2020-2021学年高一数学挑战满分期末冲刺卷09三角函数 压轴题（江苏解析版）

专题09三角函数压轴题（共33题）

一、单选题

/、cos—x-l,x>0,

1.（2020•江苏常州市•高一期末）己知函数J(2)（。＞0且。。1）,若函数图象上关

-loga(-x),x<0,

于原点对称的点至少有3对•，则实数。的取值范围是（）.

【答案】A

由于），=-108“（一》）（彳＜0）关于原点对称得函数为了=108“工（尤＞0）,由题意可得，y=cosfx-1与

y=log。％的图像在尤＞（）的交点至少有3对，结合函数图象，列出满足要求的不等式，即可得出结

果.y=-log“(一x)(x<0)关于原点对称得函数为y=log„x(x>0)

可知

所以y=cos-1与y=logaX的图像在x>（）的交点至少有3对,ae(0,1),

如图所示,

当x=6时，log,,6>-2,则0<a<

6

故实数a的取值范围为

故选：A

【点睛】

本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为y=cos['xj-1与y=bg。》的图像在x>0的交点至少有3

对，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.

2.（2021・江苏高一单元测试）若不等式（所IX-61）,sin+0.对xG[0,2可恒成立，则si"（a+b）和si〃（a-b）

分别等于（）

x

近近RV272「五五nV272

22222222

【答案】D

【解析】

设/（x）=a—|x—"，根据三角函数值的符号，求得函数/（x）符号的变化，根据函数“X）的单调性与对称

7T7T97r

性，求得。力的值，即可求解.由0WxW2%，则一<x+—<——，

444

njrnQ/r37r77r7T

当一——<〃或2乃——<——时，即0<x<-—或——<X<2TT时，sin（xd——）>0,

4444444

冗3兀7兀TC

当乃<xH—<27r时，即—<x<—时，sin（xH—）<0，

4444

37777r

所以当0《九W—或一KxW2笈时，a-\x-b\<0f

44

当空<x<匕时，a-\x-b\>0,

44

设函数/（力="一|》一例，则”X）在（,向上单调递增，在S,+8）上单调递减，

且函数/（X）的图象关于直线X=b对称，所以/(丁)=/(丁)=0，

44

所以26=至+包=也，解得匕=区,

4424

又由/（四）=。一|9一2|=0,解得。71

——，

4442

所以sin（a+b）=sin（y+今）=，

sin(a-b)=sin(--—)=-

242

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，其中解答中根据三角函数的符号，求得

函数/（x）=a-|x—力的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

3.（2021.江苏省木渎高级中学）己知函数>=3（半+"）,xe|,，（『>|）既有最小值也有最大值，则

实数/的取值范围是（）

3133313-55

A.—<t<—B.t>-C.-<t<—或，>一D.t>-

2622622

【答案】C

【解析】

根据题意得到等或当<m,计算得到答案.y=cos+g）=sin万x,xw,>却则

一5V5、

7rxe—兀，t兀t>—\

1_6人6)

函数有最小值也有最大值

3TV,13乃3/1325乃5

则NL——<7Tt<---：.—<t<一或一<7Tt：.-<t

262622

故选：C

【点睛】

木题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误.

4.（2020•江苏高一单元测试）已知函数"X）=sin0>0,倒4段的图象关于点M卜力0）及直

线/:》=1对称，且“X）在后，兀J不存在最值，则。的值为（）

兀

D.—

3

【解析】

根据对称得到了=二-,%€%,根据没有最值得到T2%,得到T=2〃，3=1,再根据对称中心得到

1+2火

（p=m7r+^,meZ,得到答案.函数/（x）=sin®x+0“3>0,|同V多的图象关于点M（一%,0）及直线

.71,

I\X=—对称.

3

TkT2乃

贝nij—i---

£+£=£,.-.T,keN.

42362l+2k

/（x）在兀不存在最值，则72乃，故％=0时满足条件，T=2〃，。=1.

7171r

则ml----\-(p=mjr,/.(p-mjt-\——,meZ.

66

7U

当根=0时满足条件，故9=—.

