数理统计CH概率分布

f(x)Areaundercurvesumstoone.Randomvariablerange第1章概率分布ProbabilityDistribution3/1/20241王玉顺：数理统计01_概率分布事件和概率：讨论描述随机现象及其统计规律的术语及概念、现象发生可能性的计量、相互关系和运算；随机变量及分布：讨论随机现象的确定性数学表达，相同条件、大量重复观测下随机变量所遵循的取值规律；数字特征：讨论分布特征的数字表达；大数定律：讨论重复试验次数对频率和均值观测稳定性的影响。1概率分布本章内容3/1/20242王玉顺：数理统计01_概率分布1.1事件与概率EventandProbability1

概率分布3/1/20243王玉顺：数理统计01_概率分布

自然界存在两种现象，①确定性现象：一定条件下必然发生；②随机性现象：一定条件下可能发生，但结果不止一个，哪个结果发生预先并不知道。

随机现象虽然表现为不确定性，但在大量、相同条件重复试验下，其观测结果会呈现出某种特定的规律，称作随机现象的统计规律。比如，多次抛掷一枚均质硬币，{正面朝上}的频率接近0.5。

随机现象(RandomPhenomenon)1.1

事件与概率3/1/20244王玉顺：数理统计01_概率分布

数理统计学就是研究大量的随机现象，但限定为一类特定的随机现象，即在相同条件重复试验下所能观测到的随机现象。它研究随机现象的发生机制、统计规律和统计特征，研究解决工程实际问题的统计方法。随机现象(RandomPhenomenon)1.1

事件与概率3/1/20245王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1事件RandomEvent1.1

事件与概率3/1/20246王玉顺：数理统计01_概率分布满足下述三个条件的试验称为随机试验：（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定会出现哪一个结果。

随机试验在统计学里可简称为试验。1.1.1

事件(1)随机试验(RandomExperiment)3/1/20247王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1

事件E1：一枚硬币抛一次，观察出现哪一面；E2：一枚硬币抛三次，观察正反面的排列；E3：一枚硬币抛三次，观察正面出现的次数；E4：一颗骰子抛一次，观察出现的点数；E5：在一批灯泡产品中，测定任一只的寿命；E6：在一批灯泡产品中，测定任一只的阻值。E7：在一超市里，观察每10分钟进来的人数；(1)随机试验(RandomExperiment)3/1/20248王玉顺：数理统计01_概率分布广义地讲，对任何一个特定对象的随机抽查或观测，均可看作是随机试验。比如，多次抛一枚均质硬币是随机试验，观测一个种族的身高、体重等是随机试验，观测某作物的株高是随机试验，观测条件近似动物对某种药物的生理反应是随机试验，小区测产是随机试验，等等。1.1.1

事件(1)随机试验(RandomExperiment)3/1/20249王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1

事件随机试验的每一个可能结果，称作基本事件（elementaryevent），亦称作简单事件（simpleevent），基本事件是描述随机试验不可能再分的事件。(2)基本事件(ElementaryEvent)3/1/202410王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1

事件

抛硬币试验，｛正面朝上｝是一个基本事件，｛反面朝上｝也是一个基本事件。观测一个种族的身高状况，｛1.75米｝是一个基本事件，｛1.83米｝是一个基本事件，｛1.45米｝也是一个基本事件。小区测产，｛25.4kg｝是一个基本事件，｛26.7kg｝也是一个基本事件。花括弧括内容表达事件，常用于利用文字或表达式陈述事件的场合。

(2)基本事件(ElementaryEvent)3/1/202411王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1

事件由若干个基本事件组合而成的事件，称作复合事件（compoundevent），也称作复杂事件。通常所说的随机事件（randomevent）是基本事件和复合事件的统称，即可指基本事件又可指复合事件。(3)复合事件(CompoundEvent)3/1/202412王玉顺：数理统计01_概率分布事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}表示“第一次出现的是正面”

用t表示灯泡的使用寿命（h），则事件B1={t

1000}表示“灯泡是次品”事件B2={t

1000}表示“灯泡是合格品”

事件B3={t

1500}表示“灯泡是一级品”

1.1.1

事件(3)复合事件(CompoundEvent)3/1/202413王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1

事件

连续两次抛掷一枚硬币，｛均出现正面｝是一个复合事件，｛出现一正一反｝是一个复合事件，｛均出现反面｝也是一个复合事件。观测一个种族分区域的身高，｛平均1.77米｝、｛平均1.68米｝均是复合事件。小区测产，｛产量在10kg～20kg之间｝是一个复合事件，｛产量在20kg～30kg之间｝也是一个复合事件。(3)复合事件(CompoundEvent)3/1/202414王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1

