2021新高考数学新课程一轮复习学案第二章第1讲函数及其表示

第二章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示[考纲解读]1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(重点)3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.1．函数及有关概念(1)函数的概念设A，B是eq\o(□,\s\up3(01))非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的eq\o(□,\s\up3(02))任意一个数x，在集合B中都有eq\o(□,\s\up3(03))唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作eq\o(□,\s\up3(04))y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的eq\o(□,\s\up3(05))定义域；与x的值相对应的y值叫做eq\o(□,\s\up3(06))函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的eq\o(□,\s\up3(07))值域．(3)函数的三要素：eq\o(□,\s\up3(08))定义域、eq\o(□,\s\up3(09))对应关系和eq\o(□,\s\up3(10))值域．(4)相等函数：如果两个函数的eq\o(□,\s\up3(11))定义域和eq\o(□,\s\up3(12))对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有eq\o(□,\s\up3(01))解析法、eq\o(□,\s\up3(02))图象法和eq\o(□,\s\up3(03))列表法．3．分段函数(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的eq\o(□,\s\up3(01))对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(2)分段函数的相关结论①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的eq\o(□,\s\up3(02))并集，值域等于各段函数的值域的eq\o(□,\s\up3(03))并集．1．概念辨析(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.()(2)分段函数是由两个或几个函数组成的．()(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．()(4)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小题热身(1)函数y＝eq\r(2x－3)＋eq\f(1,x－3)的定义域为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3≥0，,x－3≠0，))解得x≥eq\f(3,2)且x≠3，所以已知函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))∪(3，＋∞)．(2)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(eq\r(x＋1))2 B．y＝eq\r(3,x3)＋1C．y＝eq\f(x2,x)＋1 D．y＝eq\r(x2)＋1答案B解析对于A，函数y＝(eq\r(x＋1))2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝eq\f(x2,x)＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(3)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2，x≤0，,2x－4，x>0，))则f[f(1)]的值为()A．－10B．10C．－2D．2答案C解析f(1)＝21－4＝－2，f[f(1)]＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2.(4)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．(图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交)答案[－3,0]∪[1,4)[1，＋∞)[1,2)∪(5，＋∞)解析观察函数y＝f(x)的图象可知，f(x)的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，当y∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的x值与之对应．(5)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x2＋5x，则f(x)＝________.答案eq\f(5x＋1,x2)(x≠0)解析令t＝eq\f(1,x)，则t≠0，x＝eq\f(1,t)，f(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))2＋5·eq\f(1,t)＝eq\f(5t＋1,t2).所以f(x)＝eq\f(5x＋1,x2)(x≠0)．题型一函数的定义域1．函数y＝eq\f(lg2－x,\r(12＋x－x2))＋(x－1)0的定义域是()A．{x|－3＜x＜1} B．{x|－3＜x＜2且x≠1}C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}答案B解析要使函数解析式有意义，须有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＞0，,12＋x－x2＞0，,x－1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜2，,－3＜x＜4，,x≠1，))所以－3＜x＜2且x≠1.故已知函数的定义域为{x|－3＜x＜2且x≠1}．2．函数f(x)的定义域是[2，＋∞)，则函数y＝eq\f(f2x,x－2)的定义域是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[1,2)∪(2，＋∞) D．[2，＋∞)答案C解析依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x≥2，,x－2≠0，))解得x≥1且x≠2，所以函数y＝eq\f(f2x,x－2)的定义域是[1,2)∪(2，＋∞)．3．(2020·安阳三校联考)若函数f(x)＝eq\r(mx2＋mx＋1)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A．[0,4) B．(0,4)C．[4，＋∞) D．[0,4]答案D解析由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,m2－4m≤0，))解得0<m≤4.综上可得，0≤m≤4.1.函数y＝f(x)的定义域2.抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出．如举例说明2中f(x)的定义域是[2，＋∞)，f(2x)中x应满足2x≥2.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.3.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．如举例说明3.(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.1.函数f(x)＝eq\r(－x2＋9x＋10)－eq\f(2,lnx－1)的定义域为()A.[1,10] B．[1,2)∪(2,10]C.(1,10] D．(1,2)∪(2,10]答案D解析要使原函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋9x＋10≥0，,x－1＞0，,x－1≠1，))解得1＜x≤10且x≠2，所以函数f(x)＝eq\r(－x2＋9x＋10)－eq\f(2,lnx－1)的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.2.