2022届山西省曲沃高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S,,且满足2s.=2川+4,则；I的值是（）

A.4B.2C.-2D.-4

2.执行如图所示的程序框图，若输入a=lnl0,b=lge,则输出的值为（）

A.0B.1C.21geD.21gl0

3.设复数二满足|z-2i|=|z+l],工在复平面内对应的点为（x,y）,则（）

A.2x-4y—3=0B.2x+4y—3=0C.4x+2y-3=0D.2x—4y+3=0

4.若复数z=（2+i）（l+i）（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2x+y-2<0

5.已知卬满足不等式组x-2y-IWO,则点P（x,y）所在区域的面积是（）

x>0

4

A.1B.2I）.-

仁75

6.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔

355

高，恰好为祖冲之发现的密率缶至兀.设胡夫金字塔的高为〃，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单

条灯带，则需要灯带的总长度约为

A..+4、,（27r+警瓦

A.（4兀+）hB.

C.（8兀+4H+1）人D.（2兀+&兀2+16）/?

7.函数尸2凶sin2x的图象可能是

8.已知定义在口,+0。）上的函数/（X）满足F（3x）=3f（x）,且当1WXW3时，“力=1一卜—2|,则方程

〃力=/（2019）的最小实根的值为（）

A.168B.249C.411D.561

9.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学

科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图,

八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10加，阴阳太极图的半径为4加，则每块八卦田的面积

约为（

B.54.07〃/

C.57.21加2D.114.43m2

11.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（)

A.20eS,且26eS

B.20史S,且2百eS

C.20eS,且2月eS

D.20eS,且2百eS

12.函数y=/（x）,xeR,贝（l”=W（x）|的图象关于轴对称“是”=/（%）是奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知三棱锥P—ABC中，ABA.BC,PA=PB=AB=2®BC=&，且二面角P-AB-。的大小为135。，

则三棱锥尸-ABC外接球的表面积为.

14.数列｛4｝的前”项和为s“，数列他,｝的前〃项和为r“，满足4=2,3s“=（〃+机）a.（〃eN",加GR）,且

4d="+1.若任意〃eN*，九4（“一7；成立，则实数2的取值范围为.

22

15.若椭圆C：工+W-=1的一个焦点坐标为（0,1）,则C的长轴长为.

mm~-1

16.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是乙获胜的概率是1,则乙不输的概率是____.

23

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设数列｛4｝,其前〃项和S,,=—3〃2,又也｝单调递增的等比数列，结2仇=512,q+4=4+4.

（1）求数列｛%｝,也｝的通项公式；

b,、2

（11）若6“n_1）'求数列｛%｝的前n项和7.'并求证：2~T,,<L

18.（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用

（D在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从ARC,。四场馆的使用场数中依次

抽取q%，4共25场，在q,%，%，%中随机取两数，求这两数和4的分布列和数学期望；

y

Z=0.1/343+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求Z与X的回归直线方程;

②缶叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时，的值

77.Z（X，「X）（Z」.一Z）

参考数据和公式：Z=4.5，Z（X,-X）2=700，Z（x,-x）（z,-z）=7O,e3=208=上―------=----,a=^-bx

Z=1/=lZ（­）2

/=1

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱B4_L底面ABC。，ADUBC,/A8C=9（T，A£>=1，

PA=AB=BC=2,/是棱依中点.

(1)已知点E在棱8c上，且平面AWE//平面PCD,试确定点E的位置并说明理由；

(2)设点N是线段CO上的动点，当点N在何处时，直线MN与平面Q46所成角最大？并求最大角的正弦值.

20.(12分)已知0<。<彳，函数/(无)=迫^11(2；1+9)一5)S2X.

22

(1)若8求“X)的单调递增区间；

(2)若/(.)=.；，求sin。的值.

21.(12分)已知数列｛q｝和也｝满足：4=2,伪=-1,a“=2%-%,d=2%-%,neAT*«>2.

(1)求证:数列｛为一4｝为等比数列；

3"

(2)求数列——的前«项和S.

Jn

22.(10分)已知等差数列｛%｝中，4=5,%=14,数列也｝的前〃项和S,,=2。,-1.