事件每次试验中一定发生的事件称作必然事件（certainevent），在任何一次试验中都不可能发生的事件称作不可能事件（impossibleevent）。随机事件简称作“事件”，而将不可能事件和必然事件视作随机事件的两个极端事件。(4)必然事件与不可能事件(CertainandImpossibleEvent)3/1/202415王玉顺：数理统计01_概率分布掷一枚均质硬币试验，｛出现两个面之一｝是必然事件，｛两个面谁也不出现｝是不可能事件。小区测产，｛产量小于0kg｝是不可能事件，｛产量大于等于0kg｝是必然事件。1.1.1

事件(4)必然事件与不可能事件(CertainandImpossibleEvent)3/1/202416王玉顺：数理统计01_概率分布我们称一个随机事件发生，当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现1.1.1

事件考察抛一枚硬币的试验，事件A={出现正面}若试验结果为｛出现反面｝，则事件A未发生若试验结果为｛出现正面｝，则事件A发生考察小区测产的事件A={产量大于10kg}若试验结果为｛11.2kg｝，则事件A发生若试验结果为｛5.4kg｝，则事件A未发生(5)事件发生(Eventcomeabout)3/1/202417王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.2概率Probability1.1

事件与概率3/1/202418王玉顺：数理统计01_概率分布

用于度量事件发生可能性大小的数值称作事件的概率（probability）。事件通常可用大写字母表示，如A、B等，相应的概率可用P(A)、P(B)等表示。1.1.2

概率(1)事件的概率3/1/202419王玉顺：数理统计01_概率分布概率具有下述性质：■设A为任一事件，则0≤P(A)≤1；■对于必然事件Ω，有P(Ω)=1；■对于不可能事件φ，有P(φ)=0。1.1.2

概率(2)概率的性质3/1/202420王玉顺：数理统计01_概率分布不可能事件P(φ)=0，必然事件P(Ω)=1。但反过来不成立，因为概率只代表“可能性”的大小，可能性为0的事件不一定总不发生，可能性为1的事件不一定总是发生比如小区测产，事件｛产量是25kg｝的概率等于0，但它不一定总不发生；事件｛产量不是25kg｝的概率等于1，但它不一定总是发生

1.1.2

概率(2)概率的性质3/1/202421王玉顺：数理统计01_概率分布

在相同的条件下进行了n次试验，在这n

次试验中，事件A发生的次数nA

称为事件A发生的频数。比值nA/n

称为事件A发生的频率，并记成fn(A)，即1.1.2

概率(3)概率的统计定义3/1/202422王玉顺：数理统计01_概率分布历史上曾有几个著名的抛一枚均质硬币试验，试验者观测了抛掷次数、正面出现次数和正面出现频率等。结果发现，频率在0.5附近摆动，详见表1.1。试验重复次数愈大频率与0.5的偏差愈小，表现出向0.5稳定趋近的倾向，因此预测事件的概率为0.5。试验次数愈大，事件频率在某个定值两侧摆动的幅度愈小，称作事件频率具有稳定性。1.1.2

概率(3)概率的统计定义3/1/202423王玉顺：数理统计01_概率分布

2512492562532512462440.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.002-0.0020.0120.0060.002-0.008-0.012

nAfn(A)n=500时抛硬币试验

实验者德•摩根蒲丰K•皮尔逊K•皮尔逊

nnHfn(H)

204840401200024000

106120486019120120.51810.50960.50160.5005表1.11.1.2

概率(3)概率的统计定义3/1/202424王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.2

概率随试验次数n的增大，若事件A的频率fn(A)越来越幅度变小地在某一常数p两侧摆动，则称常数p为事件A的概率(probability)，记作P(A)=p。称此陈述为概率的统计定义。(statisticalprobability)。(3)概率的统计定义3/1/202425王玉顺：数理统计01_概率分布1.2随机变量及分布RandomVariableandProbabilityDistribution1

概率分布3/1/202426王玉顺：数理统计01_概率分布前面事件与概率的研究仅仅实现了随机现象及其关系的概念描述，远没有达到工程应用的程度，难于解决复杂多样的实际问题；引入人们熟悉的微积分实现随机现象的数值化定量分析，使能用计算机高效地处理工程实际的统计学问题；随机变量及其分布的理论和方法，实质上就是利用确定性数学方法研究和解决随机数学（统计学）问题。

1.2

随机变量及分布(1)随机现象定量分析的意义3/1/202427王玉顺：数理统计01_概率分布实施某随机试验，若用实数变量X表示试验结果，则X的取值明确可知且不止一个，试验前并不知道X会取那个值，表征随机试验结果的实数变量X称作随机变量；X的值用实数x表示，即一次试验的结果，是所有可能试验结果中的一个，称x为X的观察值，简称观测(observation)；(2)随机变量(RandomVariable)1.2

