2021新高考数学新课程一轮复习课时作业第七章第1讲空间几何体的结构特征及其直观图

第1讲空间几何体的结构特征及其直观图组基础关1．(2019·河北省唐山一中期中)下列说法中，正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C．正方体的所有棱长都相等D．棱柱的所有棱长都相等答案C解析棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；若棱柱有两个侧面是矩形，其他侧面不一定是矩形，可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确．故选C.2．(2019·河南省安阳一中期中)下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案D解析如图1知，A不正确．如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，故B不正确．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误．由母线的概念知，选项D正确．3．(2019·湖南师大附中高三模拟)给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．故正确命题的个数是1.4．(2020·北京四中高三模拟)下列命题正确的是()A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形答案C解析如图所示，可排除A，B选项．对于D选项，只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分．故选C.5．(2020·天津南开中学高三调研)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形答案C解析如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，CD＝C′D′＝2，OA＝O′A′＝6.∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．6．如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析由直观图可知，其表示的平面图形△ABC中AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．7．(2019·河北石家庄二中高三质检)已知△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析解法一：△ABC的实际图形和直观图如图①②所示，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.解法二：由S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形的关系，得S直观图＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(6),16)a2.8．小红去礼品店给大毛买了一盒生日礼物，礼盒是长、宽、高分别为20cm、20cm、5cm的长方体．为美观起见，礼品店服务员用彩绳做了一个新颖的捆扎．如图所示，彩绳以A为起点，现沿着AB→BC→CD→DE→EF→FG→GH→HA环绕礼盒进行捆扎，其中A，B，E，F分别为下底面各棱的中点，C，D，G，H分别为上底面各棱上一点，则所用包装彩绳的最短长度为()A．(40＋15eq\r(2))cmB．(40＋30eq\r(2))cmC．(40＋15eq\r(5))cmD．(40＋30eq\r(5))cm答案B解析由A，B，E，F分别为下底面各棱的中点，可得AB＋EF＝20＋20＝40，由对称性可得要求所用包装彩绳的最短长度，可求BC＋CD＋DE的最小值，可将BC，CD，DE所在的平面展开到一个平面上，如图所示．可得B，C，D，E四点共线时，BC＋CD＋DE的和取得最小值15eq\r(2)，则所用包装彩绳的最短长度为40＋30eq\r(2)cm.故选B.9．(2019·辽宁东北育才中学高三调研)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，A．2eq\r(2)B．3C．2eq\r(3)D．4答案C解析如图，不妨设N在B处，设AM＝h，CQ＝m，则MB2＝h2＋4，BQ2＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－hm＋2＝0.Δ＝h2－8≥0⇒h2≥8，该直角三角形斜边MB＝eq\r(4＋h2)≥2eq\r(3)，故该直角三角形斜边长的最小值为2eq\r(3).10．如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4eq\r(2)m，则圆锥底面圆的半径等于________m.答案1解析把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意知OP＝4m，OP′＝4m，PP′＝4eq\则cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(2)2,2×4×4)＝0，且∠POP′是三角形的内角，所以∠POP′＝eq\f(π,2).设底面圆的半径为rcm，则2πr＝eq\f(π,2)×4，所以r＝1.组能力关1．(2019·江苏省扬州一中期中)如图所示，下面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．①②B．②③C．③④D．①⑤答案D解析圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；故截面图形可能是①⑤.2．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为1，点N为线段CC1的中点，点M在线段BC上，则平面AMN截正方体ABCD－A1B1C1DA．三角形B．四边形C．五边形D.六边形答案BC解析由题意，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，如图所示，当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，当0＜BM≤eq\f(1,2)时，截面为四边形，当BM＞eq\f(1,2)时，截面为五边形，故选BC.3．(多选)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，真命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案ACD解析因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．4．(多选)如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法，A．水的部分始终呈棱柱状B．水面四边形EFGH的面积不改变C．棱A1D1始终与水面EFGH平行D．当E∈AA1时，AE＋BF是定值答案ACD解析显然水的部分呈三棱柱或四棱柱，故A正确；容器倾斜的程度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故B不正确；棱A1D1始终与水面EFGH平行，故C正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故D正确．5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案①③④⑤解析如图，①正确，如图四边形A1D1BC为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1D1BC为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD.则正确的说法是①③④⑤6．下列四个平面图形都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________(填序号)．答案②③解析正方体②③中，相对面上的数字都是1与4,2与5,3与6.7．(2019·上海长宁区、嘉定区质检)如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________．答案13解析将正三棱柱ABC－A1B1C1沿侧棱AA1展开，再拼接一次，如图所示在展开图中，最短距离是六个矩形形成的大矩形对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2＝12，宽等于5，由勾股定理得d＝eq\r(122＋52)＝13.8．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26eq\r(2)－1解析先求面数，有如下两种方法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V＋F－E＝2，得面数F