第06讲导数在研究函数中的应用（3个知识点方法练创新练成果练）

第06讲导数在研究函数中的应用（3个知识点+方法练+创新练+成果练）【目录】【新知讲解】知识点1.函数的单调性知识点2.函数的极值知识点3.函数的最大（小）值【方法练】【创新练】【成果练】【知识导图】【新知讲解】知识点1.函数的单调性一、函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减二、利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求出导数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．三、函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)例一、单选题1．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数的导函数为，若，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，通过题意判断出在上单调递减，将所求转化为即可求解.【详解】设，则，因为，所以，所以在上单调递减．因为，所以，又不等式可转换为，即，所以，解得．故选：C．2．（2024·全国·模拟预测）已知是可导函数，且对于恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造，求导，得到其单调性，从而结合得到答案.【详解】设，则．因为，所以，所以是R上的增函数，因为，所以，即，即．故选：C．例二、多选题3．（2023上·江苏·高二期末）已知函数，，，则实数a的值可能为（）A．2 B．3 C．4 D．e【答案】AD【分析】根据函数解析式，作出函数图象，结合导数的几何意义，求出曲线在时的切线或确定x>0时无限接近的直线，数形结合，确定a的取值范围，结合选项，即可得答案.【详解】x>0时，,，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故结合指数函数以及x>0时函数的单调性作出的图象：因为时，，，故设过点的切线的切点坐标为，则，即，则该切线斜率为，过点的切线方程为；对于x>0时，时，当取无限大时，趋近于0，即无限接近于，且，故要使得，成立，结合图象，可得且，即，结合选项可知，符合题意，故选：AD4．（2023·云南红河·统考一模）已知则（

