2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2022年3月含解析及考点卡片）

2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2022年3月）

一、选择题（共10小题）

2

1.（2022•市南区校级开学）在RtAABC中，ZC=90°,若sinA=—,则cosA=()

3

A.姮巫C.正

B.D

323T

4

2.（2022•安庆模拟）在RtAABC中,ZC=90°,tanA=—,则sin3的值为（）

3

。3

A.B.-C.-D.

5534

3.（2021秋•市中区期末）若锐角a满足tana=6，则角a=（)

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.（2021秋•启东市期末）如图，在平面直角坐标系X。），中，AB=2M，连结AS并延长

tana=3,则点。的坐标为（）

39D.(一|,§

c(-屋N

（秋•亳州期末）如图，在中，若AB=1O,则

5.2021RtAABCtanA=LAABC的面积为（

2

)

A.20B.15C.3y/5D.46

6.（2021秋•亳州期末）在RtAABC中,ZC=90°,AB=4,AC=2f则sinA的值为（

A.73BD.2

-;2

4

7.（2020•越秀区校级二模）如图，RtAABC中，ZC=90°,若tanB=—,则sinA=()

3

A

8.（2020•宜州区三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是I,A/WC的顶

点均在小正方形的顶点上，则sinNfi4c的值为（）

9.AABC中，a,b,c分别是N4,ZB,NC的对边，如果NC=90。，那么下列结论正

确的是（）

A.csinA=aB.hcosB=cC.atanA=Z>D.ctanB=b

10.把AABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值（）

A.不变B.缩小为原来的1

3

C.扩大为原来的3倍D.不能确定

二、填空题（共7小题）

11.（2022•亭湖区校级开学）某人沿着坡度i=l：G的山坡起点向上走了40米，则他离地

面一米高.（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）

12.（2022•鲤城区校级开学）若a为锐角，Ksin2a+cos226°=1,贝Ua=°.

13.（2022•高州市校级开学）在RtAABC中，ZC=90°,NA、ZB、NC的对边分别为a、

b、c,且c=3a,则tanA的值为.

14.（2021秋•潍坊期末）如图，/4BC=NBD4=90°,下列线段比值等于cosA的

是

15.（2021秋•沐川县期末）已知Z4为锐角，cosA=2，则N4的度数是

2

16.（2021秋•莱阳市期末）如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD,

8C与桌面构成如图2,已知OA=OB=OC=OQ=206C/M,ZCOD=60°,则点A到地面

（CO所在的平面）的距离是cm.

三、解答题（共8小题）

18.（2022•亭湖区校级开学）计算：6tan30o-cos45°sin60°.

19.（2022•沙坪坝区校级开学）某沿海城市O,每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种

自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力.某次，

据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风

中心W9千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东45。方向向

3

3处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力超过6级，则称受台风影响.

（1）若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到。处），那么受

到台风影响的最大风力为几级？

（2）求该城市O到A处的距离.

（注：结果四舍五入保留整数，参考数据：友=1.4,73«1.7）

20.（2021秋•莱阳市期末）一种手机平板支架由托板、支撑板和底座构成.如图1所示，

手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，托板他长为120%〃，支撑板8长为

40&m,托板钻固定在支撑板顶点C处，且CB=40mm,托板他可绕点C转动，支撑

板8可绕点。转动，ZCDE=60°.

（1）当N£X%=75。时，求点A到直线£）E■的距离；

（2）为了观看舒适，把（1）中NDCB=75。调整为90。，再将8绕点。顺时针旋转，使

点8落在直线。E上即可，则8旋转的角度为一.（直接写出结果）

A

图1图2备用图

21.（2021春•丽水月考）如图，某水库大坝的横截面是梯形，其迎水坡4）的坡比为4:3,

背水坡BC的坡比为1:2,大坝的高为20m,坝顶CD的宽为10m.求大坝横截面的周长.