随机变量及分布3/1/202428王玉顺：数理统计01_概率分布由于随机变量X量化（数值化或数字化）表达了随机试验结果，因此它也具有随机试验的三个基本特征：随机变量X可在相同条件下重复观测；随机变量X的所有可能值明确可知，并且不止一个；每次观测总是恰好获得X所有可能值中的一个，但观测前却不能肯定是哪一个。1.2

随机变量及分布(2)随机变量(RandomVariable)3/1/202429王玉顺：数理统计01_概率分布掷一枚均质硬币试验：样本空间Ω1={H,T}，随机变量表达该问题，以“X=1”表示{正面向上}的事件，以“X=0”表示{反面向上}的事件；掷一枚骰子试验：样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，随机变量表达该问题，以“X=1”表示出现1点的事件，“X=2”表示出现2点，以此类推；作物育种试验：以“X>4.5”表示{产量大于4.5kg}的事件，不等式表达一个基本事件的集合。1.2

随机变量及分布(3)随机事件(RandomEvent)3/1/202430王玉顺：数理统计01_概率分布用随机变量X和某指定观测x可定义下述3种随机事件：试验结果为x的事件：X=x试验结果小于或等于x的事件：X≤x试验结果大于x的事件：X>x1.2

随机变量及分布(3)随机事件(RandomEvent)3/1/202431王玉顺：数理统计01_概率分布概率分布是概率论的基本概念之一，它用函数和微积分描述随机变量取值的概率规律。考察随机变量X与某指定观测x的关系，用事件概率P(X≤x)以及事件概率的变化速率ΔP(X≤x)/1或dP(X≤x)/dx描述概率分布；离散随机变量用求和函数描述概率分布；连续随机变量用积分函数描述概率分布。1.2

随机变量及分布(4)概率分布(ProbabilityDistribution)3/1/202432王玉顺：数理统计01_概率分布本节主要讨论下述几个问题：随机变量、随机变量的观测、事件、概率四者之间的关系；离散变量的分布函数和概率密度；连续变量的分布函数和概率密度；常见离散分布和连续分布；随机变量的标准化变换；正态分布的概率计算。1.2

随机变量及分布本节内容3/1/202433王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.1离散变量的概率分布DiscreteVariableandProbabilityDistribution1.2

随机变量及分布3/1/202434王玉顺：数理统计01_概率分布若随机变量X或事件X=x的所有可能取值为有限个或可列个，即取值存在间隔，则称X为离散随机变量(discretevariable)。比如，抛硬币试验取值{0,1}，播种穴粒数取值{0,1,2,…}，以及其它“计数”类的随机变量。为便于数学处理，经常将随机变量的取值范围扩展到离散无穷域{0,1,2,…,+∞}，只不过取某些值的概率等于0。1.2.1

离散变量的概率分布(1)离散随机变量(DiscreteVariable)3/1/202435王玉顺：数理统计01_概率分布离散随机变量用X表示，它的观察值用实数x表示，则离散变量随机试验中所发生的随机事件用等式表示：1.2.1

离散变量的概率分布(2)随机变量、观察值和随机事件随机事件观察值3/1/202436王玉顺：数理统计01_概率分布观察值x按大小顺序分别记作xi，xi≥xi-1，i=1,2,…，则离散随机变量X的分布函数F(xi)

定义如下：

分布函数亦称作概率累积函数CumulativeDistributionFunction(3)分布函数(DistributionFunction)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202437王玉顺：数理统计01_概率分布事件X=xi的概率记作pi=P(X=xi)。则离散随机变量X的概率密度f(xi)定义分布函数的变化率：(4)概率密度(ProbabilityDensity)1.2.1

离散变量的概率分布概率密度记为离散变量的概率密度ProbabilityDensity亦称作概率函数ProbabilityFunction3/1/202438王玉顺：数理统计01_概率分布

概率密度表征离散随机变量取值x与取该值概率的函数关系，即描述按观测值大小顺序排列的概率分布规律。按定义，概率密度可理解为观察值的一个单位增量所对应的分布函数增量，或者发生事件{离散随机变量X等于某指定观测x}的概率。

1.2.1

离散变量的概率分布(4)概率密度(ProbabilityDensity)3/1/202439王玉顺：数理统计01_概率分布概率密度可表示成如下的矩阵形式

矩阵的第1行为随机变量的观察值，第2行为事件X=xi的概率pi，矩阵元素上下对应。1.2.1

离散变量的概率分布(4)概率密度(ProbabilityDensity)3/1/202440王玉顺：数理统计01_概率分布抛硬币试验抛骰子试验1.2.1

离散变量的概率分布(4)概率密度(ProbabilityDensity)3/1/202441王玉顺：数理统计01_概率分布所谓离散随机变量X的概率分布，就是指分布函数F(xi)和概率密度f(xi)两个基本函数，它们提供了随机变量概率分布规律的完整信息。(5)概率分布(Probability

Distribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202442王玉顺：数理统计01_概率分布概率值非负：全概率和等于1：两极端事件的分布函数值：(6)离散变量概率分布的性质1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202443王玉顺：数理统计01_概率分布若离散随机变量X的随机试验仅有两个可能结果，可将其表述为X=1和X=0两个事件，则X服从0-1分布。抛硬币试验，出现正面为1，出现反面为0种子发芽试验，发芽为1，不发芽为0杀虫剂试验，有效为1，无效为0田间播种出苗试验，出苗为1，不出苗为0

(7)0-1分布(0-1Distribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202444王玉顺：数理统计01_概率分布0-1分布概要：(7)0-1分布(0-1Distribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202445王玉顺：数理统计01_概率分布(7)0-1分布(0-1Distribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202446王玉顺：数理统计01_概率分布遵循0-1分布规律的试验称作贝努利试验(binomialexperiment)做n次贝努利试验称作n重贝努利试验n次抛硬币试验，统计正面出现的次数发芽试验，统计n粒种子中发芽的种子个数杀虫剂试验，统计n条虫子中被灭杀虫口数播种试验，统计n粒种子中出苗的种子个数(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202447王玉顺：数理统计01_概率分布

设贝努里试验随机变量ξ仅取0和1两个观察值，对于n重贝努里试验，若每次试验中事件{ξ=1}发生的概率记为p，那么用以描述n次试验中事件{ξ=1}发生次数的随机变量X可用随机变量系之和表示：

(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202448王玉顺：数理统计01_概率分布{ξ=1}代表什么与我们所关心的问题有关(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202449王玉顺：数理统计01_概率分布随机变量系之和服从参数为n,p的贝努利分布(binomial

distribution)，亦称二项分布，记作X~B(n,p)，其中0<p<1。二项分布的概率密度为：(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202450王玉顺：数理统计01_概率分布Binomial分布概要：(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202451王玉顺：数理统计01_概率分布(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202452王玉顺：数理统计01_概率分布(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布事件X=x的概率等于n个0-1积事件的条件概率3/1/202453王玉顺：数理统计01_概率分布P=0.3,0.5,0.7(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202454王玉顺：数理统计01_概率分布设Y=X/n，相当于X乘了一个常数1/n，它指n重贝努利试验中事件出现的频率。不难推论，频率Y仍服从二项分布。即(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202455王玉顺：数理统计01_概率分布二项分布是具有n重贝努里试验背景的一种重要分布当n=1时，二项分布转化成0-1分布。因此0-1分布可被视作二项分布的一个特例由于二项分布随机变量X是0-1分布随机变量的线性组合，因而X可被视作0-1总体抽样获得的统计量(8)二项分布(BinomialDistribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202456王玉顺：数理统计01_概率分布

观察某作物田间出苗状况，若每穴粒数相同，则沿播行单位长度上（当作小区）的出苗数或出苗率服从泊松分布；对一个容器按等时间间隔（看作小区）观测细菌的存活数；公路交叉路口单位时间间隔内过往的汽车数；汽车站或理发馆单位时间间隔内到达的顾客数等均服从泊松分布。

(9)泊松分布(Poisson

Distribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202457王玉顺：数理统计01_概率分布Poisson分布概要：(9)泊松分布(Poisson

Distribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202458王玉顺：数理统计01_概率分布以顾客去理发馆为例导出Poisson分布：设每人去理发馆的概率是p，则不去的概率是1-p；当顾客源容量n与理发馆容量λ处于供需平衡状态时，有np=λ，且n愈大p愈小顾客是否去理发馆是n重贝努利试验，设去理发馆的人数为X，则人数为x的概率为(9)泊松分布(Poisson

Distribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202459王玉顺：数理统计01_概率分布顾客源容量n很大时则概率p很小，去理发馆人数X等于x的概率可用下述极限近似(9)泊松分布(Poisson

Distribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202460王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.2.1

离散随机变量的概率分布(9)泊松分布(Poisson

Distribution)3/1/202461王玉顺：数理统计01_概率分布■分布函数■概率本质：■全概率和：(9)泊松分布(Poisson

Distribution)1.2.1

离散变量的概率分布3/1/202462王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.2连续变量的概率分布ContinuousVariableandProbabilityDistribution1.2

随机变量及分布3/1/202463王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.2

连续变量的概率分布若随机变量X或事件X≤x的中的临界观测x可在一定范围内连续(无缝、不间断)取值，即值域为(－∞,+∞)或任意指定区间；或者说某区间内的所有数值都是随机试验的可能结果；则称X为连续随机变量(ContinuousVariable)小区产量在(10,65)内取值，是连续随机变量玉米株高在(135,195)内取值，是连续随机变量其它“计量”类变量也是连续随机变量。(1)连续随机变量(ContinuousVariable)3/1/202464王玉顺：数理统计01_概率分布随机事件随机事件(2)随机变量、临界观察值与事件临界观察值1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202465王玉顺：数理统计01_概率分布