(1)求4力“；

(2)若q,=(—1)%“+%求｛%｝的前〃项和小

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用s“先求出生，然后计算出结果.

【详解】

根据题意，当〃=1时，2H=24=4+2,.•.4=-^-,

故当“22时，an=Sn-Sn_x=2"~',

・数列｛4｝是等比数列，

则％=1,故与2=1,

解得4=一2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等比数列前"项和S”的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.

2.A

【解析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.

【详解】

输入a=lnl0,b=lge,

因为lnlO>l>lge,所以由程序框图知，

输出的值为a-'=lnlO-J-=lnlO—lnlO=O.

bIge

故选：A

【点睛】

本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.

3.B

【解析】

设2=%+丸，根据复数的几何意义得到X、》的关系式，即可得解；

【详解】

解：设2=%+M

VIz-2z|=|z+11,x2+(y—2)2=(x+1)2+y1,解得2x+4y—3=0.

故选：B

【点睛】

本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.

4.A

【解析】

将z整理成。+初的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.

【详解】

解：z=(2+i)(l+i)=2+/+3i=l+3i,所以z所对应的点为(1,3)在第一象限.

故选:A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把i2当成1进行计算.

5.C

【解析】

画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.

【详解】

不等式表示的平面区域如图：

y

直线2x+y-2=0的斜率为一2,直线x-2y-l的斜率为,，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得8(1,0),

2

0(0,-；)，C(0,2),忸。|=咚，忸C|=石所以阴影部分面积切斗忸q=gxgxG=1.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.

6.D

【解析】

设胡夫金字塔的底面边长为。，由题可得空=兀，所以a=孚，

2h2

该金字塔的侧棱长为卜+哼产=小+等=叱+16,

所以需要灯带的总长度约为4x巫五+4x独=(2兀+^)/?,故选D.

42

7.D

【解析】

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在弓,兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/。)=2/山2工，

因为xG/?,/(-x)=2Tsin2(-x)=-2凶sin2x=-/(x),所以/(x)=2Hsin2x为奇函数，排除选项A,B;

7T

因为xw(于兀)时，f(x)<0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值

域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性;

(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

8.C

【解析】

先确定解析式求出了(2019)的函数值，然后判断出方程/(x)=,”2019)的最小实根的范围结合此时的

/(x)=x-35,通过计算即可得到答案.

【详解】

当H时，〃3x)=3/(x),所以〃幻=3吗)=32/令)=…=3"/令),故当

3"时,看G[1,3],所以小)=3"(1-七一2)=?:而

J|3IX-J,X<Z*J

onio

677

2019e[3,3],所以/(2019)=36(1-4--2)-3-2109=168,又当1OW3时，

“X)的极大值为1,所以当3"xW3"+i时，/㈤的极大值为3",设方程/(x)=168

碟4.赞

的最小实根为/,168G[34,35],则如(35,±工二),即fw(243,468),«/(x)=x-35

2

令/(尤)=x—3^=168,得H243+168=411,所以最小实根为411.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是

一道有较好区分度的压轴选这题.

9.B

【解析】

由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的:，两面积作差即可求解.

O

【详解】

由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为竺=45,

8

设三角形的腰为。，

a10

由正弦定理可得.135°sin450,解得。=108sin^~-

sin——2

2

所以三角形的面积为:

=25（收+1）,

所以每块八卦田的面积约为：25(V2+1)-^x^-x42«54.07.

故选：B

【点睛】

本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.

10.B

【解析】

判断函数/(X)的奇偶性，可排除A、C,再判断函数/(X)在区间上函数值与0的大小，即可得出答案.

【详解】

(2、(l-ex\

解：因为./(x)=；——--1cosx=-——-cosx,

U+e')U+e]

^rlU/(-x)=llcos(-x)=-cosx=—cosx=-/(x),

所以函数/(x)是奇函数，可排除A、C；

又当/(x)<0,可排除D；

故选：B.

【点睛】

本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.

11.D

【解析】

如图所示：在边长为2的正方体ABC。-44GA中，四棱锥G-A3CD满足条件，故5={2,2&,26},得到答

案.

【详解】

如图所示：在边长为2的正方体ABC。-A4GA中，四棱锥G-ABC。满足条件.

