辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高三上学期期末考试数学

高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（概率与统计除外）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知，，，则（）A. B. C. D.4.已知为等比数列，且，则（）A.216 B.108 C.72 D.365.已知曲线在点处的切线与圆相切，则的半径为（）A. B.1 C. D.6.已知，是方程的两个根，则（）A. B. C.2 D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，则（）A. B. C.2 D.48.已知函数，若A，B是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（）A. B. C.的最小值为6 D.的最小值为1210.如图，点在以为直径的半圆上运动（不含A，B），，，记，，的弧度数为，则下列说法正确的是（）A.是的函数 B.是的函数 C.是的函数 D.是的函数11.如图，在三棱锥中，平面，，且，，过点的平面分别与棱，交于点M，N，则下列说法正确的是（）A.三棱锥外接球的表面积为B.若平面，则C.若M，N分别为，的中点，则点到平面的距离为D.周长的最小值为312.已知，均是由自然数构成的数列，且，，，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，则__________.14.先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，写出图象的一条对称轴的方程：__________.15.降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量.等级划分如下表：日降雨量/mm等级小雨中雨大雨暴雨某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为__________.16.已知，是函数的两个零点，则__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求；（2）若，，求的面积.18.（12分）已知函数.（1）若，求的极值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.19.（12分）在正项等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.20.（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，.（1）证明：.（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.21.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线，并与交于A，B两点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与交于M，N两点，，的周长为8.（1）求的方程.（2）记，分别为的左、右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点Q，和的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：.高三数学考试参考答案1.B【解析】本题考查集合的交集运算，考查数学运算的核心素养.因为，，所以.2.A【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.，则，.3.C【解析】本题考查指数、对数、三角函数值的大小比较，考查逻辑推理的核心素养.因为，，，所以.4.A【解析】本题考查等比数列的概念，考查数学运算的核心素养.设的公比为，则，.5.C【解析】本题考查曲线的切线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.由，得，则曲线在点处的切线方程为.因为与圆相切，所以的半径.6.D【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.因为，是方程的两个根，所以，，所以.7.B【解析】本题考查双曲线的性质，考查直观想象的核心素养.由，，得，.由，得，解得.8.D【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养.因为，所以在上恒成立，则在上单调递减.因为A，B是锐角的两个内角，所以，则，则，故，同理可得.与，与的大小关系均不确定，所以与，与的大小关系也均不确定.9.BD【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养.直线与轴的交点坐标为，则，即，由抛物线的性质可知当时，取得最小值，且最小值为.故选BD.10.AD【解析】本题考查函数的概念，考查数学抽象的核心素养.由函数的概念可知不是的函数，是的函数，不是的函数，是的函数.11.BCD【解析】本题考查立体几何初步，考查直观想象，数学运算的核心素养.因为平面，，且，，所以三棱锥外接球的半径，表面积，A不正确.若平面，则，.又，所以.又，所以，，解得，B正确.因为M，N分别为，的中点，所以，则平面，平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离.设点到平面的距离为，易知，，，由，得，解得，C正确.如图，将，翻折至平面内，连接，易知即周长的最小值，，周长的最小值为3，D正确.12.ACD【解析】本题考查数列的性质，考查逻辑推理，数学运算的核心素养.由，得，，得，即，记表示不大于的最大整数，因为，所以，故，则，A正确.若，则，，则，此时，B不正确.当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.故，C正确.，则，D正确.13.【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查数学运算的核心素养.因为，，所以，.14.（答案不唯一，满足，即可）【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心素养.由题可知，令，，解得，.15.大雨【解析】本题考查圆台的体积，考查数学运算，直观想象的核心素养.由题可知水桶的上底面半径，下底面半径，桶深，水面半径，水深，则水桶中水的体积，则日降雨量为，故当日的降雨量等级为大雨.16.【解析】本题考查函数的零点与性质，考查逻辑推理的核心素养.显然，当时，令，得.令，，则的零点转化为与图象的交点.因为，所以的图象关于点对称.易知的图象也关于点对称，所以，则.17.解：（1）因为，所以，又，所以.由为锐角三角形，得.（2）由（1）及余弦定理知.因为，，所以，所以的面积.评分细则：【1】第（1）问学生若得出，得1分.【2】第（1）问未说明，直接得出，扣1分.18.解：（1）由，得.令，得.2分当时，；当时，.的单调递增区间为和，单调递减区间为，故的极大值为，的极小值为.（2）在上恒成立等价于在上恒成立.令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.，故的取值范围为.评分细则：【1】第（1）问学生若未注明是极大（小）值，扣1分；【2】第（2）问的取值范围未用区间表示，不扣分；【3】第（2）问也可以直接对求导，对参数进行分类讨论求解，按步骤给分.19.（1）解：设的公差为d，则解得或（舍去），故.（2）证明：由（1）可知，则.评分细则：【1】第（1）问学生若未舍去这种情况，扣1分；【2】第（2）问学生如果不是从第一项进行放缩的，证得结果按步骤给分.20.（1）证明：连接，与交于点，连接.因为四边形是正方形，所以.因为，为的中点，所以.因为，平面，平面，所以平面.又平，所以.（2）解：过作的垂线，垂足为.易知平面.以为坐标原点，过且平行于，的直线分别为轴，轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由，得，因为，，所以，则，，，则，，，.由，得，，.设平面的法向量为，由得令，得.由图可知是平面的一个法向量.，故平面与平面夹角的余弦值为.评分细则：第（2）问中的坐标系不唯一，按步骤给分.21.解：（1）由题可知解得，，故的方程为.（2）为定值，定值为.理由如下：依题可设直线的方程为，，，联立方程组整理得，则，.易知，，直线的方程为，则直线的方程为，令，得，同理可得..故为定值，且该定值为.评分细则：【1】第（1）问学生也可由得出C的方程；【2】第（2）问学生若设直线的方程为，按步骤给分.22.（1）解：因为，所以.若，则在上恒成立；若，则当时，，当时，.综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）证明：由，得，令，则.当时，，单调递增，