22.（2020•利辛县模拟）如图所示，阿进站在河岸上的G点，看见河里有一小船C沿垂直

于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯角是47X7=30。.若阿进的眼睛与地面的距

离是16”，3G=0.7，〃，3G平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度G=4:3,坡长钻=8，〃，

点A,B,C,D,F,G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离C4的长约为多

少米？（参考数据：6=1.732,结果精确到0.01）

23.求直角三角形（1）（2）中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

24.在RtAABC中，ZC=90°,AC=\,sinA=—,求tanA,BC.

2

25.在RtAABC中，ZC=90°,AB=10,AC=5^,解这个三角形.

2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2022年3月）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1.（2022•市南区校级开学）在RtAABC中，ZC=90°,若sinA=±,则cosA=（）

3

.V13713「石门亚

A•-----DR.-----•----U.----

3232

【答案】C

【考点】同角三角函数的关系

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】根据si/A+cos2A=1,进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：

sin2A+cos2A=1,

2一45

99

4亚

：.cosA=——，

3

故选：C.

【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握si/A+cos24=l是解题的关键.

2.（2022•安庆模拟）在RtAABC中，ZC=90°,tanA=1,贝UsinB的值为（）

3443

A.-B.-C.-D.-

5534

【答案】A

【考点】互余两角三角函数的关系

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】根据题意设3c=々，，AC=3a,然后利用勾股定理求出反，最后利用锐角三角

函数的定义进行计算即可解答.

4

【解答】解：在RtAABC中，NC=90。，tanA=-,

3

.•.5=生）

AC3

设8C=4a,AC=3a,

AB=4AC1+BC2=J(3a)2+(4a)2=5a,

.nAC3。3

sinB=----=—=一，

AB5a5

故选：A.

【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

3.(2021秋•市中区期末)若锐角a满足tanc=g,则角a=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【考点】特殊角的三角函数值

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可解答.

【解答】解：若锐角a满足tana=G,则角a=60。，

故选：C.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

4.(2021秋•启东市期末)如图，在平面直角坐标系X。)，中，48=2加，连结4?并延长

至C,连结OC,若满足OC?=3C-AC,tana=3,则点C的坐标为()

3。515

A.(-2,6)B.(-3⑼C.-)D.—)

4434

【答案】C

【考点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】过点C作CD_Lx轴，垂足为。，根据已知易证△CBO-AC4O,从而可得

NCOD=ZABO=a,然后在RtAAOB中

求出AO与80的长，最后证明A&4*AC4r),利用相似三角形的性质即可解答.

【解答】解：过点C作轴，垂足为。，

vOC-=BCAC,

PCAC

~BC~~OC

・・・ZACO=ZBCO,

:.ACBO^ACOA,

:.ZCAO=ZCOB,

・・・NCO3+NCW=90。，NC4O+NAHO=90。，

/COD=ZABO=a，

・.・tana=3,

A(~)

.-.tanZABO=—=3,

BO

AO=380.

在RtAABO中，AO?+BO2=AB2,

.■.9BO2+BO2=40,

/.BO=2，

.•.40=380=6,

o

在RtACDO中，tana=—=3,

DO

:.CD=3DO,

•・・NCDO=ZBO4=90。，ZBAO=ZCAD,

:.^BAO^\CAD,

.OBAO

CD-AD，

26

-3DO~6-^-OD1

3

:.OD=-

4

9

.\CD=30D=-

4

39

••D(-4,4b

故选：c.

【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质

是解题的关键.

5.(2021秋•亳州期末)如图，在RtAABC中，若tanA=1,AB=}0,则AA8C的面积为(

)

A.20B.15C.375D.4非

【答案】A

【考点】解直角三角形；三角形的面积

【专题】计算题；应用意识；解直角三角形及其应用

【分析】先利用勾股定理、tanA求出AC、BC,再求三角形的面积.

【解答】解：,.,tanA="^=L

AC2

BC=-AC.

2

BC2+AC2=AB2,

.■.(-AC)2+AC2=102.

2

5,

：.-AC2=100.

4

AC2=80.

AC=4A/5,BC=275.