6

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.

5.（2021.江苏省锡山高级中学高一期末）函数/（£）=2而（5+0）3>0）图像上一点网5,/）（—2</<2）向

右平移2〃个单位，得到的点。也在/（X）图像上，线段尸。与函数/（X）的图像有5个交点，且满足

一九）=/（X），若y=/（x）,xe0,1与>有两个交点，则°的取值范围为

（）

A.2,—\/2JB.[―2,—C.D.

【答案】A

【解析】

71

首先根据已知条件分析出|PQ|=2万=2T,可得力=2,再由/--X=/（%）可得y=/（X）对称轴为

,进而得出“X）的解析式,再由数形结合的方

如图假设P（o,o），线段PQ与函数“X）的图像有5个交点，则

所以由分析可得|PQ|=2〃=2T,所以T=",

_/n27r2〃.

可得69===2，

T71

因为j=/（x）所以/（一1?+x）=/（?+"，即/[—"t'q+x

所以X=J是〃x）的对称轴，

O

所以2x^+9=]+EZ）,即夕二器+攵川雇工），

/[一9=2$也（一万+e）=-2sine>/（0）=2sin^,

3万

所以sin^cO,可令2=—1得°=一7，

所以/（无）=2sin2x-—I,

八41-3万3万）3乃71

当工£0,—时，令2x---=rG,则/（x）=2sinf,fe

_2j4T'4T'7

作了（7）图象如图所示：

由图知若y=/(x),xe0,|与>=。有两个交点，则。的取值范围为卜2,一夜｝

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P（0,0）便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及

三角函数的性质求出/（X）的解析式，再利用数形结合的思想求解。的取值范围.

6.（2021•江苏高三专题练习）将函数/（x）=cosx的图象先向右平移°万个单位长度，在把所得函数图象的横

6

17T34

坐标变为原来的一（3＞。）倍，纵坐标不变，得到函数g5）的图象，若函数g（X）在（一,一）上没有零点，则。

co22

的取值范围是（）

A•（崎呜B.（0,1]

2Q

C.（0,§叫,1]D.（0,1]

【答案】A

【解析】

57r

根据产4cos（/x+9）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出GX——的范围，再利用余弦函

6

数的图象和性质，求得3的取值范围.函数/（X）=cosx的图象先向右平移27个单位长度，

6

可得y=cos（x-K）的图象，

再将图象上每个点的横坐标变为原来的!（。＞0）倍（纵坐标不变），

co

得到函数g（x）=cos（0x-A）的图象，

21

・・・周期7=一,

co

jr37r

若函数g（x）在（-,y）上没有零点，

.GJTT5zr5"3co兀54

692<1，解得OvgWI,

71.,0)715兀

------hk兀4-------

22~6解得姆一弓«4《色一I

又＜

7i,36y乃512323

一+%万2------

22~6

28

当上0时，解一=04一，

39

2

当仁-1时，0＜。41,可得0＜。4一，

9

.•・°G(0,自呜，江

故答案为：A.

【点睛】

本题考查函数产Acos(3X+9)的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求

解可得，属于较难题.

TT77r

7.(2018•江苏南通市•)已知函数/(x)=sin(x+-)—机，xe[0,—]有三个不同的零点七，々，/，且

63

xi＜x2＜x3,则尤।+2X2+刍的值为()

A.-----B.47rC.-----D.不能确定

33

【答案】A

【解析】

(兀、7兀

画出函数旷=411x+7在Q,—内的图像，同时画出丁=根的图像，使得两个图像有三个交点，利用对称

[兀1/兀

性求得三个交点横坐标的关系,由此求得题目所求表达式的值.画出函数y=sinx+q在0,y内的图像以

及丁=机的图像如下图所示，令sinx+$=1,解得x=',令sinx++=-1,解得x=」.由图像可知

I6；316J3

8兀.

