高考数学人教B版一轮复习测评4-7正弦定理余弦定理的应用举例

核心素养测评二十四正弦定理、余弦定理的应用举例(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为 ()A.10km B.10QUOTEkmC.10QUOTEkm D.10QUOTEkm【解析】选D.由余弦定理得,AC2=AB2+CB22AB·CB·cos120°=102+2022×10×20×QUOTE=700.所以AC=10QUOTE(km).2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,A.QUOTE小时 B.QUOTE小时C.QUOTE小时 D.QUOTE小时【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=104x,BD=6x,∠CBD=120°,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD22BC·BD·cos∠CBD=(104x)2+36x2+2×(104x)×6x×QUOTE=28x220x+100,所以当x=QUOTE时两船相距最近.3.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,A.(30+30QUOTE)m B.(30+15QUOTE)mC.(15+30QUOTE)m D.(15+15QUOTE)m【解析】选A.在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60m,sin15°=sin(45°30°)=sin45°cos30°cos45°sin30°=QUOTE.由正弦定理得PB=QUOTE=30(QUOTE+QUOTE)(m),所以建筑物的高度为PBsin45°=30(QUOTE+QUOTE)×QUOTE=(30+30QUOTE)m.4.已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2km,B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为QUOTEkm,则A,B两船的距离为 ()A.QUOTEkm B.QUOTEkmC.2QUOTEkm D.3QUOTEkm【解析】选A.画出图形如图所示,由题意可得∠ACB=(90°25°)+85°=150°,又AC=2,BC=QUOTE.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos150°=13,所以AB=QUOTE,即A,B两船的距离为QUOTEkm.5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,从点A沿北偏东30°方向前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,A.50m B.100C.120m D.150【解析】选A.设水柱高度是h,水柱底端为C,则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,BC=QUOTEh,根据余弦定理得,(QUOTEh)2=h2+10022·h·100·cos60°,即h2+50h5000=0,即(h50)(h+100)=0,解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是50m.6.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于 ()导学号A.5QUOTE B.15QUOTE C.5QUOTE D.15QUOTE【解析】选D.在△BCD中,∠CBD=180°15°30°=135°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=15QUOTE.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15QUOTE×QUOTE=15QUOTE.7.长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处的2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由已知,在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理得AB2=AC2+BC22·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.822×1.4×2.8×cos(πα),解得cosα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,所以tanα=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,为了测量河对岸的塔高AB,选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D,现测得∠ACB=45°,∠ADB=30°,∠BCD=60°,CD=20m,则塔高AB=【解析】设塔高AB=hm,在Rt△ABC中,因为∠ACB=45°,所以BC=AB=hm,在Rt△ABD中,因为∠ADB=30°,所以BD=QUOTEhm,在△BCD中,∠BCD=60°,CD=20,由余弦定理得BD2=CD2+BC22CD·BCcos60°,即3h2=400+h220h,解得h=10.答案:109.(2020·烟台模拟)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上,仰角为α,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为β,若β=45°,则此山的高度CD=________米,仰角α的正切值为________【解析】设山的高度CD=x米,由题可得:∠CAB=45°,∠ABC=105°,AB=300米,∠CBD=45°,在△ABC中,可得:∠ACB=180°45°105°=30°,利用正弦定理可得:QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得:CB=300QUOTE米,AC=150QUOTE米.在Rt△BCD中,由∠CBD=45°可得:x=CB=300QUOTE在Rt△ACD中,可得:tanα=QUOTE=QUOTE=QUOTE1.答案:300QUOTEQUOTE110.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向,且与A相距10海里的C处,沿东偏南15°的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为________小时. 导学号

【解析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时,如图,在△ABC中,AC=10海里,AB=21x海里,BC=9x海里,∠ACB=120°.由余弦定理得(21x)2=100+(9x)22×10×9x×cos120°,整理,得36x29x10=0,解得x=QUOTE或x=QUOTE(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为QUOTE小时.答案:QUOTE(15分钟35分)1.(5分)如图,要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°.在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距600m,则铁塔ABA.120QUOTEm B.480mC.240QUOTEm D.600m【解析】选D.设AB=x,则BC=x,BD=QUOTEx,在△BCD中,由余弦定理知cos120°=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得x=600m,(x=300舍去).故铁塔AB的高度为600m.2.(5分)如图,为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度,在海岸上选取距离1千米的两个观察点C,D,在某天10:00观察到该船在A处,此时测得∠ADC=30°,2分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则船速为________千米/分钟【解析】在△BCD中,∠BDC=30°+60°=90°,CD=1,∠BCD=45°,所以BC=QUOTE.在△ACD中,∠CAD=180°(60°+45°+30°)=45°,所以QUOTE=QUOTE,AC=QUOTE.在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos60°=QUOTE,所以AB=QUOTE,所以船速为QUOTE=QUOTE千米/分钟.答案:QUOTE3.(5分)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°,两个观察点A,B之间的距离是100米,则此座山CD的高度为________米【解析】设山高CD为x米,在Rt△BCD中,有BD=CD=x米,在Rt△ACD中,有AC=2x米,AD=QUOTEx米.而AB=ADBD=(QUOTE1)x=100.解得:x=50QUOTE+50.答案:(50QUOTE+50)4.(10分)已知岛A南偏西38°方向,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船? 导学号【解析】如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x海里,AC=5海里,由已知,∠BAC=180°38°22°=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB·ACcos120°,所以BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,所以缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.5.(10分)已知在东西方向上有M,N两座小山,山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100m和BN=200m,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°,该测量车向北偏西60°方向行驶了100QUOTEm后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ,且∠BQA=θ,tanθ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离. 导学号【解析】在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100m,所以PM=100QUOTE连接QM,在△PQM中,∠QPM=60°,又PQ=100QUOTE所以△PQM为等边三角形,所以QM=100QUOTE在Rt△AMQ中,由AQ2=AM2+QM2得AQ=200m.在Rt△BNQ中,tanθ=2,BN=200m,所以BQ=100QUOTEm,cosθ=QUOTE.在△BQA中,BA2=BQ2+AQ22BQ·AQcosθ=(100QUOTE)2,所以BA=100QUOTE.所以两发射塔顶A,B之间的距离是100QUOTE1.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角).若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tan导学号A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由已知,在Rt△ABC中,sin∠ACB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,则cos∠ACB=QUOTE.作PH⊥BC,垂足为H,连接AH,如图所示.设PH=xm,则CH=QUOTExm,在△ACH中,由余弦定理得AH=QUOTE=QUOTE,tan∠PAH=QUOTE=QUOTE,当QUOTE=QUO