图，直线AB、AD与⊙0相切于点B、D,C为⊙0上一点，且∠BCD=140°,则∠A的度数是()A.70°【考点】切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质.【分析】过点B作直径BE,连接OD、DE.根据圆内接四边形性质可求∠E的度数；根四边形内角和定理求解.【点评】此题考查了切线的性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识点，难度中等.连接切点和圆心是解决有关切线问题时常作的辅助线.【考点】根与系数的关系.最后，代入求值即可.故选A.【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.9.如图，在⊙0内有折线OABC,点B、C在圆上，点A在⊙0内，其中0A=4cm,【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理.【专题】计算题.【分析】延长A0交BC于D,过0作BC的垂线，设垂足为E,根据∠A、∠B的的长；在Rt△ODE中，根据∠ODE的度数，可得出OD=2DE,进而可求出x的值.【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用.解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得.10.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1,给出下列结果：①b²>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a-b+c<0;⑤3a+c>0;则正确的结论是【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】由抛物线与x轴的交点个数，可判断b²-4ac;由开口方向、对称轴的位置以及与y轴的交点，可判断a,b,c的符号；由对称轴可求得a与b的关系；由x=1时，y=a+b+c,x=-1时，y=a-b+c,可分别判断其符号.【解答】解：①∵二次函数y=ax²+bx+c与x轴有两个交点，②∵开口向上，∵交于y轴的负半轴，∴a+2a+c=3a+c>0;故正确.故选D.【点评】此题考查了二次函数的系数与图象的关系.注意熟练掌握各判定方法，准确认识图形是关键.二、细心填一填，试试自己的身手.每小题3分，共18分.过解新方程可以求得a的值.故答案是：1.【专题】计算题.【解答】解：扇形的面积公9故答案为：150.出圆心角.双双13.某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好·【考点】列表法与树状图法.式求出该事件的概率.【解答】解：由树状图可知共有3×2=6种可能，选看的2场恰好都是乒乓球比赛的有2种，所以概率的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.14.若△ABC的边长均满足关于x的方程x²-9x+8=0,则ABC的周长是或17.【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系.【专题】计算题.【分析】利用因式分解法解方程得到x₁=1,x₂=8,然后分类讨论：当三角形三边都是1时，当三角形三边都是8时，当三角形三边为8、8、1时，再分别计算对应的周长即可.当三角形三边都是1时，三角形的周长为3;当三角形三边都是8时，三角形的周长为24;当三角形三边为8、8、1时，三角形的周长为17,所以ABC的周长为3或24或17.故答案为3或24或17.【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了三角形三边的关系.15.在同一平面直角坐标系内，将函数y=x²-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象的顶点坐标为(2,-4)【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】根据函数图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得答案.【解答】解：将函数y=x²-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新函数解析式为y=(x-2)²-3-1,其顶点坐标为(2,-4),故答案为：(2,-4).【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式.16.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数第二象限的点B在反比例函数【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】过A作AN⊥x轴于N,过B作BM⊥x轴于M.设A由点A在反比例函数上可得0N·AN=√6,由再证明进而可得然后再利进而可得然后再利9,用反比例函数图象上点的坐标特点可得【解答】解：过A作AN⊥x轴于N,过B作BM⊥x轴于M.∵第一象限内的点A在反比例函数y的图象上，又∵第二象限的点B在反比例函数·【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于k.三、用心做一做，显显自己的能力.满分72分.17.解下列方程.【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.【专题】计算题.【分析】(1)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；(2)先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程.【解答】解：(1)3x²-7x=0,; ,【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了公式法解一元二次方程.18.已知关于x的方程x²-2(k-1)x+k²=0有两个实数根x,x₂.【考点】根与系数的关系；根的判别式.【专题】计算题.【分析】(1)方程有两个实数根，可得△=b²-4ac≥0,去绝对值去绝对值号结合等式关系，可得出k的值.【解答】解：(1)由方程有两个实数根，可得(2)依据题意可得，x₁+x₂=2(k-1),x₁·x₂=k²,事事解得k₁=1(舍去),k₂=-3,答：(1)k的取值范围是(2)k的值是-3.【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关19.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于E,△BEA旋转后能与△DFA重合.【考点】旋转的性质.【分析】(1)根据旋转的性质直接填空得出即可；(2)根据垂直的定义可得∠AEB=∠AEC=90°,根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ADF和△ABE全等，根据全等三角形对应角相等面积公式列式计算即可得解.点逆(或顺)时针旋转90度(或270度)能与△DFA逆(或顺);90(或270度);方形是解题的关键.京京20.为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动?【考点】一元二次方程的应用【专题】阅读型.【分析】先要根据付给旅行社的费用来判断这次春游人数的大致范围.然后根据相应范围的不同的费用基数按方法来列出方程，求出符合题意的值.【解答】解：*25人的费用为2500元<2800元∴参加这次春游活动的人数超过25人.设该班参加这次春游活动的人数为x名，根据题意得[100-2(x-25)]x=2800当x₁=40时，100-2(x-25)=70<75,不合题意，舍去.当x₂=35时，100-2(x-25)=80>75,符合题意.