清华大学弹性力学冯西桥FQChapter平面问题A课件

清华大学弹性力学冯西桥fqchapter平面问题a课件引言基本理论弹性力学问题平面问题概述弹性力学问题平面问题解析方法弹性力学问题平面问题数值解法弹性力学问题平面问题实例解析contents目录引言01弹性力学是研究弹性物体在外力作用下的变形和内力的学科，是工程设计的重要基础。平面问题是弹性力学中的一类重要问题，具有广泛的实际应用背景。本课程将介绍弹性力学的基本理论和方法，重点讲解平面问题的求解方法和技巧。课程背景平面问题的分类和求解方法弹性力学的基本概念和方程弹性力学中的能量方法和变分原理典型例题的讲解和实战练习01020304课程内容概述教学计划与安排01第一部分：弹性力学基本概念和方程（4学时）02弹性力学的发展和应用03基本假设和基本方程03平面的基本问题和求解方法01弹性体的基本性质和关系02第二部分：平面问题的分类和求解方法（6学时）教学计划与安排平面问题的边界条件和载荷条件第三部分：弹性力学中的能量方法和变分原理（4学时）不同类型平面问题的特点和求解技巧教学计划与安排能量方法和变分原理的基本概念哈密顿变分原理和里兹方法最小势能原理和伽辽金方法教学计划与安排01第四部分：典型例题的讲解和实战练习（4学时）02经典例题的讲解和解析03学生自己动手解题，进行实战练习04课程总结和答疑解惑教学计划与安排基本理论02描述物体受力后内部变形的情况，包括应力（单位面积上的力）和应变（物体形状的变化）两个核心概念。应力和应变物体在受到外力时，会发生形状和尺寸的变化，这种变化称为变形。弹性体是指受到外力时发生变形，但当外力去除后能恢复原来形状的物体。弹性体的性质主要研究弹性体在外力和其他外界因素作用下的响应，包括变形、应力、应变和力等物理量之间的关系。弹性力学的研究对象弹性力学基本概念123描述物体受到的合力为零的情况，即所有作用在物体上的力在总体上达到平衡。平衡方程描述物体的变形情况，即应变与位移之间的关系。几何方程描述物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。物理方程弹性力学基本方程对于较简单的弹性力学问题，可以通过数学解析的方法求解。这种方法通常适用于具有规则形状和边界条件的问题。解析法对于较复杂的弹性力学问题，通常需要使用计算机进行数值模拟。有限元法是一种常用的数值模拟方法，它将问题分解为许多小的单元，对每个单元进行求解，最终得到整个问题的解。有限元法弹性力学问题的基本解法弹性力学问题平面问题概述03弹性力学问题平面问题是指研究弹性体在二维空间（即平面）中的应力、应变和位移分布的问题。定义根据受力状态和边界条件的不同，平面问题可以分为多种类型，如静力平衡问题、动力响应问题、波动问题等。分类平面问题的定义及分类对于复杂的平面问题，可以采用一些简化方法，如分离变量法、格林函数法、变分法等，以简化问题的求解。求解平面问题通常包括建立数学模型、选择合适的求解方法、进行数值计算和结果分析等步骤。平面问题的简化与求解求解步骤简化方法VS求解平面问题的基本解法包括直接求解法、逆解法和半逆解法等。其中，直接求解法是通过建立方程组直接求解未知量；逆解法是根据已知的应力或应变分布求解位移分布；半逆解法则是先假设一部分位移分布，再根据物理条件和边界条件求解剩余的位移分布。实例以一个具体的拉普拉斯方程为例，介绍如何使用直接求解法求解平面问题。具体方程为：▽²u(x,y)=f(x,y)，其中u(x,y)为位移分布，f(x,y)为外力分布。通过分离变量法，将u(x,y)表示为u(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程得到两个常微分方程，分别求解X(x)和Y(y)，再通过积分得到u(x,y)的解析解。基本解法平面问题的基本解法与实例弹性力学问题平面问题解析方法04010203分离变量法是一种解决偏微分方程的方法，可以将问题分解为相互独立的变量，从而简化问题的求解过程。在弹性力学平面问题中，分离变量法可以将复杂的边界条件和连续性条件转化为简单的方程式，从而方便求解。该方法适用于某些具有特殊性质的偏微分方程，如各向同性、周期性等。分离变量法在弹性力学平面问题中，傅里叶变换法可以将复杂的边界条件和连续性条件转化为简单的方程式，从而方便求解。该方法适用于具有周期性结构的物体，如金属板、半导体等。傅里叶变换是一种将函数从空间域转换到频域的数学方法，可以用于解决许多物理问题。傅里叶变换法格林函数是一种解决偏微分方程的方法，可以用于求解某些特定的问题。在弹性力学平面问题中，格林函数法可以将复杂的边界条件和连续性条件转化为简单的方程式，从而方便求解。该方法适用于具有特殊性质的偏微分方程，如无界区域、半无穷大区域等。格林函数法弹性力学问题平面问题数值解法05缺点有限差分法可能会因为离散化误差导致精度损失，同时对于复杂的问题，需要设计适当的离散化方案。定义有限差分法是一种基于数值计算的方法，它通过离散化连续的物理问题，将其转化为差分方程，然后求解这些方程以获得问题的数值解。适用范围有限差分法适用于求解各种物理问题，包括弹性力学问题、流体力学问题、热传导问题等。优点有限差分法具有简单、直观、易于编程实现等优点。有限差分法定义有限元法是一种基于变分原理的数值计算方法，它将连续的物理问题离散化为有限个单元，然后通过在这些单元上构造近似函数，获得问题的数值解。有限元法适用于求解各种物理问题，包括弹性力学问题、流体力学问题、热传导问题等。有限元法具有高精度、适用于复杂形状和边界条件的问题等优点。有限元法的计算量较大，需要消耗大量的计算资源和时间。适用范围优点缺点有限元法边界元法是一种基于边界积分方程的数值计算方法，它通过将问题转化为边界积分方程，然后离散化边界积分方程，获得问题的数值解。定义边界元法适用于求解各种物理问题，包括弹性力学问题、流体力学问题、热传导问题等。适用范围边界元法具有高精度、适用于复杂形状和边界条件的问题等优点。优点边界元法的计算量较大，需要消耗大量的计算资源和时间。同时对于某些问题，需要解决奇异积分和辐射条件等问题。缺点边界元法弹性力学问题平面问题实例解析06悬臂梁受到集中载荷作用，需要求解其应力分布、位移等物理量。定义问题利用弹性力学基本方程，结合悬臂梁的边界条件，建立数学模型。建立模型采用有限元方法进行数值求解，将梁划分成若干小单元，对每个单元进行应力计算，再对整个梁进行汇总。求解方法根据计算结果，分析悬臂梁在集中载荷作用下的应力分布、位移等物理量的变化规律。结果分析悬臂梁受集中载荷作用的问题定义问题圆板受到径向压力作用，需要求解其应力分布、位移等物理量。求解方法采用有限元方法进行数值求解，将圆板划分成若干小单元，对每个单元进行应力计算，再对整个圆板进行汇总。建立模型利用弹性力学基本方程，结合圆板的边界条件，建立数学模型。结果分析根据计算结果，分析圆板在径向压力作用下的应力分布、位移等物理量的变化规律。圆板受径向压力作用的问题定义问题建立模型求解方法结果分析半无限大物体受边界应力作用的问题利用弹性力学基本方