天津市红桥区2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案解析）

高二数学第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目填写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.参考公式：·柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.·球的体积公式，其中R表示球的半径.·球的表面积公式，其中R表示球的半径.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集和交集的概念即可得出答案.详解】，，又，.故选：C2.命题“，总有”的否定是（）A.，总有 B.，总有C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定直接求解.【详解】利用“改量词否结论”可知：，总有”的否定是：，使得.故选：D3.“成立”是“成立”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件4.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断出的范围，根据指数幂运算求解出，则大小关系可知.【详解】由指数函数单调性可知：，且，由对数函数单调性可知：，所以，故选：B.5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A. B.C. D.且【答案】C【解析】【分析】对于AB，不是奇函数，故排除；对于D，不是定义域内的减函数故排除，经检验C选项符合题意.【详解】对于A，定义域不关于原点对称，不奇函数，故不符合题意；对于B，，，所以不是奇函数，故不符合题意；对于D，，，所以且不是减函数，故D选项不符合题意；对于C，，定义域关于原点对称且，所以是奇函数，又因为，均是减函数，所以也是减函数，故C满足题意.故选：C.6.函数的零点所在的区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可【详解】解：因为函数在上均为减函数，所以函数在上为减函数，因为，所以函数的零点所在的区间为，故选：B【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题7.已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【详解】解：因为，故实部为1，虚部为-1，则对应的点（1，-1）在第四象限，选择D8.已知某圆柱的高为5，底面半径为，则该圆柱的体积为（）A.6π B.9πC.12π D.15π【答案】D【解析】【分析】直接利用圆柱的体积的公式求解.【详解】解：由题意得该圆柱的体积为.故选：D9.设是直线，是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断可得答案.【详解】对于A，若，，则或与相交，故A不正确；对于B，若，，则或或与相交，故B不正确；对于C，若，，则或，故C不正确；对于D，若，过作平面，使得，则，又，所以，又，根据面面垂直的判定可得，故D正确.故选：D.10.函数的最大值和最小正周期分别是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由余弦函数的性质得出周期和最值.【详解】因为，所以，.故选：D11.把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式．【详解】函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到，把图象向左平移个单位，得到故选：．【点睛】本题考查函数的图象变换．准确理解变换规则是关键，属于中档题．12.下列计算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式化简运算可判断A,B选项；根据二倍角正弦公式运算可判断C，根据辅助角公式和两角和的正弦公式运算可判断D.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.13.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.向量在向量上的投影向量是C. D.与向量方向相同的单位向量是【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示判断A；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断B；应用向量数量积运算律求判断C；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断D.【详解】A：由，故不成立，错；B：由，错；C：，则，错；D：与向量方向相同的单位向量是，对.故选：D14.抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，将向上的点数分别记为，则（）A.的概率为 B.能被5整除的概率为C.为偶数的概率为 D.的概率为【答案】B【解析】【分析】根据古典概型公式分别计算可以判断A,B选项，结合对立事件的概率公式可以判断C,D选项.【详解】试验的样本点总数，对于A，“”包含的样本点有：，共5个，所以，故A错误；对于B，“能被5整除”包含的样本点有：共7个，所以（能被5整除），故B正确；对于C，“为偶数”的对立事件为：“为奇数”，“为奇数”等价于“和均为奇数”，所以（为奇数），故（为偶数），故C错误；对于D，“”的对立事件为“”，事件“”包含“”和“”，易知，又，所以，所以，故D错误.故选:B.15.已知，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先画出函数的图象，然后根据图象列不等式组，从而求得正确答案.【详解】画出的图象如下图所示，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：A第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.二、填空题：本大题共6个小题.16.是虚数单位，复数___________.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算法则计算可得结果.【详解】.故答案为：.17.学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是______.【答案】90【解析】【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可.【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：63，68，76，77，82，88，92，93，因为，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即（分）故答案为：90.18.有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．【答案】【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式和概率的性质求解.【详解】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A，B，C，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D，则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，，所以，；故答案为：.19.某公园里有一些石墩，每张石墩是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示，一张石墩的体积是，那么原正方体石料的体积是________.【答案】【解析】【分析】设原正方体石料的棱长为，由正方体的体积减去八个三棱锥的体积，列式求解即可．【详解】设原正方体石料的棱长为，则原正方体石料的体积为，截去八个四面体的体积为，则，所以，所以原正方体石料的体积为．故答案为：1．20.近年来随着移动互联网的发展，在线点外卖成为城市居民重要的餐饮方式之一，送餐员的需求量越来越大，甲、乙两名送餐员某一周内每天完成的订单量如图所示，则下列结论中正确的是________.（只填写序号）①甲该周的订单总量比乙该周的订单总量大②甲的方差比乙的方差大③甲的标准差比乙的标准差大④甲、乙两人在工作日一天送的外卖比周末一天送的多【答案】①④【解析】【分析】根据折线统计图一一分析即可．【详解】解：甲、乙该周的订单总量之差为，故甲的订单总量更大，故①正确；从折线图可以看出，甲的数据波动明显比乙的数据波动小，故甲的方差更小，故②错误；因为甲的方差更小，所以甲的标准差也更小，故③错误；甲、乙两人在星期日和星期六的订单量都是一周内最小的两个数据，故④正确．故答案为：①④．21.若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】将不等式变形分解因式，讨论二次项系数及两根的大小关系列不等式求解.【详解】，即当时，则不等式解集为，不符合题意；当时，则不等式解集为，不符合题意；当时，若时，不等式解集为，不符合题意；若时，不等式解集为，故只需满足，解得；若时，不等式解集为，不合题意；综上：.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知0＜α＜，sinα＝．（1）求tanα的值；（2）求cos(2)的值；（3）若0＜β＜且cos(α+β)＝，求sinβ的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数的关系即可求出，（2）根据二倍角公式和两角差的余弦公式即可求出，（3）根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出【详解】（1）∵0＜α＜，sinα＝，∴cosα＝，∴tanα＝.（2）∵sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝cos2αsin2α＝，∴cos(2)＝(cos2αsin2α)＝()＝，（3）∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∵cos(α+β)＝，∴sin(α+β)＝，∴sinβ＝sin[(α+β)α]＝sin(α+β)cosαcos(α+β)sinα＝.23.在中，（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；（2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值.【详解】（1）因为在中，，所以，；（2）由（1）知，，所以因为，所以又因为，由正弦定理，可得24.已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夹角的大小.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．【小问1详解】解：因为，，，且，，所以，，所以，，所以，；【小问2详解】解：设向量，的夹角的大小为．由题意可得，，，所以，因为，所以．25.如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，.（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面；（3）求直线与平面所的成角.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）通过证明结合线面平行判定定理可证；（2）由勾股定理证得，再结合可证；（3）先说明即为直线与平面所的成角，再求得正切值可解.【小问1详解】证明：∵正六边形，∴，，∴，∴，∵平面，平面，∴直线平面.【小问2详解】在中，，易得，在中，，，∴,∴，因为平面，平面，故，∵,平面，故直线平面.【小问3详解】∵平面，∴即为直线与平面所的成角，在中，，，∴，∴，即为直线与平面所的成角为.26.已知函数.（1）判断的奇偶性；（2）若，判断在的单调性，并证明（定义法、导数法均可）；（3）若，，判断函数的零点个数，并说明理由.【答案】（1）奇函数（2）单调递减，证明见