若X为一连续随机变量，x为任意实数，－∞<x<+∞，则X的分布函数或概率累积函数F(x)定义为：若将X看作数轴上的随机点，那么分布函数F(x)的直观意义就是随机点X落在区间(－∞,x)上的概率。定义域为整个数轴，值域在[0,1]上。(3)分布函数(DistributionFunction)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202466王玉顺：数理统计01_概率分布■不可能事件：事件的概率F(－∞)=0；■必然事件：事件的概率F(+∞)=1■概率本质：■单调非减：(3)分布函数(DistributionFunction)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202467王玉顺：数理统计01_概率分布连续随机变量的分布函数F(x)是事件的概率，是连续函数，其函数曲线呈现为“S”形。(3)分布函数(DistributionFunction)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202468王玉顺：数理统计01_概率分布设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)，即f(x)≥0，使对任意实数x有则称f(x)为连续随机变量X的 概率密度(probabilitydensity)

或密度函数(densityfunction)

或分布密度(distributiondensity)

(4)概率密度(ProbabilityDensity)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202469王玉顺：数理统计01_概率分布■密度非负：■全概积分：■导数关系：1.2.2

连续变量的概率分布(4)概率密度(ProbabilityDensity)概率密度是分布函数的变化速率3/1/202470王玉顺：数理统计01_概率分布概率密度曲线与x轴所围面积等于1；分布函数F(x)值等于密度曲线f(x)、x轴和X=x直线三者所围区域的面积(图中阴影面积)。1.2.2

连续变量的概率分布(4)概率密度(ProbabilityDensity)3/1/202471王玉顺：数理统计01_概率分布即随机变量X落在区间(x1,x2)上的概率，等于分布函数F(x)在该区间上的增量。由公式可知，X取任一定值x1=x2=x的概率为0，这说明，虽然不可能事件的概率等于0，但反过来一个概率等于0的随机事件未必是不可能事件，这一特点是连续随机变量所特有的。公式可用于连续随机变量的概率计算。

(5)区间事件的概率1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202472王玉顺：数理统计01_概率分布(5)区间事件的概率1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202473王玉顺：数理统计01_概率分布高斯(CarlFriedrichGauss,1777—1855)发表于1809年的《绕日天体运动的理论》一书涉及了误差分布的确定问题；设某个物理量的真值为μ，它的n个独立测量值为x1,x2,…,xn，则μ可用最大似然法估计：(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202474王玉顺：数理统计01_概率分布高斯(CarlFriedrichGauss,1777—1855)认为n个独立测量值x1,x2,…,xn的算术平均是μ的合理估计，并证明误差概率密度仅在具有下面形式的条件下，μ的最大似然估计才是n个独立测量值的算术平均，亦即(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202475王玉顺：数理统计01_概率分布拉普拉斯

(Laplace,1749-1827)根据他所发现的中心极限定理推论，若误差可看成许多量的叠加，误差理应有Gauss分布。这是历史上第一次提到所谓的“元误差学说”；元误差学说：误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成；1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出元误差学说。他把误差设想成由数量很多的、独立同分布的“元误差”叠加而成。(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202476王玉顺：数理统计01_概率分布按照海根(G.Hagen)的元误差学说：(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202477王玉顺：数理统计01_概率分布株高分组（cm）组中值（cm）频数频率[164,167)165.51380.06[167,170)168.52760.12[170,173)171.55520.24[173,176)174.56440.28[176,179)177.54140.18[179,182)180.51840.08[182,185)183.5920.04合计2300

1.00

玉米株高观测和频数、频率统计(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202478王玉顺：数理统计01_概率分布玉米株高分布(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202479王玉顺：数理统计01_概率分布Normal分布概要：(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202480王玉顺：数理统计01_概率分布μ固定则概率密度曲线位置不变，曲线形状随σ的增大而峰值降低及两尾变粗和拉长(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202481王玉顺：数理统计01_概率分布σ

固定则概率密度曲线形状不变，位置随μ的增大而右平移(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202482王玉顺：数理统计01_概率分布分布函数形状是S型曲线(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202483王玉顺：数理统计01_概率分布分布函数与概率密度是积分关系(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202484王玉顺：数理统计01_概率分布■对称性：概率密度曲线关于x=μ对称■极值点：x=μ