••S11Alic=2'BC,AC

=1x2石x4石

2

=4x(右)2

=4x5

=20.

故选：A.

【点评】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理等知识点，掌握直角三角形的边角间关系、

三角形的面积公式是解决本题的关键.

6.(2021秋•亳州期末)在RtAABC中，ZC=90°,AB=4,AC=2,贝UsinA的值为(

)

A.GB.-C.—D.—

222

【答案】D

【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】先利用勾股定理求出BC,再利用锐角三角函数进行计算即可解答.

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90%AB=4,AC=2,

BC=^AB2-AC2=V42-22=2百，

,BC2y/3y/3

..sinAA==-----=—,

AB42

故选：D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦,

正切是解题的关键.

7.(2020•越秀区校级二模)如图，RtAABC中，ZC=90°,若tanB」，贝UsinA=()

3

【答案】B

【考点】互余两角三角函数的关系

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanB=4C=3,设AC=4x,BC=3x,根据勾股

BC3

定理求出川，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可.

【解答】解：,.•tanB=J^=d,

BC3

.•.设AC=4x,BC=3x,

由勾股定理得：AB=JAC?+BC?=J(4X)2+(3xC=5x,

,BC3x3

sinAA=---=—=一,

AB5x5

故选：B.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点,

能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键.

8.（2020•宜州区三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1,A48C的顶

点均在小正方形的顶点上，贝ijsin/fi4c的值为（）

【答案】B

【考点】解直角三角形

【专题】计算题；推理能力；运算能力；等腰三角形与直角三角形

【分析】过点。作CD_LAB,垂足为O,用勾股定理得，AC=5,再根据三角函数定义求

出sinN84c的值.

【解答】解：过点。作垂足为。，

在RtAADC中，根据勾股定理得，AC=5,

4

/.sinZBAC=—,

5

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理、三角函数定义的应用是解题关键.

9.AABC中，a,h,c分别是NA,ZB,NC的对边，如果NC=90。，那么下列结论正

确的是（）

A.csinA=aB.ftcosB=cC.atanA=bD.ctanB=b

【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：A、•.•NC=90。，

sinA=—,

c

:.a=csinA，

故A符合题意；

B、vZC=90°,

b

/.sinB=—,

c

b

c=------,

sin8

故3不符合题意；

C、vZC=90°,

a

.'.tanA=—f

h

,a

b=-------,

tanA

故。不符合题意；

D、vZC=90°,

._b

sinB=一,

c

:.b=csinB，

故力不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解

题的关键.

10.把A4BC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值（）

A.不变B.缩小为原来的上

3

C.扩大为原来的3倍D.不能确定

【答案】A

【考点】解直角三角形

【专题】数感；运算能力；计算题；等腰三角形与直角三角形

【分析】根据扩大后的锐角A的度数不变，从而得出锐角A的正切值不变.

【解答】解：•.•AABC三边的长度都扩大为原来的3倍，锐角A的度数不变，

，锐角A的正切值不变；

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义及应用是解题关键.

二、填空题（共7小题）

11.（2022•亭湖区校级开学）某人沿着坡度i=l：G的山坡起点向上走了40米，则他离地

面20米高.（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）

【答案】20.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】根据斜坡的坡度求出坡角，根据直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：设斜坡的坡角为a,

•.■斜坡的坡度为1:6,

18

.tanct-—=—,

G3

.-.a=30°,

,他离地面的高度为：1x40=20（米），

2

故答案为：20.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度

和水平宽度/的比是解题的关键.

12.（2022•鲤城区校级开学）若a为锐角，且sinn二+cos?26。=1,则a=26。.

【答案】26.

【考点】同角三角函数的关系

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】根据si/a+cos2a=1,即可解答.

【解答】解：•jsin2a+cos2a=1,sin2a+cos226°=I,

/.a=26°,

故答案为：26.

【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握sin?a+cos2a=1是解题的关键.

