6.2.1向量的加法运算3题型分类

6.2.1向量的加法运算3题型分类一、向量加法的定义及其运算法则1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2．向量求和的法则①三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a．②平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．③位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.二、向量加法的运算律交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．（一）向量加法法则1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2．向量求和的法则：三角形法则，平行四边形法则．3.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半平行四边形法则(1)共起点(2)仅适用于不共线的两个向量求和题型1：向量的加法11．（2023上·广东佛山·高二佛山市南海区南海执信中学校考开学考试）如图，已知，求作.(1)；(2)【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解.【详解】（1）在平面内任取一点，如图所示作则.（2）在平面内任取一点，如图所示作则.12．（2023·高一课时练习）如图，已知向量，求作和向量.【答案】答案见解析【分析】利用平行四边形法则可得答案.【详解】三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图（1）在平面内任取一点O，作，；（2）作平行四边形AOBC，则；（3）再作向量；（4）作平行四边形，则＝，即即为所求.13．（2023高一练习）如图，已知点、、分别是三边、、的中点，求证：.【答案】证明见解析.【分析】根据向量加法的平行四边形法则证明即可.【详解】证明：连接、、，如图，、、分别是三边的中点，，，四边形为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则，得①，同理在平行四边形中，②，在平行四边形在中，③，将①②③相加，得.14．（2023下·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考阶段练习）正方形的边长为1，则为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解.【详解】在正方形中，如图所示,根据向量加法的平行四边形法则，,又因为正方形的边长为1，所以，故选：B.15．（2023·上海·高一专题练习）为非零向量，且，则（

）A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反C． D．无论什么关系均可【答案】A【分析】根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.【详解】当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且；当两个非零向量同向时，的方向与的方向都相同，且；当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且，所以对于非零向量，且，则，且与方向相同.故选：A.（二）向量加法运算律的应用向量加法的运算律：交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.题型2：向量加法运算律的应用21．（2023·江苏·高一专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.【答案】①；②；③【解析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.【详解】①＋＝+＝；②＋＋＝＋＋＝；③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题.40．（2023·高一课时练习）化简下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根据向量的加法运算法则得到答案.（2）直接根据向量的加法运算法则得到答案.（3）直接根据向量的加法运算法则得到答案.【详解】（1）.（2）.（3）.22．（2023下·高一课时练习）如图，在平行四边形中，O是和的交点.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】【分析】根据向量加法法则计算．【详解】（1）由平行四边形法则，；（2）由向量加法的三角形法则，；（3）由向量加法法则得，；（4）由向量加法法则得，．故答案为：；；；．23．（2023·上海·高一期末）作五边形，求作下列各题中的和向量：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的加法法则求解即可；（2）利用平面向量的加法法则求解即可．【详解】（1）；（2）.24．（2023下·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1，则．【答案】【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．【详解】解：解：如图所示：，，．故答案为：．（三）向量加法的实际应用应用向量解决实际问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.题型3：向量加法的实际应用31．（2023·高一课前预习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40km到达地，再由地沿正北方向飞行40km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处【分析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解.【详解】如图所示，设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即.在中，.在中，，，即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处.32．（2023·高一课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为【分析】如图所示，表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，在中，可得,从而得，，即可得答案.【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，则四边形为平行四边形.所以，，因为，于是，所以，，故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.33．（2023·江苏·高一专题练习）一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为.如果此船实际向南偏西方向行驶，然后又向西行驶，你知道此船在整个过程中的位移吗?【答案】两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.【分析】由向量加法可知，根据长度和角度关系可求得，，由此可确定位移的方向和大小.【详解】用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知：，可表示两次位移的和位移.由题意知，在中，，则，，在等腰中，，，，，两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.一、单选题1．（2023·高一课时练习）某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（