是概率密度的唯一极值点，其极值为■曲线形状：μ愈大密度曲线中心愈右移

σ愈大密度曲线愈低矮肥胖反之，μ愈小密度曲线中心愈左移

σ愈小密度曲线愈高耸瘦峭(6)正态分布(NormalDistribution)1.2.2

连续变量的概率分布3/1/202485王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3正态分布的概率计算CalculatingtheProbability

basedonNormalDistribution1.2

随机变量及分布3/1/202486王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3

正态分布的概率计算标准正态概率密度标准正态分布函数若X~N(μ,σ2)，当μ=0和σ=1时，称X服从标准正态分布。为区分计，随机变量特别地记作Z，则Z~N(0,1)，概率密度函数特别地记作，分布函数特别地记作。(1)标准正态分布3/1/202487王玉顺：数理统计01_概率分布随机变量变换分布函数变换(2)正态随机变量的标准化变换1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202488王玉顺：数理统计01_概率分布■分布函数计算公式：利用事件不等式的等价变换推导如下：(3)正态变量分布函数的计算1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202489王玉顺：数理统计01_概率分布■区间事件概率计算公式：(4)正态变量区间事件的概率计算1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202490王玉顺：数理统计01_概率分布■对称事件概率计算公式(5)正态变量对称事件的概率计算1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202491王玉顺：数理统计01_概率分布■对立事件概率计算公式：(6)正态变量对立事件的概率计算1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202492王玉顺：数理统计01_概率分布示例：设Z～N(0,1)，试计算：

P(Z<-2.1) P(Z>1.38) P(|Z|<3)(7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202493王玉顺：数理统计01_概率分布利用分布函数定义和对称事件概率计算(7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202494王玉顺：数理统计01_概率分布利用对立事件概率、分布函数定义计算(7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202495王玉顺：数理统计01_概率分布(7)标准正态变量的事件概率计算绝对不等式展开区间事件概率分布函数定义对称事件概率1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202496王玉顺：数理统计01_概率分布三个特殊区间事件及其概率在实际中很有用，应当熟记

(7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202497王玉顺：数理统计01_概率分布示例：设X～N(3,9)，试计算

P(X<-3.3) P(X>7.14) P(|X-3|<6) P(|X-3|>6)(8)一般正态变量的事件概率计算1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202498王玉顺：数理统计01_概率分布(8)一般正态变量的事件概率计算分布函数定义标准化变换对称事件概率1.2.3

正态分布的概率计算3/1/202499王玉顺：数理统计01_概率分布利用标准正态分布计算(8)一般正态变量的事件概率计算对立事件概率分布函数定义标准化变换1.2.3

正态分布的概率计算3/1/2024100王玉顺：数理统计01_概率分布利用标准正态计算(8)一般正态变量的事件概率计算不等式变换标准化变换区间事件概率对称事件概率1.2.3

正态分布的概率计算3/1/2024101王玉顺：数理统计01_概率分布利用标准正态分布计算(8)一般正态变量的事件概率计算对立事件概率不等式变换标准化变换区间事件概率对称事件概率1.2.3

正态分布的概率计算3/1/2024102王玉顺：数理统计01_概率分布(9)计算X落入μ±kσ区间的概率示例：1.2.3

正态分布的概率计算3/1/2024103王玉顺：数理统计01_概率分布利用标准化变换、区间事件概率、标准正态分布函数和对称事件概率推导算式1.2.3

正态分布的概率计算(9)计算X落入μ±kσ区间的概率3/1/2024104王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3

正态分布的概率计算(9)计算X落入μ±kσ区间的概率3/1/2024105王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3

正态分布的概率计算(9)计算X落入μ±kσ区间的概率3/1/2024106王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3

正态分布的概率计算(9)计算X落入μ±kσ区间的概率3/1/2024107王玉顺：数理统计01_概率分布三个特殊区间事件及其概率在实际中很有用，应当熟记

1.2.3

正态分布的概率计算(9)计算X落入μ±kσ区间的概率3/1/2024108王玉顺：数理统计01_概率分布(10)概率0.95和0.99对应的中心区间示例：1.2.3

正态分布的概率计算3/1/2024109王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3

正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间3/1/2024110王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3

正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间3/1/2024111王玉顺：数理统计01_概率分布二组特殊数据在实际中很有用，应当熟记。

一般正态分布概率0.95对应μ±1.96σ区间概率0.99对应μ±2.58σ区间1.2.3

正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间3/1/2024112王玉顺：数理统计01_概率分布标准正态分布概率0.95对应0±1.96区间概率0.99对应0±2.58区间二组特殊数据在实际中很有用，应当熟记。

1.2.3

正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间3/1/2024113王玉顺：数理统计01_概率分布1.3数字特征DigitalCharacteristic

1概率分布3/1/2024114王玉顺：数理统计01_概率分布随机变量的概率密度曲线可用中心、众数、分散、偏倚、峰凸、关联等特征描述，一个特征用一个数值表达就称作随机变量的数字特征(digitalcharacteristic)。数字特征描述了随机变量观察值分布的集中位置、散布状况和偏倚程度等。数字特征由观察值和概率密度为元素构造，最重要的两个数字特征是期望和方差。什么是数字特征？1.3