）A．的值域为B．是奇函数C．若为函数的零点，且，则D．的单调递增区间为【答案】BC【分析】选项A：将然后判断函数值域；选项B：根据奇函数的定义证明；选项C：根据函数的周期和零点计算求解；选项D：判断函数在的单调性，然后结合函数的偶函数性质求解函数的单调递增区间；【详解】对于A，当，，选项A错误；对于B，，故B正确．对于C，显然函数满足且关于对称，所以是以为周期的函数，又因为，所以，故C正确．对于D，当时，，，所以在上单调递减，又因为是以为周期的偶函数，所以的单调递增区间为，故D错误．故选：BC．5．（2023下·高二单元测试）函数的单调减区间可以为（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，令，解得或，结合选项可知函数的单调减区间可以为,,故选:AC.知识点2.函数的极值一、函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．二、函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．一、多选题1．（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）若函数既有极大值也有极小值，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由题意将原问题转化为二次函数的零点分布问题，进一步由判别式、韦达定理即可求解.【详解】由题意在内有两个不相等的实数根，即方程在内有两个不相等的实数根，不妨设两根分别为，所以，即异号、同号，从而异号.故选：ACD.二、判断题2．（2023下·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）函数的最大值不一定是函数的极大值．()（2）函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．()（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．()（4）若函数有两个最值，则它们的和大于零．()【答案】正确错误错误错误【分析】利用极值与最值的关系判断（1）；举反例否定（2）,（3）,（4）.【详解】（1）函数的最大值不一定是函数的极大值，可能是在区间端点处取得.判断正确；（2）函数在区间上的最大值与最小值不一定在区间端点处取得，可能函数的极值．判断错误；（3）函数在区间上有极大值，但没有最小值.判断错误；（4）函数在区间上最大值为0，最小值为，二者之和为小于0.判断错误.故答案为：正确；错误；错误；错误三、填空题3．（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，即，令，，分和两种情况讨论，根据与有两个交点，求出过原点的切线，比较过原点的切线的斜率与斜率，得出关于两斜率的不等式求解即可.【详解】对函数求导得：，因为存在两个极值点，所以有两个不同的变号零点．令，有，令，，所以与有两个交点；当时，，，设过原点的直线与的切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为：，将原点坐标带入切线方程得．此时切线的斜率为：，现在需要有两个交点，即，因为，有，所以，所以；同理知当时，，，即，所以．综上知：的取值范围为．故答案为：4．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数，则函数的极小值为.【答案】【分析】首先根据三角恒等变换可得，再换元设，因为，所以，通过导数求得的极小值即可得解.【详解】，设，因为，所以.令，所以.令，则或.因为在上，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，即的极小值为.故答案为：四、解答题5．（2023下·高二课时练习）求下列函数的极值.(1)；(2).【答案】(1)极大值为54，极小值为54(2)极大值为，无极小值【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，判断导数的正负情况，即可确定极值点，进而求得极值.【详解】（1）函数的定义域为R，，令，得或.当x变化时，变化情况如下表：x33+00+5454从表中可以看出，当时，函数有极大值，且.当时，函数有极小值，且.（2）∵函数的定义域为，且，令，得，，∴当x变化时，，y的变化情况如表：x12y′+0+0+y3故当时，y有极大值，无极小值.知识点3.函数的最大（小）值一、函数最值的定义1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．二、求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一、单选题1．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，利用导数求出可得答案.【详解】在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则，所以在上单调递增，则，所以，则的最小值为.故选：C.二、多选题2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．在上的极大值和最大值相等B．直线和函数的图象相切C．若在区间上单调递减，则D．【答案】BCD【分析】选项A：利用导数法求解判断；选项B：利用导数的几何意义求解判断；选项C：结合选项A，由求解判断；选项D：根据求解判断.【详解】选项A：，令，得或，故在，上单调递增：令，得，故在上单调递减．当时，的极大值为，又，所以在上的最大值为，所以A错误．选项B：易知直线的斜率为－3，设直线和函数的图象相切的切点为，则，即，解得，故，故切点为，显然切点坐标满足，故B正确．选项C：结合选项A知：若在区间上单调递减，则，故，故C正确．选项D：易知，所以，故D正确．故选：BCD三、解答题3．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案.【详解】（1）当时，，则由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．（2）由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．因为不等式恒成立，所以，解得．当时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．4．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数.(1)若的最小值为1，求；(2)设为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】(1)0(2)证明见解析【分析】（1）由导数求解函数的单调性即可求解最值，（2）构造函数，利用极值点偏移即可求证，进而结合不等式的关系即可求证.【详解】（1）函数的定义域为，令，则，所以函数在上单调增.又，所以当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.（2）由，得，即即.由（1）知在上单调递减，在上单调递增，不妨设.令，则.当时，，所以当函数单调递减，所以，即，又，所以.因为，当时函数单调递增，所以，所以，因为，所以，所以.【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.5．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数．(1)，求函数的最小值；(2)若在上单调递减，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用二次求导法进行求解即可；（2）运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，令，则有，当时，单调递减，当时，单调递增，因此当时，则有，因此当时，则有，当时，显然，于是有当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以；（2）由，因为在上单调递减，所以在上恒成立，由，设，则有，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，要想在上恒成立，只需，因此的取值范围为.【方法练】一、单选题1．（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）若点不在函数的图像上，且过点P有三条直线与的图像相切，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果.【详解】点不在函数的图像上，则，即，设过点的直线与的图像相切于，则切线的斜率，整理可得，则问题可转化为有三个零点，且，令，可得或，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，即当时，有极大值，当时，有极小值，要使有三个零点，则，即，解得，所以实数m的取值范围为.故选：A2．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意构造函数，利用导数研究其单调性，根据其解不等式，可得答案.【详解】令，则，即在上单调递减．由，得，则，得，所以，得，所以原不等式的解集为.故选：D.二、多选题3．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若函数在处取得极值，则（

）A．B．为定值C．当时，有且仅有一个极大值D．若有两个极值点，则是的极小值点【答案】ABC【分析】求导，由题意可知，是方程的一个变号实数根，则，即可判断A；由判断B；当时，可得，当时，当时，即可判断C；将代入整理得，则方程有不相等的实数根与，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.【详解】的定义域为，则，，由题意可知，是方程的一个变号实数根，则，故A正确；由得，，故B正确；当时，因为，所以函数开口向下，且与轴正半轴只有一个交点，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则有且仅有一个极大值，故C正确；将代入整理得，则方程有不相等的实数根与，即，当时，时，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则是的极大值点，是的极小值点，当时，时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则是的极大值点，是的极小值点，故D错误，故选：ABC.4．（2023上·江苏南京·高二期末）关于函数，下列判断正确的是（