）A．向东南走 B．向东北走C．向东南走 D．向东北走【答案】B【分析】由向量的加法进行求解.【详解】由题意和向量的加法，得表示先向东走3km，再向北走3km，即向东北走.故选：B.2．（2023下·甘肃张掖·高一统考期末）向量（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的加法运算即可得到结果.【详解】故选:C3．（2023下·江苏徐州·高一校考阶段练习）化简（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量加法法则即可计算.【详解】.故选：B.4．（2023下·吉林白城·高一校考阶段练习）化简等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加法运算求解即可.【详解】.故选:C.5．（2023下·山东临沂·高一统考期末）已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】由向量加法的平行四边形法则可知，只需求线段长度即可得出结论.【详解】如图所示：设点是的中点，由题可知：.故选：C.6．（2023下·浙江·高一阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】根据向量加法运算法则即可求解.【详解】连接OB.由正六边形的性质，可知与都是等边三角形，∴四边形OABC是平行四边形，，，故选:A.【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.7．（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：，，分别是的边，，的中点，，，，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误；故选：A．8．（2023下·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同B．在中，必有C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点D．若，均为非零向量，则与一定相等【答案】B【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：当与为相反向量时，，方向任意，故A错误；对于B：在中，，故B正确；对于C：当A、B、C三点共线时，满足，但不能构成三角形，故C错误；对于D：若，均为非零向量，则，当且仅当与同向时等号成立，故D错误.故选：B9．（2023下·四川·高一四川省科学城第一中学校考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF中，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，根据正六边形的特征，得到，,带入到要求的式子中，利用向量线性运算加法法则即可直接求解.【详解】由已知，ABCDEF为正六边形，所以，,所以.故选：D.10．（2023下·上海徐汇·高一上海中学校考期末）若非零不共线的向量满足，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断【详解】

（2）由非零向量，满足当，不共线时,可考虑构造等腰三角形,如图（1）所示,,则.在图（1）中,,不能比较与的大小;在图（2）中,由,得,所以为的直角三角形.易知,由三角形中大角对大边,得.故选：C11．（2023上·广东佛山·高二佛山市南海区南海执信中学校考开学考试）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可.【详解】解：对于A，因为，,所以，故正确；对于B，因为,(为中点)，故错误；对于C，因为(为中点),(为中点),所以，故正确；对于D，因为，，所以，故正确.故选：B.12．（2023·江苏·高一专题练习）若非零向量满足，则(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量加法的性质即可判断：.【详解】因为，∴.若与共线，由则中有一个必为零向量，与不共线，即，.同理知无法判断之间的大小关系.故选：C.13．（2023上·上海浦东新·高二统考期末）如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子中正确的是A． B．C． D．【答案】B【解析】根据平面向量的加减法则求解判断即可.【详解】∵,∴,∴.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算,需要根据题意化简求解,属于中等题型.14．（2023上·高二课时练习）已知非零向量、、，则“”是“、、可构成三角形”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合平面向量加法法则判断即可.【详解】已知非零向量、、，若且、、都共线，则、、不能构成三角形，即“”不是“、、可构成三角形”的充分条件；在中，设，，，则、、可构成三角形，但,所以，“”不是“、、可构成三角形”的必要条件.因此，“”是“、、可构成三角形”的既非充分又非必要条件.故选：D.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了平面向量加法法则的应用，考查推理能力，属于中等题.二、多选题15．（2023下·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先将化简，进而根据平面向量的定义判断答案.【详解】由题意，，易知A,C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.故选：AC.16．（山东省济宁市实验中学20222023学年高一下学期3月月考数学试题）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念即可判断各选项的正误．【详解】根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念，，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确．故选：BCD．17．（2023上·山东聊城·高二聊城二中校考开学考试）下列说法中，正确的是（）A．若向量，满足，与同向，则B．若两个非零向量，满足，则，是互为相反向量C．的充要条件是与重合，与重合D．模为是一个向量方向不确定的充要条件【答案】BD【分析】根据向量的基本性质，基本概念，以及向量平行和零向量的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：向量不可比较大小，故A错误；对B：若两个非零向量，满足，则，且方向相反，故，互为相反向量，B正确；对C：与重合，与重合，故，充分性成立；但，根据向量可平移性，不一定有与重合，与重合，必要性不满足，C错误；对D：模为的向量是零向量，其方向不确定，故充分性成立；一个向量方向不确定，是零向量，其模为，必要性成立，即模为是一个向量方向不确定的充要条件，D正确.故选：BD.18．（2023下·高一课时练习）在中，设，，，，则下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.19．（2023·福建三明·统考三模）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.【详解】对于A：如下图所示，可知在内部，故成立；对于B：如下图所示，可知在外部，故不成立；对于C：因为，如下图所示，可知在内部，故成立；对于D：因为，如下图所示，可知在外部，故不成立；故选：AC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD选项中的向量关系式要根据进行化简.20．（2023下·福建厦门·高一厦门市松柏中学校考阶段练习）下列关于向量的叙述正确的是（