随机变量的数字特征3/1/2024115王玉顺：数理统计01_概率分布期望：量度观察值分布的“重心”或“中心”方差：量度观察值分布的分散程度协方差：量度两变量观察值的关联程度相关系数：量度两变量观察值的关联程度峰度：量度观察值分布密度相比正态分布的集聚程度偏度：量度观察值分布密度相比正态分布的偏倚程度随机变量的主要数字特征1.3

随机变量的数字特征3/1/2024116王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.1随机变量的矩Moment1.3

随机变量的数字特征3/1/2024117王玉顺：数理统计01_概率分布离散随机变量的k阶原点矩ρ－质量面积密度1.3.1

随机变量的矩（1）k阶原点矩(k-ordermoment)3/1/2024118王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.1

随机变量的矩（1）k阶原点矩(k-ordermoment)连续随机变量的k阶原点矩ρ－质量面积密度3/1/2024119王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.1

随机变量的矩（4）k阶中心矩(centralmoment)离散随机变量的k阶中心矩3/1/2024120王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.1

随机变量的矩（4）k阶中心矩(centralmoment)连续随机变量的k阶中心矩3/1/2024121王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2随机变量的数学期望ExpectationorMean1.3

随机变量的数字特征3/1/2024122王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望随机变量的一阶原点矩，称作随机变量的数学期望，简称期望(expectation)或均值(mean)。期望描述随机变量观察值的集中趋势，即观察值分布的重心；在概率密度分布对称时，也是观察值分布的中心。(1)数学期望(Expectation)3/1/2024123王玉顺：数理统计01_概率分布数学期望的意义概率面积的重心1.3.2

随机变量的数学期望(1)数学期望(Expectation)期望是观察值分布的重心3/1/2024124王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望期望是随机变量观察值分布的重心概率密度分布对称时也是分布中心(1)数学期望(Expectation)期望是观察值分布的重心3/1/2024125王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望离散变量的期望是观察值与概率密度乘积的全部之和(2)离散变量的期望(Expectation)3/1/2024126王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望

E(X)本质上是随机变量X所有观察值的算数平均，这就是为什么期望E(X)又称作均值(mean)的原因。(2)离散变量的期望(Expectation)3/1/2024127王玉顺：数理统计01_概率分布■掷一颗均匀的骰子，以X表示掷出的点数，求X的数学期望。1.3.2

随机变量的数学期望(2)离散变量的期望(Expectation)3/1/2024128王玉顺：数理统计01_概率分布■求随机变量X2的数学期望1.3.2

随机变量的数学期望(2)离散变量的期望(Expectation)3/1/2024129王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望■0-1分布随机变量X的期望(2)离散变量的期望(Expectation)0-1分布的期望3/1/2024130王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望■泊松分布随机变量X的期望(2)离散变量的期望(Expectation)Poisson分布的期望3/1/2024131王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望连续变量的期望是观察值与概率密度乘积的全域积分(3)连续变量的期望(Expectation)3/1/2024132王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望■正态分布随机变量X的期望正态分布N(μ,σ2)中的参数μ恰好是期望(3)连续变量的期望(Expectation)Normal分布的期望3/1/2024133王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望

设C为常数，并离散或连续随机变量X、Y的期望E(X)和E(Y)均存在，则

■常数的期望仍是常数本身：E(C)=C；■常数与变量积的期望等于常数与变量期望的积E(CX)=CE(X)■两变量X与Y和的期望等于变量期望的和E(X+Y)=E(X)+E(Y)■两独立变量X与Y积的期望等于变量期望的积E(XY)=E(X)E(Y)(4)期望的运算法则3/1/2024134王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2

随机变量的数学期望对任意随机变量系有对独立随机变量系有(4)期望的运算法则3/1/2024135王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3随机变量的方差variance1.3

随机变量的数字特征3/1/2024136王玉顺：数理统计01_概率分布设随机变量的期望E(X)存在，若二阶中心矩E[X-E(X)]2

存在，则称它为随机变量X的方差。记作1.3.3

随机变量的方差显然，Var(X)≥0方差是随机变量中心偏差平方的数学期望或：(1)方差(Variance)3/1/2024137王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差离散随机变量方差的定义：连续随机变量方差的定义：(1)方差(Variance)3/1/2024138王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差方差描述随机变量观察值相对于重心(期望)的分散(离散)程度(2)方差的意义方差与观察值的分散程度3/1/2024139王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差方差的平方根称作随机变量X的标准差(standarddeviation)。记作显然，σ≥0标准差与随机变量X具有相同的量纲(3)标准差(StandardVariance)标准差与观察值的分散程度3/1/2024140王玉顺：数理统计01_概率分布由数学期望运算法则推导如下：1.3.3