）A．的极大值点是B．函数有且只有个零点C．存在实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则【答案】BD【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，可得极值点，判断A；利用导数判断的单调性，结合零点存在定理，即可判断B；判断的取值情况，可判断C；由可得，要证，只要证，利用构造函数，结合函数的单调性即可判断D.【详解】因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；B选项中，函数，则由于，即在上恒成立，所以函数在上单调递减，又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点，即函数有且只有个零点，B正确；C选项中，由，可得当且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，C错误；D选项中，由得，要证，只要证，即证，由于，故令，则，故在上单调递增，则，即成立，故成立，所以D正确.故选：BD.一、解答题1．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出的导数，再分类讨论导数值的正负即可得解；（2）原不等式可转化为在上恒成立，只需即可，令，利用导数求单调性进而求最大值即可.【详解】（1）由题意可知，，令，则，当时，恒成立，单调递增，当时，由解得，由解得，所以在单调递增，在单调递减，综上所述当时，单调递增，当时，在单调递增，在单调递减.（2）由（1）可知不等式即在上恒成立，即在上恒成立，只需即可，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以.2．（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）已知函数．(1)试讨论函数的单调性；(2)时，求在上的最大值；(3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．【答案】(1)当时，的单调递减区间是；无单调递增区间，当时，的单调递减区间是；单调递增区间是.(2)当时，在上的最大值是；当时，在上的最大值是.4【分析】（1）求，分和两种情况，判断的符号，即可求解；（2）通过讨论在上的单调性，即可求最大值；（3）通过分离参数，得到，令，借助隐零点求出在上的最小值的范围，即可求解.【详解】（1）由函数可得，当时，恒成立，所以的单调递减区间是；无单调递增区间.当时，令解得，令，解得；令，解得，所以的单调递减区间是；单调递增区间是，综上所述：当时，的单调递减区间是；无单调递增区间，当时，的单调递减区间是；单调递增区间是.（2）由（1）知当时，在上单调递减；在上单调递增，当，即时，在上单调递减，所以，即在上的最大值是，当，即时，在上单调递增，所以，即在上的最大值是，当，即时，在上单调递减；在上单调递增，所以最大值可能在或处取得，，，当，即时，，即在上的最大值是，当，即时，，即在上的最大值是，综上所述：当时，在上的最大值是；当时，在上的最大值是.（3）当时，不等式恒成立，即，即，，，，，即，令，，令，，所以在区间上单调递增，因为，，所以存在唯一一点，使，即，所以，所以当时，，即，当时，，即，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增；所以，，，因为，所以，即，所以，所以整数的最大值是4.【点睛】关键点睛：本题主要考查导数应用，恒成立问题的求解关键是分离参数，利用导数求解分离后函数的最值，如果极值点不易求解时，可以借助隐零点进行求解.【创新练】一、单选题1．（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可.【详解】的定义域为，，要函数在上有极值，则在上有零点，即在上有实数根.令，则，当且仅当时等号成立，所以.当时，，函数单调递增，则函数在上没有极值，故.故选:D.2．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）已知函数满足，则下列描述正确的是（

）A．点与点在轴同侧B．若的图象在处的切线斜率小于0，则一定存在点在轴下方C．与的图象可能与轴交于同一点D．函数不一定存在零点【答案】C【分析】根据，即可判断选项A、C与D，选项B举出反例即可判断.【详解】对于选项A，因为，则，所以点与点关于轴对称，不在轴同侧，所以A错误；对于选项B，因为的图象在处的切线斜率小于0，所以，又，所以，如果，则，满足，且，，但的图象恒在轴上方，所以B错误；对于选项C，因为，如果，则与的图象可能与轴交于同一点，所以C正确；对于选项D，因为，则，所以函数存在零点，所以D错误.故选：C.二、多选题3．（2024上·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数，则（