关于直线》=—对称，关于直线X=对称，故玉+工2=工2+*3=，所以

333

。2兀8兀10兀

X+2%2+玉=~—I—~=—~—

【点睛】

本小题主要考查函数零点问题,考查三角函数的图像与性质，属于较难的题目.在解决含有参数的零点问题过程中，

先将参数分离出来，变为两个函数图像来解决，这样可以避免对参数进行讨论.三角函数图像具有对称性，画出图

像后，可以很直观的到三个零点的对称关系，这是解题的突破口.

8.(2021•江苏徐州市•徐州一中高三期末)己知函数”X)在(0,1)恒有M'M)>2/(%),其中尸(x)为函数

/(x)的导数，若a,夕为锐角三角形两个内角，则()

A.sin2(sina)>sin2a/(sin/3)B.cos2/7/(sina)>sin2fz/(cos/3)

C.cos2/7/(coscr)>cos2«/(cos/?)D.sin2/?/(costr)>sin2af(cos(3)

【答案】B

【解析】

构造函数g(x)=£。(0<x<l),求导可知函数g(x)在(0,1)上为增函数，由已知条件可知

0<^-/3<a<^,即0<cos尸<sina<l,再根据函数g(x)在(0,1)上的单调性即可得解.设

g(加缚(0。<1),则g，(x)=12x./(x)=X・/，(X)：2./3>0

所以函数g(x)在(0,1)上单调递增.

JT

a，夕为锐角三角形两个内角，则a+/>,

所以0<万一P<a<5，由正弦函数y=sinx在(0,万1上单调递增.

则0<cos/?=sin---P<sina<1

/\/(cos夕)/(sina)

所以g(c°s⑶<g®na)’即不^(三寸

所以sin?cr-/(cos尸)<cos?夕•/(sina)

故选：B

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，同时也涉及了三角函数的变换及其性质，考查构造思想及转化思想，考查

化简变形能力及逻辑推理能力，属于中档题.

9.（2019•江苏苏州市•高一月考）已知函数/（x）=2sin（公r+?（。>0））的图象在区间［-1,1］上恰有3个最低

点，则①的取值范围为（）

2U29吟1\n13%)

D.[4肛6万)

A.T，h)C.丁，丁)

【答案】C

【解析】

TC

根据X范围可得口九+—的范围；分别讨论在y轴左侧无最低点、1个最低点、2个最低点和3个最低点的情况,

4

对应正弦函数的图象和性质可确定。的范围./(x)=2sin5+—=2sin

717171

：.CDX-\——G一切+―,①+——

444

TTTT

①在y轴左侧无最低点，即当一G+—NO时，0<g〈一

44

［1rT'

当x=l正好对应在卜L1］上的第3个最低点时，+—--含=1，ksN

T=­/.co=+2k/r>—,A:eN（舍）

CD44

・•・在y轴左侧无最低点不合题意

②若在y轴左侧仅有1个最低点，即469H—<—时，—4刃<—

24244

.•・一啰+?€（-5肛—3句，此时在y轴左侧至少有2个最低点

在y轴左侧仅有i个最低点不合题意

3乃77r57r13^r

③若在y轴左侧有2个最低点，即二一<。+一<——0寸，-<(o<^-

24244

「9万兀，5兀°J,19%

又----<-C0-\--<-------,即----<CD<------

24244

69e时，/(力在［-15恰有3个最低点

TT3457r

④若在y轴左侧有3个最低点，即0<。+—<二时，0</<二

424

7T(万)

+—此时在>轴左侧至多有1个最低点

•••在y轴左侧有3个最低点不合题意

\\n13吟

综上所述：丁，丁)

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查根据正弦型函数的最值点个数求解参数范围的问题；关键是能够通过对最低点分布情况的分析，找到符

合题意的分布情况，进而结合正弦函数图象得到不等关系，求得所求参数的范围，属于较难题.

10.(2020•上海市青浦高级中学高一期末)设函数/(x)=mcos(x+a)+〃cos(x+/?),其中/"、n、a、0为

己知实常数，xeR,有下列四个命题：(1)若/(0)=/(1)=0,则/(x)=O对任意实数x恒成立；(2)若

/(0)=0,则函数/(©为奇函数；(3)若则函数/(x)为偶函数；(4)当/2(0)=/2(：|1片0时,

若丁(工1)=/(工2)=0,则西一々=2⑪r(ZeZ)；则上述命题中，正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

利用两角和的余弦公式化简/(x)表达式.