随机变量的方差(4)方差计算公式3/1/2024141王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差概率矩阵：期望：(5)0-1分布随机变量的方差3/1/2024142王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差泊松随机变量的方差和期望相同，说明其分布可由唯一参数λ所完全确定。(6)Poisson分布随机变量的方差3/1/2024143王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差正态随机变量的方差恰好是概率密度中的参数σ2，正态分布由期望和方差所完全确定(7)Normal分布随机变量的方差3/1/2024144王玉顺：数理统计01_概率分布

设C为常数，并离散或连续随机变量X、Y的方差Var(X)和Var(Y)均存在，则

■常数的方差等于0：Var(C)=0；■常数与变量积的方差等于常数平方与变量方差的积Var(CX)=C2Var(X)■两独立变量X与Y代数和的方差等于变量方差的和Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)■变量X与常数C之和的方差等于变量的方差

Var(X+C)=Var(X)1.3.3

随机变量的方差(8)方差运算法则3/1/2024145王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差对独立随机变量系有(8)方差运算法则3/1/2024146王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差设随机变量X的期望E(X)和方差Var(X)均存在，则下面随机变量X*称作随机变量的标准化变换：

随机变量的标准化变换等于随机变量减去期望再除以标准差(9)随机变量的标准化变换随机变量标准化变换公式3/1/2024147王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差标准化随机变量的期望等于0(9)随机变量的标准化变换标准化随机变量的期望3/1/2024148王玉顺：数理统计01_概率分布标准化随机变量的方差等于11.3.3

随机变量的方差(9)随机变量的标准化变换标准化随机变量的方差3/1/2024149王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差泊松分布随机变量的标准化变换：(9)随机变量的标准化变换Poisson随机变量的标准化变换3/1/2024150王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3

随机变量的方差正态随机变量的标准化变换：(9)随机变量的标准化变换Normal随机变量的标准化变换3/1/2024151王玉顺：数理统计01_概率分布1.4大数定律LawofLargeNumber1

概率分布3/1/2024152王玉顺：数理统计01_概率分布大数定律的诞生背景什么是大数定律？均值大数定律频率大数定率小概率事件原理1.4

大数定律本节内容3/1/2024153王玉顺：数理统计01_概率分布大数定律背景：事件的大量独立重复试验大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……3/1/2024154王玉顺：数理统计01_概率分布1.4

大数定律大数定律(lawoflargenumber)研究两个问题：(1)变量n次观测的均值(mean)随n无限增大是否趋向某定值的问题，称作均值的稳定性；(2)变量n次观测的频率(frequency)随n无限增大是否趋向某定值的问题，称作频率的稳定性。如果“n无限增大均值或频率就趋于一个定值”，此时称均值或频率具有稳定性。什么是大数定律？3/1/2024155王玉顺：数理统计01_概率分布1.4

大数定律大数定律在统计实践中有重要意义，它是许多统计方法赖以成立的理论依据。例如实际问题中，随机变量的概率分布、期望和方差等往往是无法得知的，但只要做足够多的独立重复试验，根据大数定律，就可将观测样本的频率、均值和方差当作被抽样总体的概率、期望和方差，称为统计估计。“大数”就是“足够多”或“大量”的意思。什么是大数定律？3/1/2024156王玉顺：数理统计01_概率分布1.4

大数定律1.4.1均值大数定律LawofLargeNumberonSampleMean3/1/2024157王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.1

均值大数定律随机变量系X1,X2,Xn,…是随机变量X的若干次观测，且彼此独立，并具有相同的期望E(Xi)=μ和方差Var(Xi)=σ2，i=1,2,…，做前n次观测的平均，则对于任意小正数ε，有契比雪夫

(1)契比雪夫大数定律3/1/2024158王玉顺：数理统计01_概率分布契比雪夫大数定律说明，相同条件下对随机变量X做重复独立试验，当试验次数n趋于无穷大时，n次试验结果的均值与期望之间的误差小于任意小正数是必然事件，有两个要点：试验次数n愈大，均值就愈靠近期望，即它们的差异愈小；只要n充分大，就可用样本均值估测期望1.4.1

均值大数定律(2)契比雪夫大数定律的内涵均值以概率1收敛于期望3/1/2024159王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.1

均值大数定律大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性

n愈大均值的观察值愈集中在期望附近。(2)契比雪夫大数定律的内涵3/1/2024160王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.1

均值大数定律收割n个有代表性的地块，且n充分大，计算n个地块的平均产量，该平均产量作为整个地区平均产量的估计。(3)契比雪夫大数定律的应用3/1/2024161王玉顺：数理统计01_概率分布1.4