高考数学（文）一轮复习课时训练第4章三角函数解三角形19

【课时训练】简单的三角恒等变换一、选择题1．(2018青岛模拟)设taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．－2 B．2C．－4 D．4【答案】C【解析】因为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,4)，所以tanα＝eq\f(5,3).故taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝－4，故选C.2．(2018福州模拟)已知tanα＝3，则eq\f(sin2α,cos2α)的值等于()A．2 B．3C．4 D．6【答案】D【解析】eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α)＝2tanα＝2×3＝6.3．(2018山东青岛八中期末)已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】A【解析】cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2)＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1－\f(2,3),2)＝eq\f(1,6).故选A.4．(2018东北三省三校联考)已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，则sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝()A．eq\f(1,18) B．eq\f(17,18)C．eq\f(8,9) D．eq\f(\r(2),9)【答案】B【解析】由sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，两边平方，得1＋sin2α＝eq\f(1,9)，解得sin2α＝－eq\f(8,9)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1＋\f(8,9),2)＝eq\f(17,18).5．(2018湛江模拟)函数f(x)＝3sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋4cos2eq\f(x,2)(x∈R)的最大值等于()A．5 B．eq\f(9,2)C．eq\f(5,2) D．2【答案】B【解析】由题意，知f(x)＝eq\f(3,2)sinx＋4×eq\f(1＋cosx,2)＝eq\f(3,2)sinx＋2cosx＋2≤eq\r(,\f(9,4)＋4)＋2＝eq\f(9,2)，故选B.6．(2019上海闸北调研)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)<α<0，则eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(3\r(5),10)C．－eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(2\r(5),5)【答案】A【解析】由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,2)，得tanα＝－eq\f(1,3).又－eq\f(π,2)<α<0，所以sinα＝－eq\f(\r(10),10).故eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(2sinαsinα＋cosα,\f(\r(2),2)sinα＋cosα)＝2eq\r(2)sinα＝－eq\f(2\r(5),5).7．(2018广东广州模拟)设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，则()A．3α－β＝eq\f(π,2) B．2α－β＝eq\f(π,2)C．3α＋β＝eq\f(π,2) D．2α＋β＝eq\f(π,2)【答案】B【解析】由tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，得eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq\f(π,2)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).由sin(α－β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，得α－β＝eq\f(π,2)－α，∴2α－β＝eq\f(π,2).8．(2018河北衡水模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，－eq\f(π,2)<α<0，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)【答案】C【解析】∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，－eq\f(π,2)<α<0，∴eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝－eq\f(4\r(3),5).∴eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝－eq\f(4,5).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝cosαcoseq\f(2π,3)－sinαsineq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5).故选C.9．(2018成都一诊)若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是()A．eq\f(7π,4) B．eq\f(9π,4)C．eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4) D．eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)【答案】A【解析】∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，∴2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π)).又sin2α＝eq\f(\r(5),5)，故2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴cos2α＝－eq\f(2\r(5),5)，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))).故β－α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，于是cos(β－α)＝－eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，且α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，2π)).故α＋β＝eq\f(7π,4).10．(2018江西九校联考)已知锐角α，β满足sinα－cosα＝eq\f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，则α，β的大小关系是()A．α<eq\f(π,4)<β B．β<eq\f(π,4)<αC．eq\f(π,4)<α<β D．eq\f(π,4)<β<α【答案】B【解析】∵α为锐角，sinα－cosα＝eq\f(1,6)>0，∴α>eq\f(π,4).又tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3).∴α＋β＝eq\f(π,3).又α>eq\f(π,4)，∴β<eq\f(π,4)<α.二、填空题11．(2018广东六校联考)化简eq\f(2tan45°－α,1－tan245°－α)·eq\f(sinαcosα,cos2α－sin2α)＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】原式＝tan(90°－2α)·eq\f(\f(1,2)sin2α,cos2α)＝eq\f(sin90°－2α,cos90°－2α)·eq\f(1,2)·eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(cos2α,sin2α)·eq\f(1,2)·eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(1,2).12．(2018保定高三调研)[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280°)＝________.【答案】eq\r(6)【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(2sin50°＋sin10°·))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)))·eq\r(2)sin80°＝2sin50°＋2sin10°·eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cos10°)))·eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝2eq\r(2)sin(50°＋10°)＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6).13．(2018湖北七市模拟)已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(3,5)，β是第三象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝________.【答案】eq\f(7\r(2),10)【解析】依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝eq\f(3,5)，所以sinβ＝－eq\f(3,5).又β是第三象限角，因此有cosβ＝－eq\f(4,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝－sinβcoseq\f(π,4)－cosβsineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),10).14．(2018四川内江模拟)若f(x)＝2tanx－eq\f(2sin2\f(x,2)－1,sin\f(x,2)cos\f(x,2))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))的值为________．【答案】8【解析】∵f(x)＝2tanx＋eq\f(1－2sin2\f(x,2),\f(1,2)sinx)＝2tanx＋eq\f(2cosx,sinx)＝eq\f(2,sinxcosx)＝eq\f(4,sin2x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝eq\f(4,sin\f(π,6))＝8.15．(2018宝鸡模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(1,4)，则sin4θ＋cos4θ的值为________．【答案】eq\f(5,8)【解析】因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ－\f(\r(2),2)sin