）A．有一个零点B．的极小值为C．的对称中心为D．直线是曲线的切线【答案】ACD【分析】利用导数讨论函数的单调性，即可判断B，结合即可判断A；证明函数为奇函数，结合函数平移变换即可判断C；根据导数的几何意义求出曲线的切线方程即可判断D.【详解】A：，令，令或，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，故函数在R上只有一个零点，故A正确；B：由选项A的分析可知，函数的极小值为，故B错误；C：令，定义域为R，则，所以函数为奇函数，对称中心为，将函数图象向下平移1个长度单位，得函数的图象，所以的对称中心为，故C正确；D：由选项A知，令，又，所以切线方程为，即，所以直线是曲线在点处的切线，故D正确.故选：ACD4．（2024·海南海口·统考模拟预测）设函数，则（

）A．B．函数有最大值C．若，则D．若，且，则【答案】ACD【分析】根据的解析式直接求解可对A判断；利用导数求最值方法可对B判断；结合给出的已知条件并利用A、B中的结论可对C、D判断求解.【详解】对A：由题意知，所以，故A正确；对B：由题意知的定义域为，，当，，当，，所以在单调递减，在单调递增，所以当时，取到极小值也是最小值，故B错误；对C：当时，可得，由A知，所以，由B知恒成立，所以，故C正确；对D：当时，得，又因为，所以，由B知在上单调递增，所以，又由A知，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：灵活运用已知条件，，并结合的对称性和单调性进行求解.三、填空题5．（2023上·湖北·高二期末）函数的最小值为.【答案】1【分析】借助导数研究函数最小值即可.【详解】，，设，，所以在R上单调递增，由，可得，当时，，单调递减；时，，单调递增．所以，故答案为：6．（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可.【详解】，若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，∴，当时，，，则，∴在区间上单调递增，∴，∴，则实数m的取值范围是.故答案为：.四、解答题7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若对任意有解，求的取值范围.【答案】(1)极小值为1，无极大值；(2).【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求极值；（2）由题意可得任意有解，设，分、及讨论即可求解.【详解】（1），得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以的极小值为，无极大值；（2）对任意即，设，，①当时，单调递增，单调递增，，成立；②当时，令单调递增，单调递增，，成立；③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立.综上，.8．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，．(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；(2)已知，，，，求证：；(3)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由函数单调递减得恒成立，分离参数法可得；（2）利用导数得函数单调性，由单调性证明不等式即可；（3）利用（2）结论，逐个赋值后累加法可证.【详解】（1）对恒成立，即对恒成立．因为，则．（2），只需证明．令，，则在单调递减，则，又，则，即成立，得证．（3）由（2）知，令，则有，即，，，…，，累加可得，故，从而命题得证．【成果练】一、单选题1．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出及的范围，然后代入，构造函数求最值即可.【详解】函数定义域为，，又函数存在两个极值点，所以方程在上有两个不相等的正实数根，则，解得，又设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增加，因为不等式恒成立，即恒成立，所以.故选：D.2．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，变形得，因为，所以，所以当，即时，，所以，故选：D．二、多选题3．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（

）A．这两个球体的半径之和的最大值为B．这两个球体的半径之和的最大值为C．这两个球体的表面积之和的最大值为D．这两个球体的表面积之和的最大值为【答案】BC【分析】根据题意作出截面图，通过几何关系结合导数研究函数的单调性