故

AB=BC=C£>=AD=CC]=2,BCl=DCi=2-j2,AC,=273.

故5={2,20,20},故20eS,273eS.

故选：D.

【点睛】

本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

12.B

【解析】

根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

设g(x)=W(x)|，若函数)=/(x)是R上的奇函数，则g(—x)=k4(—x)|=W(x)|=g(x),所以，函数

y=|犷'(到的图象关于》轴对称.

所以，”=/(X)是奇函数“二＞"=M(x)l的图象关于y轴对称”；

若函数y=/(x)是R上的偶函数，贝！］8(-6=卜虫一刈=卜虫刈=,(%)|=8(%)，所以，函数y=W(x)|的图

象关于)'轴对称.

所以，"y4#(X)的图象关于y轴对称“N"=/(X)是奇函数”.

因此，“y=0(x)1的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等

题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.32万

【解析】

设AE43的中心为7,A5的中点为N,AC中点为M,分别过7做平面A5C,平面

的垂线，则垂线的交点为球心O,将的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半

径.

【详解】

设AE43的中心为7,A5的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面A5C,平面

的垂线，则垂线的交点为球心O,如图所示

因为PA=PB=AB=2G，BC=五，所以TN=1,NM=—，AC=V14.

2

又二面角P-AB-C的大小为135。，则N77VM=135°，/TOM=45°，所以

TM2=TN2+MN2-2MN-TN-cosZTNM=-,

2

7

22

设外接球半径为R,则OA/2=R2-OT=R-4,

2

在AOTM中，由余弦定理，得7702=TO2+MO2-2MO-TO.COSNTOM，

即g=-4+&-g-J(2R2-7)(/?2-4),解得R2=8，

故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4万R2=32万.

故答案为：32万.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大,

是一道难题.

14.2<-

2

【解析】

cc"+1,

当”..2时，％=S“-S,I，可得到广=二J,再用累乘法求出a,,再求出耳，根据定义求出7“，再借助单调性求

【详解】

解：当〃=1时，3sl=(1+=3q,则〃?=2,3s“=(〃+2)。“，

当〃..2时，3s,T=(〃+，

3a“=(〃+2)an-(〃+1)%,

4=〃+l

.1.7；„-7；,=-t-+-t-+.J（当且仅当〃=1时等号成立），

n+1n+22n2

4'29

故答案为：（―8,5•

【点睛】

本题主要考查已知s“求a,,,累乘法，主要考查计算能力，属于中档题.

15.2百

【解析】

由焦点坐标得加2—1—〃7=1从而可求出m=2,继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.

【详解】

解：因为一个焦点坐标为（0,1）,则苏—1—〃2=1，即＞一加一2=0,解得机=2或m=一1

2222

由三+—J=1表示的是椭圆，则加>0,所以m=2,则椭圆方程为上+工=1

mm--\32

所以a=V3,2a=2^3.

故答案为：26.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略相>0,从而未对，〃的两个值进行取舍.

16.

6

【解析】

乙不输的概率为2+:=3,填

2366

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

n+l

17.(1)=-6/2+3,bn=2；(2)详见解析.

【解析】

22

(1)当〃=1时，a“=S]=-3,当”22时，an-Sn-Sn_t=-3/?-[-3(/?-1)]=-6n+3,

当”=1时，也满足%=-6〃+3,.•.《,=一6〃+3,I•等比数列也｝,.,.仇63=62。

:.b、b2b§=与3=512=>e=8,又；a1+4=a,+仇，

Q1

3d—=—15+8<7=>4=2或夕=—耳(舍去)，

2,"+|

二2=b2q-=2；

，八工，.、丁勿2"+|2"11

(2)由(1)可得：%-Q，，+i_2)(2"'—1)一(2"—[)(2向—I)-2"—]-2"'—]，

/•T=C.+C2+C3+•••+c=(------z—)+(-z-----r—)+•••+(----------)

"123«v2-l22-122-123-12"-12"+'-1

=1-不工<1，显然数列｛空｝是递增数列，

2—1

22

-Tn>T^-,即

18.(1)见解析，12.5(2)①]=0.5+2②20

【解析】

(1)运用分层抽样，结合总场次为100,可求得％,。2，。3，“4的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;

7_7__

(2)①由公式可计算一无)2,2(七一幻2一2)的值，进而可求Z与X的回归直线方程;

/=1/=1

②求出g(x),再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时X的值.