对于命题(1),将/(0)=0,/5=0化简得到的表达式代入上述f(x)表达式，可判断出(1)选项的真假;

对于命题(2)选项，将/(0)=0化简得到的表达式代入上述外幻表达式，可判断出/(X)为奇函数，由此判断

出(2)选项的真假;

对于命题(3)选项，将/(])=()化简得到的表达式代入上述/(幻表达式，可判断出/(幻为偶函数，由此判断

出(3)选项的真假;

对于命题⑷选项，根据尸(0)+尸仁卜0、/(x,)=/(x2)=0,求得f(x)的零点的表达式，进而判断

出(4)选项的真假./(x)=m(cosxcosa-sinxsina)+〃(cosxcos/?-sinxsin0

=(mcosa+ncos0)cosx-(msina+nsinP)sinx

不妨设/(x)=(4cos«+幺cos%)cosx—(匕sina〕+&sin%)sinx.£,但，，，见为已知实常数•

若/(。)=。，则得cosa}+k2cosa2=0；若/(二)=0,则得匕sina1+22sin%=0.

于是当/(0)=/1=0时，/(x)=0对任意实数x恒成立，即命题(1)是真命题;

当/(0)=0时，,f(x)=—(Z]Sinq+&sin%)sinx,它为奇函数，即命题(2)是真命题;

当/(5)=0时，/0)=(4以%囚+ecosa2)cosx,它为偶函数，即命题(3)是真命题;

当/2(。)+/2(5)/0时，令y(x)=o,则

优cos/+k2cosa2)cos%sin%+Z:2sina2)sinx=0,

上述方程中，若8sx=0,则sinx=0,这与cos^x+sir^xul矛盾，所以cosxwO.

将该方程的两边同除以COSX得

cosa

tanx-&\+&cosa2人k}cosax+k2cos%一

v

k}sinax+k2sina2'k}sina}+k2sina2

则tanx=r,解得x=Qr+arctan/(keZ).

不妨取玉=攵]1+arctan，，x2=k27v+arctant(匕后工且七金工),

则由一%2=(匕一攵2)7，即%一%2=&乃QkeZ),所以命题(4)是假命题.

故选：C

【点睛】

本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题

型.

二、多选题

11.(2021•江苏省木渎高级中学)已知函数/(x)=cos(^［x］),其中［可表示不超过X的最大整数，下列关于

“X)说法正确的是()

A.函数y=/(x+g)为偶函数

B./(x)的值域为

C./(x)为周期函数，且周期丁=4

D./(X)与y=log7|x-l|的图象恰有一个公共点

【答案】CD

【解析】

A.假设函数y=/(x+g)为偶函数，则/(x+}=/(3—x)，由/(X)的图象关于x=g对称判断；B.根据

但表示不超过x的最大整数，得到§幻=今,%€2判断；C.易得/(x+2)=-/(X)判断；D.利用/(%)

的值域为{-1,0,1},分别令y=log7|x-l|=l,y=log7|x-l|=0,y=log7判断.A.若函数

y=/(x+g)为偶函数，则/(x+g)=/(g—x),所以/(x)的图象关于x对称，而

/(0)=cos0=l,/(l)=cos|=0,/(0)^/(1),故错误；

B.因为［x］表示不超过x的最大整数，所以］［幻=¥，keZ,所以/(x)的值域为{-1,0,1},故错误；

c.f(x+2)=cos(y［x+2］)=cosg(［幻+2))=-cosg3)=一/(X)，所以/(x+4)=/'(x),则/(x)

为周期函数，且周期丁=4,故正确；

D.由B知：/(X)的值域为令y=log71%一1|=1，解得x=8或x=-6,当尤=8时，

/(x)=cos4万=1,当x=-6时，/(x)=cos(-3万)=一1,此时两函数有(8,1)一个公共点，令

y=log7|x-l|=0,解得x=0或x=2,当x=0时，/(x)=cos0=l,当x=2时，/(x)=cos〃=-l,

R6RTT6

此时两函数无公共点，令y=log7,解得x=-或8=—,当犬=一时，/(x)=cos—=0，当x=-

77727

时，/(x)=cos0=l,此时两函数无公共点，综上：/(x)与丁=1。87|彳一1|的图象恰有一个公共点，故正确;

故选：CD

【点睛】

关键点点睛：本题关键是理解［x］的含义，得到］［幻=^/eZ,再根据余弦函数的性质即可得解.