从而研究两个球体的半径的最值，然后将两个球体的表面积之和表示成，结合二次函数的单调性求得最大值；【详解】当这两个球体的表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为.设圆的半径为，圆的半径为r，的最大值为，且取最大值时，，所以，，，，.因为，所以①，整理得，解得.令函数，，.令函数，，所以是增函数.又因为，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为.由①可得，这两个球体的表面积之和为.令，函数在上单调递增，所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为.故选：BC.4．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知直线分别与函数和的图像交于点，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由函数和互为反函数，可得，，利用均值不等式可判断A；利用，构造函数可判断B；利用均值不等式可得，构造函数，求导研究单调性可判断C；由，，可得可判断D.【详解】因为函数和互为反函数，所以函数和的图象关于直线的对称，又因为直线的斜率1与直线的斜率的乘积为，因此直线与直线互相垂直，显然直线也关于直线对称，解方程组，所以直线和的交点坐标为：，有，，，.对于A：因为，，所以，故A正确；对于B：因为，关于对称，所以有，点在直线上，而，所以，因此，显然函数在上是单调递增函数，所以，所以，，故B正确；对于C：因为，，所以，因此有，设函数，，因为，所以因此函数是单调递增的，当时，有，即，因此有，故C不正确；对于D：因为，关于对称，所以，，即，所以，又，所以，从而，故D正确.故选：ABD.5．（2023·全国·模拟预测）已知，，，，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．既有最大值又有最小值C．的单调递增区间为，单调递减区间为和D．的最大值等于的最小值【答案】AC【分析】根据偶函数的性质判断A选项；利用导函数判单调性判断B、C选项；利用导函数求最值判断D选项.【详解】对于选项A，因为，其定义域为，所以是偶函数，故A正确；对于选项B，因为的定义域为，所以，令，得或，令，得或；令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，但当时，；当时，，所以仅有最小值无最大值，故B不正确；对于选项C，因为，时，时，所以在上单调递增，在和上单调递减，故C正确；对于选项D，因为，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，的最大值为；而当，；所以无最小值，故D不正确，故选：AC．三、填空题6．（2023上·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是.【答案】【分析】构造函数，分析得的性质，结合与的关系，将题设不等式转化为关于的不等式，从而得解.【详解】令，则的定义域为，又，则是偶函数；当时，，，当时，显然，当时，，，所以，综上，在上单调递增，因为，所以由，得，即，所以，即，解得.故答案为：.7．（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为．【答案】【分析】先确定函数定义域，利用导数与函数单调性的关系求单调增区间.【详解】函数的定义域为，，由得或（因为，故舍去），所以在区间上单调递增．故答案为：8．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）已知，，若，则的取值范围是.【答案】【分析】构造函数，根据的单调性得到当时；构造函数，，根据的单调性得到当时，且，进而得到；当和同理.【详解】令，，当时，；，当时，，，在单调递减，，即当时；当时，，，在单调递减，，即当时；令，，则，在上单调递增，当时，，，，即；当时，，，，即；综上，当或，即时，.若，则的取值范围是.故答案为：解答题9．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，设分别为的极大值点、极小值点，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论导函数值的正负即可得解.（2）由（1）求出函数的极大值与极小值，求出极大值与极小值的差，构造函数并求出其范围即得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，单调递增；当时，令，解得或，则当时，由，得，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减；当时，由，得，由，得，因此在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，由（1）知，，，因此，设，求导得，函数在上单调递增，，所以的取值范围是.10．（2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）已知函数，(1)当时，求在区间上的值域；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：.【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，结合最大值和端点的函数值，即可求得函数的值域；（2）求得，当时，得到在上递减，舍去；当时，求得的单调性，得到两个零点，，进而得到，转化为，设，构造，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证.【详解】（1）解：当时，可得，可得，令，解得；令，解得，所以在区间上单调递增，在上单调递减，所以，因为，可得，所以，所以函数在区间上的值域为（2）解：由函数，可得当时，，在上递减，不可能有两个零点，舍去；当时，，令，解得或，当时，；当时，，所以在递增，在上递减，为满足题意，此时极大值为，解得，又由时，；当时，，由零点存在定理，存在两个零点，，所以的取值范围为，又由，两式相减，可得，要证，只需证，即证，设，只需证，设，可得，所以在单调递增，所以，所以成立，即原命题得证.【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数．(1)若是函数的一个极值，求实数的值；(2)求证：当时，．【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）令，解得的值后，验证即可；（2）根据条件可知当时，，可转化为，证明，即证即可.【详解】（1）因为，所以．因为当时，函数取得极值，所以，即，所以或．①当时，，设，则，则时，当时，，所以在上是增函数，所以00极小值所以当时，函数取得极小值．②当时，，同理可证：当时，函数取得极小值．综上，或．（2）当时，．因为，所以，即，所以，所以在上是增函数，所以当时，，即当时，．下面证明，即证．令，则．令，则，所以函数单调递减，所以当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，所以．【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.12．（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）已知函数．(1)当，求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；（2）由，把函数的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令，利用导数法研究函数的单调性和极值，进