13.（2022•高州市校级开学）在RtAABC中，ZC=90°,NA、ZB、NC的对边分别为a、

b、c,且c=3a,则tanA的值为—.

一4一

【答案】也.

4

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】利用勾股定理先求出6的长，然后再利用锐角三角函数进行计算即可解答.

【解答】解：在RtAABC中，NC=90。，c=3a,

b-ylc2—a2—y］（3a）2—a2—2亚a,

aay/2

二.tanA=-=—-=f

b2V2a4

故答案为：-

4

【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题

的关键.

14.（2021秋•潍坊期末）如图，NABC=/BD4=90°,下列线段比值等于cosA的是C、

。

一

ABD

sAB

B-C

AB

cB-D

BC

AB

D一

Ac

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】C、D.

【分析】根据余弦等于邻边比斜边，可得答案.

【解答】解：A、在中，COSA=ED,故本选项错误，不符合题意；

AB

B、在RtAABC中，COSA=£^,故本选项错误，不符合题意；

AC

C、在RtZ\8C£>中，cosA=cos/£»BC=辿，故本选项正确，符合题意；

BC

。、在RtZSABC中，cosA=3殳，故本选项正确，符合题意；

AC

故选：C、D.

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.在直角三

角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

15.（2021秋•沐川县期末）已知NA为锐角，cosA=-,则的度数是60°.

2——

【答案】60°.

【考点】特殊角的三角函数值

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答.

【解答】解：已知为锐角，cosA=1,则的度数是60。，

2

故答案为：60°.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

16.（2021秋•莱阳市期末）如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD,

8c与桌面构成如图2,已知。4=O8=OC=OD=20>/5CW,ZCO£>=60°,则点A到地面

AB

（C£＞所在的平面）的距离是60cm・00"

【答案】60.

【考点】解直角三角形的应用

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】连接8,过点A作AE_LCD,垂足为E,先证明△C8是等边三角形，从而求

出N8C=6O。，然后在RtAAED中，利用锐角三角函数进行计算即可解答.

【解答】解：连接8,过点A作AE,CD,垂足为£,

.OC=OD,NC8=6O。，

ACOD是等边三角形，

.-.ZODC=60°,

在RtAAED中，AO=OA+OD=40V5C”?,

AE=ADsin60°=4（X/3x=60（c/«）,

2

.•.点A到地面（CQ所在的平面）的距离是60c7〃，

故答案为：60.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

17.在RtAABC中，ZC=90°,tanA=—,则sin3的值为—.

3—2―

【答案】—.

2

【考点】互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值

【专题】运算能力：解直角三角形及其应用

【分析】根据特殊角的三角函数值得出NA=30。，求出4=60。，再根据特殊角的三角函

数值求出答案即可.

【解答】解：・.・lan4=且，

3

/.ZA=30°,

vZC=90°,

.\ZB=90o-ZA=60°,

sinB=sin60°=—,

2

故答案为：且.

2

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和互余两角的三角函数关系，能熟记特殊角的三角

函数值是解此题的关键.

三、解答题（共8小题）

18.（2022•亭湖区校级开学）计算：6tan300-cos45°sin60°.

【答案】26-旦.

4

【考点】特殊角的三角函数值

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答.

【解答】解：6tan30°-cos45°sin60°

人百近百

=6x-------------x-

322

=26-亚.

4

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关犍.

19.（2022•沙坪坝区校级开学）某沿海城市O,每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种

自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力.某次，

据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风

中心变千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东45。方向向

3

8处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力超过6级，则称受台风影响.

（1）若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到。处），那么受

到台风影响的最大风力为几级？

（2）求该城市。到A处的距离.

（注：结果四舍五入保留整数，参考数据：&=1.4,>/3«1.7）

【答案】（1）6.9级；

（2）238千米.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】（1）过点。作OE_LAB于点E,由题意得OC=200千米，CE=100千米，可得

（处=170千米，根据风力的计算方法可得答案；

（2）由（1）得，OE=170千米，根据等腰直角三角形的性质可得。4的长.