12.(2021•江苏苏州市•星海实验中学高一月考)已知集合知={(孤历［y=/")},若对于

V(%,y)GM,3(x2,y2)GM,使得玉々+乂%=。成立则称集合M是“互垂点集给出下列四个集合

2

必={(x,y)|y^x+l］;M2={(x,y)ly=Jx+1}；M={(x,y)ly=e'};M,={(x,y)|y=sinx+l}.其

中是“互垂点集''集合的为()

A.MB.M2C.MyD.M4

【答案】BD

【解析】

根据题意即对于任意点尸"看,%),在M中存在另一个点产，使得0户JL0户.，结合函数图象进行判断.由

题意，对于T(X［,3(X2,y2)eM,使得玉々+“必=。成立

即对于任意点PT(X，y),在M中存在另一个点户，使得，丽.

y=f+l中，当尸点坐标为(0,1)时，不存在对应的点产.

所以所以不是“互垂点集”集合，

y=J7ZT的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，

所以在“2中的任意点PW%，乂)，在知2中存在另一个点产，使得0日，0尸.

所以是“互垂点集”集合，

y=e'中，当尸点坐标为(0,1)时，不存在对应的点产.

所以加3不是“互垂点集”集合，

y=sinx+l的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，

所以所以是“互垂点集”集合，

故选：BD.

【点睛】

本题考查命题真假的判断与应用，考查对新定义的理解与应用，属于较难题.

13.(2020•江苏南通市•海安高级中学高一月考)下列函数/(x)对任意的正数网，x2,刍满足

/(玉+x2+x3)<f(xt)+/(x2)+/(x3)的有

A./(x)=4+2sinxB.f(x)=&C.f(x)=exD./(x)=ln(x+l)

【答案】ABD

【解析】

根据四个选项中的函数证明不等式/(玉+/+£)</'(苞)+/(々)+/(刍)成立或举反例说明不成立(举反例

+x

时中让芭=工2=%3)・A.f(x[+x23)=4+2sin(X1+x2+x3)<6,

/(Xj)+/(x2)4-/(x3)=4+2sinXj+4+2sinx2+4+2sinx3>6,A正确；

B.(-Jxj"++yfx^)2=%+%2+七+2”押2+2“2%3+2jX[X>X]+%2+七，

，U+%2+3〈直+\l^+\[^，B正确；

C.%=%=X3=1时，e'+与+"=e3>e+e+e，C错；

D.(X]+l)(x2+1)(X3+1)=XlX2X3+x1x2+x2^++%+%+%3+1>X]+尤2+尤3+1，

Aln[(jq+l)(x2+1)(曰+1)]=In。1+1)+ln(x2+1)+ln(x3+1)>ln(jq+x2++1),D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查正弦函数、基函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质

/(X,+x2+x3)<f(x])+/(x2)+/(x3),正确的需进行证明，错误的可举一反例说明.

14.(2021•江苏南通市•高一期末)如图，己知函数f(x)=Asin(ox+0)(其中A>0,⑦>(),帆归^)的

图象与x轴交于点A,B,与丁轴交于点C，阮=2丽,N0C5=q，1。4|=2,|A£>|=2叵.则下列

说法正确的有（).

y

A.的最小正周期为12

c.f（x）的最大值为3

D.“X）在区间（14,17）上单调递增

3

【答案】ACD

【解析】

由题意可得：V3|Asin^|=2+-,sin(2o+@=0,可得A，B，C,。的坐标，根据|4。|=宜红，可得方

CO3

程。一六里=T，进而解出。，。，A・判断出结论.解：由题意可得：IOBI=GIOCI，

/.G|Asin夕1=2+工,sin(2ty+^)=0,

CD

A(2,0),8(2+—,0),C(0,Asincp).