）A．向量的相反向量是B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则D．若向量与满足关系，则与共线【答案】ABD【分析】由相反向量、单位向量、共线向量的定义以及性质判断即可.【详解】解：A向量的相反向量是，正确：B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则，不正确，因为与可能方向相反；D.若向量与满足关系，∴，则与共线，正确.故选：ABD21．（2023上·山东聊城·高二聊城二中校考开学考试）下列说法中，正确的是（）A．若向量，满足，与同向，则B．若两个非零向量，满足，则，是互为相反向量C．的充要条件是与重合，与重合D．模为是一个向量方向不确定的充要条件【答案】BD【分析】根据向量的基本性质，基本概念，以及向量平行和零向量的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：向量不可比较大小，故A错误；对B：若两个非零向量，满足，则，且方向相反，故，互为相反向量，B正确；对C：与重合，与重合，故，充分性成立；但，根据向量可平移性，不一定有与重合，与重合，必要性不满足，C错误；对D：模为的向量是零向量，其方向不确定，故充分性成立；一个向量方向不确定，是零向量，其模为，必要性成立，即模为是一个向量方向不确定的充要条件，D正确.故选：BD.三、填空题22．（2023下·高一课时练习）在平行四边形中，．【答案】【分析】根据向量的线性运算法则，即可得答案.【详解】在平行四边形中，,所以.故答案为：23．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东，风速是；水的流向是正东方向，流速是，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东，大小是．【答案】【分析】根据向量的加法以及图象进行计算即可.【详解】如图风速为风速是，即水的流速是，即则救生艇速度大小即为由题可知：四边形为菱形且所以，且所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东，大小为故答案为：，24．（2023上·湖北·高二校联考期中）在中，是边上的点且，若则．【答案】/【分析】由题知，再根据求解即可.【详解】解：因为在中，是边上的点且，所以，即，所以，，即故答案为：25．（2023上·江西九江·高三校联考阶段练习）在中，点满足，则与的面积比为．【答案】/【分析】由平面向量的加法法则可得到点的位置，再用面积公示，即可得到面积的比值.【详解】取边的中点，连接，如图所示，因为，即，所以，即点为的中点，所以.故答案为：26．（2023·上海·高一专题练习）是正三角形，给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的有．(写出所有正确等式的序号)【答案】①③④【分析】作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误.【详解】对于①，，，，①正确；对于②，，如下图所示，以、为邻边作平行四边形，由平面向量加法的平行四边形法则可得，显然，②错误；对于③，以、为邻边作平行四边形，则，以、为邻边作平行四边形，则.由图可知，，即，③正确；对于④，，，因为，④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键就是化简平面向量的运算结果，并作出图形，结合图形的几何特征进行判断.四、解答题27．（2023·高一课时练习）如图，已知下列各组向量，，求作．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）作图见解析.【分析】应用向量的性质，将，作平移处理，使一个向量起点与另一个的起点或终点重合，结合三角形或平行四边形法则画出，注意共线向量只需将一个向量起点平移至另一个向量的终点，再连接两向量的另一个起点和终点即可.【详解】（1）将的起点移至的终点，即可得，如下图：（2）将的起点移至的终点，即可得，如下图：（3）以，为顶点作平行四边形，应用平行四边形法则可得，如下图：（4）将的起点移至的终点，应用三角形法则可得，如下图：28．（2023上·高一课时练习）化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.29．（2023·高一课时练习）化简下列各式:(1);(2).【答案】(1).(2)【解析】(1)根据向量的加法法则求解即可.(2)根据向量的加法法则求解即可.【详解】解:(1).(2).【点睛