【解答】解：（1）过点。作OEL他于点£,

由题意得，台风中心到点C时，风力达到6级,

即00=39x（12-6）=200（千米）,

•.•该城市受此次台风影响共持续了10小时,

,-.CD=20xl0=200（千米），CE=-CD=\OO（千米），

2

OE=yj0C2-CE2=>/2002-1002=100^（千米），

台风中心到达点£时的风力为12-10（）6+股=6.9（级）,

3

答：受到台风影响的最大风力为6.9级；

（2）♦.,ZA=45。，C>E=100>/3=170,

OA=y[2OE=170x1.4=238（千米）.

答：该城市O到A处的距离是238千米.

【点评】本题考查锐角三角函数的应用，根据题意构造直角三角形是解题关键.

20.（2021秋•莱阳市期末）一种手机平板支架由托板、支撑板和底座构成.如图1所示，

手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，托板43长为120〃”〃，支撑板CD长为

40gmm,托板AB固定在支撑板顶点C处，且。3=40加〃?，托板45可绕点C转动，支撑

板CD可绕点£）转动，ZCDf=60°.

（1）当NDCB=75。时，求点A到直线OE的距离;

（2）为了观看舒适，把（1）中N£>C8=75。调整为90。，再将8绕点。顺时针旋转，使

点3落在直线上上即可，则8旋转的角度为_30。_.（直接写出结果）

【答案】（1）（40忘+60）〃""，

（2）30°.

【考点】解直角三角形的应用

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】（1）过点C作CNJ.DE,垂足为E,过点A作交££）的延长线于点〃,

过点C作CF_LAM，垂足为尸，则四边形是矩形，从而可得;^=av，ZFCV=90°,

先在RtACDN中，求出C7V的长，再在RtAAFC中，求出AF,然后进行计算即可解答；

（2）根据题意先画出图形，然后在RtADCB中，利用锐角三角函数求出NCD3=30。，然后

进行计算即可解答.

【解答】解：（1）过点C作CN_LOE,垂足为E,过点A作交皿的延长线于

点过点C作CF_LA",垂足为产，

则四边形CM是矩形，

:.FM=CN,ZFC7V=9O°,

在RtACDN中，C£)=406，NC£>N=60。,

.-.CN=CDsin600=40Gx—=60〃”w,

2

FM=CN=，

・・・NCN£>=90。，

・•.ZDC/V=90。—NCD/V=30°,

・・・ZDCB=75°,

/BCN=ZDCB—NDCN=45。,

/.ZACF=180O-ZFCV-ZBC7V=45°,

在RtAAFC中，AC=80,

AF=ACsin45°=80x——=40行mm,

2

AM=AF+FM=(40>/2+60)/ww,

・•・点A到直线DE的距离为(400+M)mni；

（2）如图:

A

C

DBE

在RtzXDCB中，DC=40x/3,8c=40,

40G

tanZC£)B=—

CD40N/3-3

:.ZCDB=30°,

CD旋转的角度为:60。-30。=30。，

故答案为：30°.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

21.（2021春•丽水月考）如图，某水库大坝的横截面是梯形，其迎水坡4）的坡比为4:3,

背水坡3c的坡比为1:2,大坝的高为20%，坝顶8的宽为10”.求大坝横截面的周长.

【答案】(100+20v/5)w.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】根据£>E=20w,和斜坡AD、的坡比，在RtAADE和RtACBF中分别求出、

4）和防、的长度，继而可求得大坝的截面周长.

【解答】解：♦.•。£=20优，DE:AE=4:3,

：.AE=i5mf

AD=>JAE2+DE2=25（wi）,

•;CF=DE=20m,CF:BF=1:2,

.\BF=40mf

BC=\/CF2+BF2=20>/5(m),

则周长C=AO+OC+BC+48=(100+20币)m,

答：大坝横截面的周长为（100+20后）〃?,

【点评】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形

的边长以及勾股定理的应用.

