专题18圆锥曲线高频压轴解答题（16大核心考点）（讲义）（原卷版）

专题18圆锥曲线高频压轴解答题【目录】TOC\o"13"\h\z\u 2 3 4 5 7考点一：轨迹方程 7考点二：向量搭桥进行翻译 8考点三：弦长、面积背景的条件翻译 9考点四：斜率之和差商积问题 11考点五：弦长、面积范围与最值问题 12考点六：定值问题 13考点七：中点弦与对称问题 15考点八：定点问题 16考点九：三点共线问题 17考点十：四点共圆问题 18考点十一：切线问题 19考点十二：定比点差法 21考点十三：齐次化 22考点十四：极点极线问题 23考点十五：同构问题 24考点十六：蝴蝶问题 25解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．考点要求考题统计考情分析轨迹问题2023年II卷第21题，12分【命题预测】预测2024年高考，多以解答题形式出现，具体估计为：（1）以解答题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．（2）热点是定点定值与极点极线问题.弦长、面积问题2023年甲卷第21题，12分2023年天津卷第18题，15分2023年I卷第22题，12分斜率之和差商积问题2022年甲卷第21题，12分2021年乙卷第20题，12分2021年I卷第21题，12分定点定值问题2023年乙卷第21题，12分2023年乙卷第20题，12分1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．6、 已知点是椭圆上一个定点，椭圆上有两动点、（1）若直线，则直线过定点（2）若直线，则直线斜率为定值；（3）若直线，则直线过定点（4）若直线，则直线斜率为定值；（5）当直线过定点为原点时，则有（第三定义）； 7、过双曲线上任一点，、为双曲线上两动点（1）若，则直线恒过定点．（2）若直线，则直线斜率为定值；（3）若，则直线恒过定点．（4）若直线，则直线斜率为定值；（5）当直线过定点为原点时，则有（第三定义）；8、过抛物线上任一点引两条弦、，（1）若，则直线恒过定点．（2018全国一卷文科）（2）若，则直线恒过定点．（3）若直线，则直线斜率为定值则．1．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．2．（2023•甲卷）已知直线与抛物线交于，两点，．（1）求；（2）设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值．3．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．4．（2023•乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．5．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．6．（2022•乙卷）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，，两点．（1）求的方程；（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点．7．（2022•甲卷）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．（1）求的方程；（2）设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线的方程．8．（2021•乙卷）已知抛物线的焦点到准线的距离为2．（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．9．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．考点一：轨迹方程求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【例1】（2024·河北衡水·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，点满足方程.（1）求点的轨迹的方程；（2）作曲线关于轴对称的曲线，记为，在曲线上任取一点，过点作曲线的切线，若切线与曲线交于、两点，过点、分别作曲线的切线、，证明：、的交点必在曲线上.【变式11】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知椭圆C：（）的离心率为，左顶点A到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.【变式12】已知直线交抛物线于两点.（1）设直线与轴的交点为，若，求实数的值；（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆：（3）记为抛物线的焦点，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足分别为点，若的面积是的面积的两倍，求线段中点的轨迹方程.考点二：向量搭桥进行翻译把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．【例2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程．(2)若过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于，设．试判断是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【变式21】（2024·上海静安·高三统考期末）已知双曲线：，点的坐标为．(1)设直线过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．【变式22】（2024·安徽蚌埠·统考一模）点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．(1)求双曲线的离心率；(2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程；(3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．考点三：弦长、面积背景的条件翻译首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点到椭圆：的左焦点和右焦点的距离之比为．(1)求点的轨迹方程；(2)若直线与的轨迹相交于，，与椭圆相交于，，求的值．【变式31】（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程.【变式32】（2024·江西·校联考模拟预测）已知双曲线，渐近线方程为，点在上；(1)求双曲线的方程；(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.考点四：斜率之和差商积问题在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．【例4】（2024·陕西商洛·统考一模）已知点，动点M满足，动点的轨迹记为.(1)求的方程；(2)若不垂直于轴的直线过点，与交于两点（点在轴的上方），分别为在轴上的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【变式41】（2024·山东济南·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为．(1)求动点M轨迹W的方程；(2)过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【变式42】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，P为平面内一动点，记直线的斜率为k，直线的斜率为，且，记动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点．考点五：弦长、面积范围与最值问题弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于，有以下三种常见的表达式：①（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②（横截距已知的条件下使用）③（纵截距已知的条件下使用）【例5】（2024·江西南昌·高三校考学业考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上.(1)是上一动点，求的范围；(2)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的面积的最大值.【变式51】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上.(1)是上一动点，求的范围；(2)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值.【变式52】（2024·湖南·湖南师大附中校联考一模）已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于.