【详解】

251

解：(1)抽样比为工=:，所以分别是，6,7,8,5

1004——

所以两数之和所有可能取值是：10,12,13,15

〃偌=10)=：,〃偌=12)=。p管=13)=<，〃偌=15)=!

0330

所以分布列为

*910121315

£1£

P

6336

期望为^)=10x1+12x1+13x1+15x1=12.5

6336

7__7__

(2)因为工(七一%))=700,2(七一无)(2—2)=70,

/=1i=\

7__

Z(x,—x)(z,—z)

701

所以务-----_——=-=—,tz=4.5-0.1x25=2,

70010

人若―x)2

i=l

z=0.1x+2；

②z=0.1e而+2=01x+2.

,40,

H-----Inx

43431nx

,g'(x)=4343x______

Ofx+40(x+40)2

所以当xG[0,20],g'(x)>0,g(x)递增，当xG[20,+8),g'(x)<0,g(x)递减

所以约惠值最大值时的x值为20

【点睛】

本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.

19.(1)E为8C中点，理由见解析；(2)当点N在线段。。靠近。的三等分点时，直线MN与平面Q46所成角最

大，最大角的正弦值^—.

7

【解析】

(DE为8c中点，可利用中位线与平行四边形性质证明ME//PC,AE//DC,从而证明平面AME//平面PCD；

(2)以4为原点，分别以A。，AB,AP所在直线为工、丁、二轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N在

线段。。靠近。的三等分点时，直线MN与平面PA8所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

【详解】

(1)E为BC中点,证明如下：

•••M.E分别为PB,8C中点，

：.MEIIPC

又•；MEU平面PDC,PCu平面PDC

:.ME//平面PDC

又ECIIAD,且EC=四边形EADC为平行四边形，

:.AE//DC

同理，AE//平面PDC,又•；AEcME=E

平面AME//平面PDC

(2)以A为原点，分别以AO,AB,AP所在直线为工、,、z轴建立空间直角坐标系

则A(0,0,0),3(0,2,0),C(2,2,0),Z>(l,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1)

设直线KV与平面Q46所成角为氏加=2加(0W/LW1)则

砺=瓶+而+丽=(4+1,22-1,-1)

取平面Q46的法向量为n=(1,0,0)则

(4+1)2

sin(9=|cos<MN,n>|=/l+l

J(/l+l)2+(2/l_l)2+]5/l2-22+3

(4+1)2=r=]<5

令Z+l=re[1,2],则5X2-22+3-5/-21+3—>ly一葭1+5-亍

所以sin64立^

7

52

当，=1=4=W时，等号成立

33

即当点N在线段。。靠近C的三等分点时，直线MN与平面E钻所成角最大，最大角的正弦值叵.

7

【点睛】

本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.

20.(1)--+k7r,—+k7r(ZeZ)；(2)^+3^.

_36」6

【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数)，=/(x)的解析式为/(x)=gsin(2x+?卜g,然后解不等式

--+2k7r<2x+-<-+2k7r{keZ},可得出函数y=/(x)的单调递增区间

262

(2)由/目=一；得出4呜+0)=冬并求出cos(?+ej的值，利用两角差的正弦公式可求出sin°的值.

【详解】

2负如2x+旦os"1+cos2x

(1)当8=(时，/(x)=—sin^2x+yj-cosx=

2

—sin2x+-cos2%--=-sinf2x+->|--,

4422I2

由-三+2ki<2x+—<—+2Z:zr(Z:eZ),+k7t<x<--\-k7r[keZ),

26236

因此，函数y=/(x)的单调递增区间为—g+Z乃,J+Z乃(ZeZ)；

3o

3sin修+作《<3,

44(332

c71兀7157C71715万71底

，•0<0<—,/.—V---F0<---,二一<—\-cp<—，COS

2336236

、

71711・%GTC、V3+3V2

sin/=sin=­sin一+0------cos~+(P

372\32J76

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属中等题.

12

21.（1）见解析（2）5,,=5-正不

【解析】