22.（2020•利辛县模拟）如图所示，阿进站在河岸上的G点，看见河里有一小船C沿垂直

于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯角是ZRDC=30。.若阿进的眼睛与地面的距

离是1.6加，BG=O7m,8G平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度兀=4:3,坡长/W=8"z,

点A,B,C,D,F,G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离C4的长约为多

少米？（参考数据：73*1.732,结果精确到0.01）

【答案】约为8.36米.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】推理能力：应用意识；解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】过点3作BE_LAC于点E,延长。G交C4于点H,由坡度的定义和勾股定理得

372411

BE=——=GH,AE=—,贝IJZW=DG+G"=8（米），AH=AE+EH=—（米），再由

552

锐角三角函数定义得Ca=86,即可得出答案.

【解答】解：过点8作3EJ_AC于点E,延长DG交C4于点H,

则GH=8E,

在RtAABE中，zAB=4:3,

BE4

---=—,

AE3

设3£t=4x米，Af=3x米,

:.AB^-JBE2+AE2=J(4X)2+(3X)2=5X(米),

•.•/W=8米，

.\5x=8，

8

••x=一,

5

3224

..BE=—=GH,AE=—,

55

32?411

.\DH=DG+GH=1.6+—=8(米)，AH=AE+EH=—^-0.1=—(米)，

552

­/ZfDC=30°,DFUAC,

/.ZC=Z/T>C=30o,

在RtACDH中，tanZC=—=tan30°=—,

CH3

8

..=—r

CH3

CH=84,

AC=CH-AH=8^-—-8.36（米）.

2

答：小船C到岸边的距离C4的长约为8.36米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线

构造直角三角形是解题的关键.

23.求直角三角形（1）（2）中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

(2)

【答案】见解答.

【考点】锐角三角函数的定义

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】在图1中先计算出他的长，然后根据正弦、余弦和正切的定义求解；在图2中先

计算出8C的长，然后根据正弦、余弦和正切的定义求解.

【解答】解：图1中，AB=yj52+n2=13,

sinA*工

AB13

cosA上乌

AB13

tanA=^=A

AC12

AB13

2空二,

AB13

tanB*上

BC5

图2中，A8=J(a2_\=正,

sinA』土区,

AB63

cosA=^1

AB63

tanA=^="=0；

AC1

sinB*二鸣

ABG3

BC贬限

cos8=

Afi-Z/3

AC_1_72

正=7TE

（i）(2)

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键.

24.在RtAABC中，NC=90°,AC=1,sinA=—,求tanA,BC.

2

【答案】6,

3

【考点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值

【专题】运算能力：等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用

【分析】根据sinA=且求出ZA=60。，求出tanA=tan6()o=百，求出N5的度数，根据含

2

30。角的直角三角形的性质求出AB=2BC,再根据勾股定理求出BC即可.

【解答】解：•.•sinA=3，

2

.­.ZA=60°,

/.tanA=tan60°=6,

.•.ZB=90°-ZA=30°,

/.AB=2BC,

由勾股定理得：AC2+BC2=(2BC)2,

即12+BC2=4BC2,

解得：BC=2(负数舍去)，

3

即tanA=GBC=—.

3

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识点，能熟

记特殊角的三角函数值是解此题的关键.

25.在RtAABC中，ZC=90°,AB=10,AC=5^,解这个三角形.

【答案】々=60。，ZA=30°,BC=5.

【考点】解直角三角形；勾股定理

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力

【分析】根据解直角三角形的方法进行求解即可得出答案.

【解答】解：根据题意可得,

口AC5拒上

sinB=---=----=——，

AB102

则NB=60°,ZA=30°,

BC=y/AB2-AC2=110-56丫=后=5.

【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题

的关键.

考点卡片

1.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵

坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离

求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

2.三角形的面积

(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即$△=上X底义高.

2

(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

3.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+*=c2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+层=02的变形有：a=[~2~2,b=J/及°=、//+卜2.

(4)由于a2+b1=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

4.相似三角形的判定与性质

(1)相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和

对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.

(2)三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利

用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形

的一