答：该班参加这次春游活动的人数为35名.【点评】可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.本题中根据工费用判断人数的大致范围是解题的基础.21.已知甲同学手中藏有三张分别标有数1的卡片，乙同学手中藏有,三张分别标有1,3,2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a,b.(1)请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.(2)现制定这样一个游戏规则：若所选出的a,b能使得ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗?请你用概率知识解释.)甲乙)甲乙【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法.【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的(2)利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平.【解答】解：(1)画树状图得：、、、、、2)、(1,1)、(1,3)及(1,2),∴(a,b)取值结果共有9种；b=1时，△=b²-4ac=-1<0,b=3时，△=b²-4ac=7>0,此时ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，b=2时，△=b²-4ac=2>0,此时ax²+bxb=1时，△=b²-4ac=0,此时ax²+bx+1=0有两个相等的实数根，,b=3时，△=b²-4ac=8>0,此时ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，当b=2时，△=b²-4ac=3>0,此时ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=1,b=1时，△=b²-4ac=-3<0,此时ax²+bx+1=0无实数根，当a=1,b=3时，△=b²-4ac=5>0,此时ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=1,b=2时，△=b²-4ac=0,此时ax²+bx+1=0有两个相等的实数根，,∴这样的游戏规则对甲有利，不公平.【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.22.如图，以等腰△ABC的一腰AB上的点0为圆心，以OB为半径作圆，Q0交问圆心0与点A的距离为多少时，⊙0与AC相切?【考点】切线的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质.【专题】计算题；证明题.【分析】(1)连接OD,由切线性质求出OD⊥DE,根据等腰三角形性质求出【解答】(1)证明：连接OD,∵DE切⊙0于D,(2)解：过0作OF⊥AC于F,设AF=x,综合性比较强.23.某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间，每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm²)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长(cm)出厂价(元/张)(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)40cm的薄板，获得的利润是26元(利润=出厂价-成本价).①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?【考点】一次函数的应用.【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；(2)①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx²元，由题意，得：p=y-mx²,进而得出m的值，求出函数解析式即可；②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可.【解答】解：(1)设一张薄板的边长为xcm,它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n.所以y=2x+10;(2)①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx²元，由题意，得：将x=40,p=26代入p=2x+10-mx²中得26=2×40+10-m×40².解得所以②因为(在.5~50之间)时，即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元.【点评】本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱形?若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；(2)由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；(3)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.【解答】解：(1)将B、C两点的坐标代入得所以二次函数的表达式为：y=x²-2x-3(2)存在点P,使四边形POP'C为菱形； , (不合题意，舍去),(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x²-2x∴直线BC的解析式为y=x-3,则Q点的坐标为(x,x-3);当0=x²-2x-3,此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积的最大值为【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解.人教版九年级上学期期末考试数学试卷(三)一、选择题1、下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()3、把抛物线y=(x-1)²+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛4、下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径.其中正确的个数是()5、如图，底边长为2的等腰Rt△ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点0逆时针旋转45°得到△OA₁B₁,则点A₁的坐标为()6、如图，点A、C、B在Q0上，已知∠AOB=∠ACB=a.则α的值为()7、如图，⊙0的半径为5,点0到直线1的距离为7,点P是直线1上的一个动点，PQ与⊙0相切于点Q,则PQ的最小值为()8、关于x的函数y=k(x+1)和DD、是抛物线y=-x²+4x+k上的三点，则10、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论：④当x>2时，y随x的增大而减小.A、1个D、4个二、填空题：每小题3分，共18分.11、用配方法解方程x²-2x-7=0时，配方后的形式为.逆时针旋转42°,得到△AB'C′,点C′恰好落在边AB上，连接BB′,则∠B′BC′的大小为13、如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A,△PAO的面积为5,则k的值为.图中阴影部分的面积是15、如图，一次函数y=k₁+b与反比例函数的图象相交于A(-1,2)、B(2,-1)两点，则y<y₁时，x的取值范围是.y轴分别交于M、N两点，⊙0的半径为2,将②0以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间秒时，直线MN恰好与圆相切.