(1)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；(2)若点在曲线上，求四边形的面积的范围.考点六：定值问题求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例6】（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）已知点为椭圆C：的左焦点，在C上．(1)求C的方程；(2)已知两点与，过点A的直线l与C交于P，Q两点，且，试判断mn是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【变式61】（2024·黑龙江鸡西·高三校考期末）已知椭圆E：，已知椭圆过点M，.(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知直线l：交E于点A，B两点、交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于Q点.试探究是否为定值？若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．【变式62】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为为上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且．(1)求的标准方程；(2)若为上异于的点，且直线过点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．考点七：中点弦与对称问题对于中点弦问题常用点差法解决．【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分.(1)求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.【变式71】（2024·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程是，其中，，直线l的方程是．(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段中点的横坐标是，求a的值；(3)若，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．【变式72】（2024·广东深圳·统考一模）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．考点八：定点问题求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．【例8】（2024·海南海口·高三校考阶段练习）已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5.（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点.【变式81】（2024·四川雅安·统考一模）已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点．(1)求；(2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式82】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知椭圆的左､右顶点分别为为椭圆上任意一点（与不重合），直线和的斜率之积为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率之和为1的两条直线分别与椭圆交于两点，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．考点九：三点共线问题证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．【例9】（2024·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且.(1)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；(2)设.过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【变式91】（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，为椭圆的两焦点，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的上顶点为，下顶点为，直线交于点，求证：，，三点共线.【变式92】（2024·广东广州·高三统考阶段练习）已知动点M在圆上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)已知点，设A，B是曲线C上的两点，直线AB与曲线相切.证明：A，B，F三点共线的充要条件是.考点十：四点共圆问题证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．【例10】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C：的准线方程为．(1)求抛物线C的方程；(2)若斜率为1的直线l交抛物线C于A，B两点，点P，Q在C上且关于直线l对称，求证：A，B，P，Q四点共圆．【变式101】（2024·四川成都·成都七中校考一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知定点，，过点作垂直于轴的直线，过点作斜率大于0的直线与曲线交于点、，其中点在轴上方，点在轴下方.曲线与轴负半轴交于点，直线、与直线分别交于点、，若、、、四点共圆，求的值.【变式102】（2024·浙江·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线，与直线分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值．考点十一：切线问题（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为．（2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．（3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为．（4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．【例11】（2024·山西临汾·校考模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于M，Q两点，且．(1)求C的方程；(2)若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的距离的最大值．【变式111】（2024·全国·模拟预测）已知圆的圆心是椭圆的左焦点，圆与轴的两个交点是，其中是椭圆的右顶点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与圆在点处的切线分别交于两点，求证：．【变式112】（2024·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知动点P到点的距离与到直线的距离相等.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：．考点十二：定比点差法【例12】（2024·山东济南·统考一模）已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.【变式121】（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，点，是椭圆上关于原点对称的两点，其中点在第一象限内，射线，与椭圆的交点分别为，.（1）若，，求椭圆的方程；（2）若直线的斜率是直线的斜率的2倍，求椭圆的方程.【变式122】（2024·全国·高三专题练习）过的直线与椭圆交于P，Q，过P作轴且与椭圆交于另一点N，F为椭圆的右焦点，若，求证：考点十三：齐次化【例13】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．【变式131】（2024·广东·统考一模）已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．【变式132】（2024·广东汕头·高二汕头市第一中学校考期末）如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于､两点(在的上方)，.（1）求椭圆的方程；（2）设点､是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.考点十四：极点极线问题【例14】（2024·广西·校联考模拟预测）已知F为抛物线的焦点，直线