第15讲 时谐电磁场(I)

电磁场与电磁波Field

and

Wave

Electromagnetics主讲：史琰Review2024/3/1shiyan@2时变电磁场的独立方程时变电磁场的边界条件本构关系坡印亭定理(Poynting’sTheorem)V根据矢量恒等式2024/3/1shiyan@3表达时变电磁场中能量守恒和转换关系的定理1884年由英国物理学家坡印亭(John.H.Poynting)提出考虑电磁场存在于一有耗的导电媒质中，其中自由电流源密度为。在该媒质中，两个Maxwell旋度方程为坡印亭定理在体积V上积分可得一般介质中的坡印亭定理：2024/3/1shiyan@4坡印亭定理矢量恒等式各向同性线性介质的本构方程2024/3/1shiyan@5时变电磁场的能量各向同性线性介质的坡印亭定理Note1：we=1/2(D·E)为电场能量密度（单位是J/m3）Note2：wm=1/2(B·H)为磁场能量密度（单位是J/m3）Note3：方程右侧体积分第一项表示了储存在V中电磁

能量随时间的增加率（单位是W）Note4：方程右侧体积分第二项表示了体积V中的热损

耗功率（单位是W）（单位时间以热能形式损耗在体积V内的能量）Note5：方程左侧的体积分表示了体积V中的源产生

的功率（单位是W）2024/3/1shiyan@6时变电磁场的能量根据能量守恒定理，上式中的面积分必定代表单位时间内穿过体积V的表面S流出体积V的电磁能量。定义：Note1：坡印廷矢量，单位是W/m2Note2：通过S面上单位面积的电磁功率Note3：坡印亭矢量也称为电磁功率流密度或能流密度其方向代表该点功率流方向其大小代表通过与能量流动方向垂直的单位面积的功率2024/3/1shiyan@7时变电磁场的能量空间任一点处能量密度变化实际上，坡印亭矢量并不一定代表真实的电磁功率流密度

表示了流出封闭面的总能流；有电磁场存在的地方就有，但这并不表示该处一定有能量的流动；真正表示空间任一点处能量密度变化的是.2024/3/1shiyan@8时变电磁场的能量静电场和静磁场中的坡印亭矢量自由电流为零

媒质无耗

场中任何一点，单位时间流出包围体积V表面的总能量为零，即没有电磁能量流动在静电场和静磁场情况下，并不代表电磁功率流密度。2024/3/1shiyan@9时变电磁场的能量恒定电流场坡印亭矢量自由电流为零

恒定电流场中，

可代表通过单位面积的电磁功率流通过S面流入V内的电磁功率等于V内的损耗功率2024/3/1shiyan@10时变电磁场的能量时变电磁场中的坡印亭矢量(自由电流为零)

代表瞬时功率流密度坡印亭矢量通过任意截面积的面积分代表瞬时功率2024/3/1shiyan@11时变电磁场的能量例4试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长 直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。[解]一段长度为l的长直导线，其轴线 与圆柱坐标系的z轴重合，直流电 流均匀分布在导线的横截面上焦耳定律 安培环路定理b2024/3/1shiyan@12时变电磁场的能量导线表面的坡印廷矢量方向指向导线的表面。坡印廷矢量沿导线段表面积分：b从导线表面流入的电磁能流等于导线内部欧姆热损耗功率2024/3/1shiyan@13时变电磁场的能量例5一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外 导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流 电流I，内、外导体间的电压为U。求同轴线的传输功 率和能流密度矢量[解]设内导体单位长度带电为ρl