(2020·东北师大附中摸底)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))的定义域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))答案C解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＋\f(1,2)≤2，,0≤x－\f(1,2)≤2，))解得eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2)，所以函数g(x)的定义域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).3.已知函数y＝eq\f(1,kx2＋2kx＋3)的定义域为R，则实数k的取值范围是________.答案[0,3)解析当k＝0时，y＝eq\f(1,3)，满足条件；当k≠0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＞0，,4k2－12k＜0，))得0＜k＜3.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,4k2－12k<0，))无解.综上，0≤k＜3.题型二求函数的解析式1.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－1))＝lgx，则f(x)＝________.答案lgeq\f(2,x＋1)(x>－1)解析令t＝eq\f(2,x)－1，则由x>0知eq\f(2,x)－1>－1，x＝eq\f(2,t＋1)，所以由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－1))＝lgx，得f(t)＝lgeq\f(2,t＋1)(t>－1)，所以f(x)＝lgeq\f(2,x＋1)(x>－1).2.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋x－2，则f(x)＝________.答案x2－2(x≥2或x≤－2)解析因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋x－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2－2，且当x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2；当x<0时，x＋eq\f(1,x)≤－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2).3.已知f(x)是二次函数且f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.答案eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋5解析因为f(x)是二次函数且f(0)＝5，所以设f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0).又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1＝0，,a＋b＋1＝0，))解得a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(3,2)，所以f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋5.4.已知f(x)满足2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)＝________.答案2x－eq\f(1,x)(x≠0)解析因为2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①所以将x用eq\f(1,x)替换，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x)，②由①②解得f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0).求函数解析式的四种方法1.若函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则函数f(x)的解析式为________.答案f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3解析设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－3，))∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.2.已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则函数f(x)的解析式为________.答案f(x)＝x2－1(x≥1)解析解法一：∵f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，且eq\r(x)＋1≥1.∴f(x)＝x2－1(x≥1).解法二：设t＝eq\r(x)＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1).题型三分段函数角度1求分段函数的函数值1.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log5x，x＞0，,2x，x≤0，))则feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))))等于()A.4B.eq\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)答案B解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))＝log5eq\f(1,25)＝－2，feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))))＝f(－2)＝eq\f(1,4).角度2分段函数与方程、不等式的综合问题2.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋a，x<1，,2x，x≥1，))若feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))))＝4，则实数a＝()A.－eq\f(2,3) B．－eq\f(4,3)C.－eq\f(4,3)或－eq\f(2,3) D．－2或－eq\f(2,3)答案A解析因为eq\f(2,3)<1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝4×eq\f(2,3)＋a＝a＋eq\f(8,3).若a＋eq\f(8,3)≥1，即a≥－eq\f(5,3)时，2eq\s\up15(a＋eq\f(8,3))＝4，即a＋eq\f(8,3)＝2⇒a＝－eq\f(2,3)>－eq\f(5,3)(成立)；若a＋eq\f(8,3)<1，即a<－eq\f(5,3)时，则4a＋eq\f(32,3)＋a＝4，即a＝－eq\f(4,3)>－eq\f(5,3)(舍去)，综上a＝－eq\f(2,3).3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是()A.(－∞，－1] B．(0，＋∞)C.(－1,0) D．(－∞，0)答案D解析将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x<0，,2x<x＋1，))解得x<0，所以满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(－∞，0)．故选D.1.求分段函数的函数值(1)基本步骤①确定要求值的自变量属于哪一区间.②代入该区间对应的解析式求值.(2)两种特殊情况①当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．如举例说明1.②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．如举例说明2，求出feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))后再求feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\