高中数学课件(必修一)：1.3.1-函数的单调性

1.3.1函数的单调性函数的根本性质思考1：观察以下各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律注意：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。思考2：能否根据自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？〔1〕如果函数在某个区间上随着自变量x的增大，y也越来越大，我们就说函数在该区间上为增函数。〔2〕如果函数在某个区间上随着自变量x的增大，y越来越小，我们就说函数在该区间上为减函数。二、新知探究解析法图像法通俗语言：在区间〔0，+∞〕上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。数学语言：在区间〔0，+∞〕上，任取，得

当时，有。这时我们就说函数在区间〔0，+∞〕上是增函数x…01234…f(x)…014916…列表法0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象

y=f(x)

y=f(x)图象特征数量

特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象

y=f(x)

y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量

特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象

y=f(x)

y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量

特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象

y=f(x)

y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量

特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象

y=f(x)

y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量

特征y随x的增大而增大y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象

y=f(x)

y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量

特征y随x的增大而增大当x1＜x2时，f(x1)<f(x2)y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象

y=f(x)

y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量

特征y随x的增大而增大当x1＜x2时，f(x1)<f(x2)y随x的增大而减小当x1＜x2时，f(x1)>f(x2)那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，I称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出单调增函数和单调减函数的定义.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.如果对于属于定义域A内某个区间I，x1,x2I设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.如果对于属于定义域A内某个区间I上x1,x2I

那么就说在f(x)这个区间上是单调增

函数，I称为f(x)的单调区间.增当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<>单调区间〔2〕函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;〔1〕如果函数y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；xyo〔2〕函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;〔1〕如果函数y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么函数f(x)在R上是增函数；〔3〕x1,x2取值的任意性yxO12f(1)f(2)yoxoyxyox在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在增函数在减函数yoxyoxyox在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数在增函数在减函数例1：以下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图像说出函数的单调区间以及每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]

其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。《学习的艺术》P17根底练习2单调递减区间：[-2，1]，[3，5]单调递增区间：[1，3]看以下函数图象,以下各函数有没有单调区间,假设有写出其单调区间.图1图3图2没有单调区间减区间增区间没有单调区间例2.写出单调区间数缺形时少直观xy_____________,讨论1：？不能——数形结合的思想《学习的艺术》：P17根底练习1要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地说，它还需要进行证明。例3〔1〕证明函数f(x)=-3x+2在R上是减函数。分析：按定义只需设x1,x2是R上的任意两个实数，

当x1<x2，我们来证明f(x1)＞f(x2)。证明：x1,x2R,且x1<x2，f(x1)-f(x2)=(-3x1+2)-(-3x2+2)=3(x2-x1)由x1<x2，得x2-x1＞0于是f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)所以，函数f(x)=-3x+2在R上是减函数。取值作差变形定号下结论三．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1取值：x1，x2∈D，且x1<x2；2作差：f(x1)－f(x2)；3变形：通常是因式分解和配方；4定号：即判断差f(x1)－f(x2)的正负；5下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性．x1,x2[0，+∞〕,且x1<x2，那么：由0≤x1<x2得且于是f(x1)-f(x2)＜0。即f(x1)＜f(x2)所以函数在区间[0，+∞）上为增函数。取值作差变形定号下结论证明:例4证明函数在区间[0，+∞）上为增函数。练一练试用定义法证明函数在区间上是单调增函数。返回是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解方程（2）解不等式（3）求适合的的取值范围思考成果运用若二次函数的单调增区间是，则a的取值情况是（）

变式1变式2请你说出一个单调减区间是的二次函数变式3请你说出一个在上单调递减的函数若二次函数

在区间

上单调递增，求a的取值范围。

A.B.C.D.(2)在区间（0，+∞）上是增函数的是（）(3)函数f(x)=的单调区间为________成果运用若二次函数

在区间

上单调递增，求a的取值范围。

解：二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.

oxy1xy1o

小结1.函数单调性的定义中有哪些关键点？2.判断函数单调性有哪些常用方法？3.你学会了哪些数学思想方法？作业2、证明函数f（x）=-x2在上是减函数。3、证明函数f（x）=在上是单调递增的。(选做)1、教材p391，2，3，44，0，9，32，72，134，〔〕思考题225数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系莫分离.

——华罗庚判断题：〔1〕f(x)=，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是增函数。〔2〕假设函数f(x)满足f(2)<f(3),那么函数f(x)在区间[2，3]上为增函数。〔3〕假设函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，那么函数f(x)在(1，3)上为增函数。〔4〕因为函数f(x)=在区间〔-∞，0〕和〔0，+∞〕上都是减函数，所以f(x)=在〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕上是减函数。例5：证明函数上是增函数。例6：证明函数在R上是增函数。证明：任取例7：证明函数在其定义域内是减函数。例7：证明函数在其定义域内是减函数。思考例1〔1〕如果函数f(x)在区间D上是增函数，函数g(x)在区间D上是增函数。问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？为什么？所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数是〔2〕如果函数f(x)在区间D上是减函数，函数g(x)在区间D上是减函数。问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？为什么？〔3〕如果函数f(x)在区间D上是减函数，函数g(x)在区间D上是增函数。问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数此时F(x)=f(x)+g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性不能是例2如果是[m,n]上的减函数，且，是[a,b]上的增函数，求证在[m,n]上也是减函数。复合函数:判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。定义域：1、假设的定义域为[a,b],那么复合函数的定义域由