微积分 第七版 课件 5.4 定积分换元积分法则

1第四节

定积分换元积分法则本节学习目标010203理解定积分运用换元法则的注意事项掌握奇函数在对称区间上的定积分值掌握定积分换元积分法则能熟练利用换元法计算定积分04一、定积分换元积分法则

对应于不定积分第二换元积分法则,有定积分换元积分法则,它是计算定积分的一种重要方法.1.定积分换元积分法则内容

32.定积分换元积分法则证明证:由于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,从而函数f(x)在闭区间[a,b]上存在原函数,设函数F(x)为f(x)在闭区间[a,b]上的一个原函数,根据§5.3牛顿-莱不尼兹公式,有定积分

由于函数F(x)为f(x)在闭区间[a,b]上的一个原函数,从而有微分dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx4根据§2.7定理2.4关于微分形式不变性的结论,当变量x不是自变量而是中间变量,即变量x为自变量t的函数x=φ(t)时,同样有微分dF(x)=f(x)dx即有dF(φ(t))=f(φ(t))dφ(t)因而得到一阶导数(F(φ(t)))'=f(φ(t))φ'(t)=f(φ(t))φ'(t)dt5这说明函数F(φ(t))为f(φ(t))φ'(t)的一个原函数.根据§5.3牛顿-莱不尼兹公式,有定积分

所以得到定积分

63.定积分换元积分法则说明：

换限时要注意:换元后的积分下限对应于换元前的积分下限,换元后的积分上限对应于换元前的积分上限;在换元前的积分下限小于换元前的积分上限的情况下,换元后的积分下限不一定小于换元后的积分上限.7这样将原积分变量为变量x的定积分化为新积分变量为变量t的定积分当变量代换后的原函数解出后,不必将原函数表达式中的变量t用φ-1(x)代回,只要变量t分别用换元后的积分上限、积分下限代入得到的原函数值相减,就得到所求定积分的值.定积分换元积分法则可以概括为:既换元又换限.84.定积分换元积分法则举例

则可以令变量

即作变量代换

同时换限,根据§5.3牛顿-莱不尼兹公式求得结果9例1

所以定积分

10

=2[(2-ln3)-0]=4-2ln3例2

所以定积分

11

12例3

所以定积分

13

=3(ln3-0)=3ln314例4

15

因此定积分

此题答案为：（b）16二、奇函数的定积分已知函数f(x)在关于原点的对称闭区间[-a,a](a>0)上连续,如果函数f(x)为奇函数,则定积分1.定理5.4

172.奇函数的定积分证明证:根据§5.1定积分基本运算法则5,定积分

当x=-a时,t=a,当x=0时,t=0.再根据§5.1定积分基本运算法则3,定积分

18又根据§5.1定理5.1关于定积分与积分变量记号无关的结论,将积分变量记号t改写为x,因而定积分

因此得到定积分

19由于函数f(x)为奇函数,从而有关系式f(-x)=-f(x),所以定积分

=020例5

解:注意到积分区间[-1,1]是关于原点的对称闭区间,这时应该首先考察被积函数f(x)=x3cosx的奇偶性由于关系式f(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cosx=-f(x)21说明被积函数f(x)=x3cosx为奇函数因此所求定积分

例6证明:定积分