考虑同轴线对称性，由高斯定理2024/3/1shiyan@14时变电磁场的能量由安培环路定律坡印亭矢量为电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为2024/3/1shiyan@15第15讲时谐电磁场(I)正弦电磁场正弦电磁场的复数表示麦克斯韦方程组的复数形式复介质参数复坡印亭矢量复坡印亭定理2024/3/1shiyan@16正弦电磁场正弦电磁场的研究是一切时变电磁场的基础2024/3/1shiyan@17时变电磁场，场量和场源既是时间的函数也是空间的函数时变电磁场理论适用于任何时变场正弦电磁场——时谐(timeharmonic)电磁场任意点的场矢量的每一坐标分量随时间以相同的频率作正弦或余弦变化在正弦稳态条件下，单频正弦场源在麦克斯韦方程组的约束下激励的场强矢量各个坐标分量仍是同频的正弦时间函数正弦电磁场的研究意义工程中激发电磁场的源多为正弦激励方式通过傅里叶变换理论，任何时变电磁场都可以表示成为各个单频正弦电磁场分量的叠加或积分正弦电磁场的复数表示振幅值角频率初相角2024/3/1shiyan@18正弦电磁场的复数表示时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其振幅和初相也都是空间坐标的函数。在直角坐标系中，电场强度表示为正弦电磁场的复数表示一一对应复振幅时间因子2024/3/1shiyan@19利用复数或相量来描述正弦电磁场场量使数学运算简化：与电路理论中的处理相似对时间变量t进行降阶(把微积分方程变为代数方程)减元(消去各项的共同时间因子ejωt)正弦电磁场的复数表示2024/3/1shiyan@20复振幅仅是空间坐标的函数复振幅包含场量的初相位，故复振幅也称相量(phasor)Ex可以由复振幅与时间因子乘积的实部确定；复振幅与Ex相互对应，也称为Ex的复数形式；正弦电磁场的复数表示复(振幅)矢量四维函数←→三维函数2024/3/1shiyan@21电场强度矢量的复数表示正弦电磁场的复数表示2024/3/1shiyan@22例1将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或 作相反的变换[解]正弦电磁场的复数表示2024/3/1shiyan@23例2将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式[解]麦克斯韦方程组的复数形式复数运算中，复数的微分运算以及积分运算可以对实部和虚部分别进行运算其中L为实线性算子对于复数表示的电磁场场量的相应运算亦可利用该性质：2024/3/1shiyan@24麦克斯韦方程组的复数形式对于任意时刻t上式都成立复数形式的全电流定理2024/3/1shiyan@25麦克斯韦方程组的复数形式2024/3/1shiyan@26复数形式(频域形式)的麦克斯韦方程组复数形式的电流连续性方程麦克斯韦方程组的复数形式2024/3/1shiyan@27瞬时值表示的麦克斯韦方程组可以用复数形式来描述：场量和场源的瞬时值换成对应复数形式；对于微分方程，将时间求导运算换成jω；麦克斯韦方程组由四变量函数转换成三变量函数；麦克斯韦方程组的微分形式由偏微分方程转换成了代数方程；为书写方便，复振幅上的小点以后略去不标。麦克斯韦方程组的复数形式2024/3/1shiyan@28相量形式的Maxwell方程不仅限于时谐问题，实际上适应于任意的时变问题。由傅里叶(Fourier)变换可知称为的傅里叶变换；将傅里叶变换应用于场量和源，例如电场强度麦克斯韦方程组的复数形式2024/3/1shiyan@29将傅里叶变换代入Maxwell方程，例如法拉第电磁感应定律由于傅里叶变换的Maxwell方程中包含角频率，故其称之为谱域或频域中的Maxwell方程。任一时变场量都可以首先求解它的傅里叶变换，再利用频域中的Maxwell方程求得对应场量，最后做傅里叶逆变换得到相应的时变量。这与相量的形式相同复介质参数极化磁化传导介电常数(电容率)磁导率电导率实常数静态场时变电磁场正数复数2024/3/1shiyan@30介质在电磁场作用下呈现三种状态，且可用一组宏观电磁参数来表征：复介质参数Note3:复介电常数的虚部反映介质的极化损耗。2024/3/1shiyan@31Note1：复数宏观电磁参数表明，同一介质在不同频率的 场作用下，可以呈现不同的介质特性；Note2：金属导体的电导率在直到红外线的整个射频范围 内均可看作实数，且与频率无关。复介质参数单位体积的极化损耗功率与介电常数的虚部成正比磁导率的虚部同样反映磁介质的磁化损耗，且与磁化损耗功率成正比等效位移电流等效复介电常数2024/3/1shiyan@32复介质参数除了电介质损耗外，同时考虑电导率，则损耗角正切：2024/3/1shiyan@33损耗角复介电常数和复磁导率幅角称损耗角；分别δε、δμ用表示；损耗角正切：给定频率上损耗角正切的大小反映介质在该频率的损耗大小。复介质参数等效复介电常数导电媒质中的传导电流和位移电流可以用一个等效的位移电流代替；导电媒质的电导率和介电常数的总效应可用一个等效复介电常数表示；导体视为一种等效的有耗电介质；有耗介质及理想介质中的麦克斯韦方程组在形式上可以完全统一，只需用εc、μc代替理想介质中的ε、μ等效复介电常数等效位移电流2024/3/1shiyan@34复坡印亭矢量2024/3/1shiyan@35对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时：复坡印亭矢量2024/3/1shiyan@36对于正弦电磁场，场量随时间作周期性的简谐变化，每一点处瞬时电磁功率密度的时间平均值更具有时间意义：Note1：周期T=2π/ω；Note2：为复坡印廷矢量，与时间t无关，表示复功率 流密度；Note3：实部为平均功率流密度(有功功率流密度)，虚 部为无功功率流密度；Note4：Sav称为平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量复坡印亭矢量2024/3/1shiyan@37电场能量密度、磁场能量密度的复数表示及平均值：复坡印亭矢量2024/3/1shiyan@38源输出功率密度、导电损耗功率密度的复数表示及平均值：各向同性线性介质的坡印亭定理（无介质损耗情况下）时间平均的坡印亭定理复坡印亭定理2024/3/1shiyan@39考虑矢量恒等式复坡印亭定理2024/3/1shiyan@40复矢量表示的坡印廷定理，称为复坡印廷定理若设宏观电磁参数σ为实数，磁导率和介电常数为复数复坡印亭定理这里pav,c、pav,e、pav,m分别是单位体积内的导电损耗功率、极化损耗功率和磁化损耗功率的时间平均值。分别取实部和虚部：2024/3/1shiyan@41复坡印亭定理2024/3/1shiyan@42对于一个任意的时谐场，电场与磁场通常有一个相位差。电场能量在某些时刻达到最大值，磁场能量在其他的时刻达到最大值。在一个周期中，在某个时刻部分磁场能量转换为电场能量，在另一时刻，部分电场能量转换为磁场能量，这就类比于LC振荡电路，即在某一时刻电感中储存的能量转换为电容中的能量，在另一时刻电容中储存的能量转换为电感中的能量。假定在体积V中，最大的电场能量大于最大的磁场能量，当电场能量达到最大值时，此时额外的功率被需要。在另一时刻，当电场能量减小，磁场能量达到最大值时，这部分功率就必须消失。这部分额外的功率称为感应功率(reactivepower)。由功率守恒可知，这部分功率要么来自于源，要么来自于体积V的外部。时间平均的坡印亭定理复坡印亭定理2024/3/1shiyan@43若感应功率来自于源的功率在一个周期内，在某一时刻被源产生，在另一时刻被源拿走。类似地，若感应功率来自于体积V的外部的功率，在一个周期内，在某一时刻进入体积V中，在另一时刻又离开体积V中。进一步考虑时变的情况复坡印亭定理例3已知无源