CD

、Asin^

2a)2

22

..l4nl2e.7T2Asin(p28

32co43

把|AsinM=W(2+2)代入上式可得：(¥)2-2X2-24=0,^>0.

73coCDCD

TT

解得一=6,

co

CD=—，可得周期7=—=12.

6CD

sin(—+0)=0,|^91„—,解得(p=——.可知：B不对.

AV3|Asin(-|)|=2+6,A>0,解得A=^.

二函数/(x)=Esin(£x-£)，

可知C正确.

(14,17)时，(—x----)G(2TT,--),

可得:函数/（X）在（14,17）单调递增.

综上可得：ACD正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于较

难题.

三、填空题

ax-1,x<0,

15.（2021•江苏镇江市•扬中市第二高级中学高一期末）已知函数={兀其中a>0,且

2sin—x,0<x<2,

awl,若函数y=/（x）-l有3个不同的零点西,x2,x3,且玉+%2+毛>0,则实数a的取值范围是________

（Uy\

【答案】o,二

I2J

【解析】

画出函数图像，排除4>1的情况，根据对称性得到々+刍二=2,计算得到答案.如图所示：当。>1时;函数

〉=/（力一1有2个不同的零点，不满足；

当0<。<1时，不妨设斗<当<%3，根据对称性知々+*3=2,故%>-2.

av-1=1，故x=log"2>-2,故o<a<2<_.

2

（

故答案为：0,--.

12）

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.

16.(2018.江苏苏州市•高一期末)将函数y=sinx的图象向左平移？个单位长度，再将图象上每个点的横坐标

变为原来的(3>0)倍(纵坐标不变)，得到函数y=/(%)的图象，若函数y=/(%)在区间上有且仅

有一个零点，则。的取值范围为.

(4101

【答案】.

133J

【解析】

由题设/(x)=sin(<yx+(),令=wZ,解得x=>;二,取4=1,2,分别得到

2)71

---<--

x=—,x^—,它们是函数在y轴右侧的第一个零点和第二个零点，所以2,故<竺，故填

3。335乃、733

[3a)~2

410

—<co<—

33

sin"+永〉

点睛:因为/(》)=0),所以该函数的图像必过定点且在y轴的右侧的第一个对

410

称中心的横坐标在内，第二个对称中心的横坐标不在中,从而得到一<69<--.

33

17.(2019•江苏高一月考)给出下列四个命题:

①函数/(x)=sinxcosx是奇函数；

②若角。是AABC的一个内角，且sinC+cosC='，则AABC是钝角三角形;

2

口zrmjcizm1-COSJ1+COS。2

③已知。是第四象限角，则J------。-+/-------=-----；

V1+cosaV1-cosasina

冗冗

④已知函数/(力=2$足5(0>0)在区间一行,^单调递增，则0<°W2.

其中正确命题的序号是.

【答案】①②

【解析】

根据三角函数性质，有sinxcosx=gsin2x,(sinC+cosC)2=1+2sinCcosC»逐一判断，即可求解.对

于①/(x)=gsin2x,/(-x)=gsin(-2x)=-^sin2x=-/(x)奇函数，①正确.

1O

对于②(sinC+cosC『=l+2sinCcosC=—,/.sinCcosC=—^

由C是A4BC的一个内角，则sinC＞0,.・.＜：05。＜0,

「.C为钝角，②正确.

n1+cosa)21-cosa+1+cosa2

对于③,l(l-coscr)

|sincr|

V1-cos2aV1-cos2ez卜ina|\sina\

\a是第四象限角「.sinavO

2

原式=-------，③错

sina

\717t'\「O)7tCD兀

对于④对于j(xj=2sincox,x€——(oxG——>0

.•J(x)单调递增

3

co<—3

2④错

(071九2

-----<—a><2

I4-2

故答案为：①②

【点睛】

本题考查二倍角公式，同角三角函数关系，考查转化与化归思想，考察计算能力，综合性较强，属于难题.