三、解答题：共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE.19、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,3)、B(3,3)、C(4,2).(1)请在图中作出经过点A、B、C三点的⊙M,并写出圆心M的坐标；(2)若D(1,4),则直线BD与QMB、相交.20、在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球(除颜色外其余均相同),其中白球、黄球各1个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是(2)先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色放回，再从暗箱中随机摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率.21、已知关于x的方程x²-2(k+1)x+k²=0有两个实数根x₁、x₂(1)求k的取值范围；的外接圆，圆心0在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E,过点C作⊙0的切线，交ME于点F.23、某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为40元/件.销售结束后，得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系：P=-2x+120(1≤x≤30,且x为整数);销售价格Q(元/件)与销售时间x(天)之间有如(1)试求出该商店日销售利润w(元)与销售时间x(天)之间的函数关系式；(2)在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小?并分别求出这个最大利润和最小利润.24、如图，已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,且0C=OB.(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最(3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标.答案解析部分【考点】轴对称图形D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【答案】B【考点】解一元二次方程-直接开平方法【分析】首先把常数项9移到方程的右边，再两边直接开平方即可.的顶点坐标为(1,2),∴向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，顶点坐标为(0,0),∴平移后抛物线解析式为y=x².【分析】已知抛物线的顶点坐标为(1,2),向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，顶点坐标为(0,0),根据抛物线顶点式求解析式.【答案】C【考点】垂径定理，确定圆的条件，切线的性质，三角形的内切圆与内心圆的切线垂直于经过切点的半径，所以④正确.角形内心的性质对③进行判断；根据切线的性质对④进行判断.【答案】B【考点】坐标与图形变化-旋转∴点A₁的坐标为(1,-1).【分析】A₁B₁交x轴于H,如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB=45°,再利用旋转的性质得A₁B₁=AB=2,∠1=45°,∠OA₁B₁=45°,则∠2=45°,于是可判断0HLAB,,则根据等腰直角三角形的性质得到,然后写出点A₁的坐标.【答案】B【考点】圆周角定理∴优弧所对的圆心角为2a【分析】先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”,再运用周角360°即可解.【答案】C【考点】切线的性质【解析】【解答】解：∵PQ切⊙0于点Q∵点0到直线1的距离为7,:PQ的最小值=【分析】由切线的性质得出△OPQ是直角三角形.由0Q为定值，得出当OP最小时，PQ最小.根据垂线段最短，知OP=7时PQ最小.根据勾股定理得出结果即【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象经过第一、二、三象限，故A、C错误；数项可得一次函数图象经过的象限.【答案】C【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A(3,y₁),B(5,y₂),C(-2,y₃)分别代入二次函数的关系式，分别求得y₁,y₂,y₃的值，最后比较它们的大小即可.【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线∴b=-4a,即4a+b=0,(故①正确);即9a+c<3b,(故②正确);∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),对称轴为直线x=2,∴抛物线与x轴的一个交点为(5,0),∴25a+5b+c=0,(故③正确),∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=2,故选D.【分析】根据抛物线的对称轴为直线,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0,则9a-3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=5时，y=0,则25a+5b+c=0,再根据抛物线开口向下，由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时，y随x的增大而减小.二、<b>填空题：每小题3</b><b>分，共18</b><b>分.</b>【答案】(x-1)²=8【考点】解一元二次方程-配方法【分析】将常数项移至右边，根据等式性质左右两边配上一次项系数一半的平方，再写成完全平方形式即可.【考点】旋转的性质【解析】【解答】解：“把△ABC绕点A逆时针旋转42°,得到△AB'C′,点C恰好落在边AB上，故答案为：69°.【分析】由旋转的性质可知AB=AB′,∠BAB′=42°,接下来，依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B′BC′的大小.【答案】-10【考点】反比例函数系数k的几何意义【分析】由△PAO的面积为5可得而可以确定k值.【答案】5π【考点】翻折变换(折叠问题)再结合图象经过的是第二象限，从【解析】【解答】解；如图，作OD⊥AB于点D,连接A0,BO,CO,∴阴影部分的面积=S【分析】作OD⊥AB于点D,连接A0,B0,CO,求出∠OAD=30°,得到∠AOB=2∠AOD=120°,进而求得∠AOC=120°,再利用阴影部分的面积=Sα求【答案】x<-1或0<x<2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：由图象可知，当-1<x<0或x>3时，yi<y₂故答案为x<-1或0<x<2.【分析】根据一次函数与反比例函数图象的交点、结合图象解答即可.【考点】直线与圆的位置关系，平移的性质【解析】【解答】解：作EF平行于MN,且与⊙0切，交x轴于点M,交y轴于点N,如图所示.设直线MN的解析式为y=x+b,即x-y+b=0,∵MN与⊙0相切，且⊙0的半径为2,∴点M(4,0).∵根据运动的相对性，且⊙0以每秒1个单位的速度向右作平移运动，【分析】作EF平行于MN,且与O0切，交x轴于点M,交y轴于点N,设直线MN的解析式为y=x+b,由⊙0与直线MN相切依据点到直线的距离即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次