18.(2019•江苏苏州市•高一期中)已知关于x的方程sinx—cos2x+l—a=0(aeR)在区间［。,3用上共有n(neN*)个

互不相同的实数根。，々，…，/，当勺+乙+…+勺取得最小值时，实数。的取值集合为.

【答案】卜权

【解析】

【解析】

画出y=sinx在［0,3万］的图象，设sinx=m,则一iWmWl,作出y=m?+瓶(_14加(1)的图象，分类讨论，分

别根据图象判断sinx=勺解的情况，求出每种情况下不同实数根和的值，从而可得结果.原式化为

22

a=sinx-cosx4-1=sinx+sin%，

画出y=sinx在［0,3用的图象，如图,

设sinx=m,则一1SmS1,作出丁=加？+的图象如图,

1

由图象可知，一；4a42,

4

11~13万，

当Q=—了时，m=-由、=sinx的图象可知sinx二—三的两个解关于％=丁对称，

4222

37r

4-x2=2x—=3不；

1o

当—a＜。时，m?+m=Q在(-1,0)上有两个解机1，帆2，

..37r

sinx=mvsinx=分别有两个关于x=彳对称的两个根，

37r

%1+x24-x3+%4=2x—x2=6"；

37ro

当Q=0时，m=0或m=-l,有sinx=0的解0,〃,2万,3加，sinx=-l的解为了，当0VQV2时，血2+小=。在((),1)

37T37r

上只有一个解，§皿=加有4个解，关于％=~y对称，xx+x2+x34-x4=2xyX2=6TT；

TI57ryr57r

当Q=2时，m=l,有sinx=l的解了万，Xj4-x2=-4--=3TT,

1

综上所述，4+4+•・・+4取得最小值3%时，,实数Q的为-二或2,

4

故答案为｛一:？1.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角方程，考查了数形结合思想以及分类讨论思想的应用，属于难

题.分类讨论思想的常见类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；

⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，位置的变化需要分类讨论的.

19.(2018•江苏镇江市•高一月考)已知函数2是奇函数，则

-X+2X+COS(X+6Z),X<0

sinAa=.

【答案】-1

【解析】

当x<0时，一x>0,

I函数:(%)为奇函数,

••/X)=-/(X),

即(一元)2+2017(-x)+s加(一%)=工2—2017x—s0优=—[一次？+Xx+cos(x+a)]

=x2一几x-cos(x+a),

Z=2017j^cos(x-i-a)=sinx,

兀

，a=一耳+2kjv,keZ.

TTTT

:.sin-sin[2017•(--■12左砌=sin(--)=—1.

22

答案：一1

2cosye[-6,6]

20.(2021•江苏省天一中学高一期末)设函数/(幻=<

12若关于x的方程

言,xe(-oo,-6)u(6,+oo)

国

[/(x)]2+qf(x)+l=0(aeR)有且仅有6个不同的实根.则实数a的取值范围是.

【答案】a<一』或a=2或a=—2

22

【解析】

作出函数“X)的图象，设/(x)=r,分关于/+〃+1=0有两个不同的实数根内、*和两相等实数根进行

讨论，当方程/+3+1=0有两个相等的实数根时;a=±2再检验，当方程/+3+1=0有两个不同的实

数根公弓时，：=—2，r2G(—2,0)或4«0,2),闻＞2,再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.作

出函数“X)的简图如图，

令/(x)=f,要使关于x的方程［/(x)y+4(x)+l=0(aeR)有且仅有6个不同的实根，

(1)当方程/+〃+1=。有两个相等的实数根九时，

由A=Q2—4=0，即。=±2,此时％=±1

当。=2,此时％=T，此时由图可知方程［/(切2+/(村+1=036/?)有4个实数根，此时不满足.

当a=—2,此时％=】，此时由图可知方程［/(x)［+5(x)+l=0(aeR)有6个实数根，此时满足条件.

(2)当方程“+R+I=O有两个不同的实数根4、q时，则4=—2,2,0)或％目0,2),闻＞2

当%=—2时，由4—2a+l=0可得a=g

,5