《7.3 离散型随机变量的数字特征》教案与分层同步练习

《7．3离散型随机变量的数字特征》教案第一课时离散型随机变量的均值课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征.2.能计算简单离散型随机变量的均值.通过研究离散型随机变量的分布列及其数字特征，进一步提升数学抽象及数据分析素养.【课前预习】新知探究某城市随机抽查了1000户居民的住房情况，发现户型主要集中在160平方米，100平方米，60平方米三种，对应住房比例为1∶5∶4，能否说该市的户均住房面积为eq\f(160＋100＋60,3)≈106.7(平方米)?问题上述情境中的计算是否合理，怎样运算才更合理？提示此种计算显然不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的比例，造成了“被平均”现象，通过本课时的学习我们可以找到正确的计算方法．1．离散型随机变量的均值或数学期望正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do10(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．2．两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p；3．离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．拓展深化[微判断]1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(×)提示随机变量X的均值E(X)是个定值，不随X的变化而变化．2．随机变量的均值与样本的平均值相同．(×)提示随机变量的均值与样本的均值并非等价，因为样本代表的是部分的情况，不能完全与整体等价．3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(√)[微训练]1．已知离散型随机变量X的分布列为X123Peq\f(2,13)eq\f(5,13)eq\f(6,13)则X的数学期望E(X)＝()A.eq\f(30,13) B.eq\f(27,13)C．2 D.eq\f(25,13)解析E(X)＝1×eq\f(2,13)＋2×eq\f(5,13)＋3×eq\f(6,13)＝eq\f(30,13).答案A2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为__________．解析X＝2，3.P(X＝2)＝eq\f(1,Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(2,3).故E(X)＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).答案eq\f(8,3)[微思考]某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？提示由于平均在每1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是eq\f(1,2)kg、eq\f(1,3)kg和eq\f(1,6)kg，所以混合糖果的合理价格应该是18×eq\f(1,2)＋24×eq\f(1,3)＋36×eq\f(1,6)＝23(元/kg)．这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值.【课堂互动】题型一利用定义求离散型随机变量的均值【例1】袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．解取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(0,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，故X的分布列如下：X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)∴E(X)＝5×eq\f(4,35)＋6×eq\f(18,35)＋7×eq\f(12,35)＋8×eq\f(1,35)＝eq\f(44,7)(分)．规律方法求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．【训练1】某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．解根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4，1，3，6.∴P(X＝－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,9)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,18)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,18)，P(X＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,18)＝eq\f(1,9).∴X的分布列为X－4136Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(7,18)eq\f(1,9)∴E(X)＝(－4)×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋3×eq\f(7,18)＋6×eq\f(1,9)＝eq\f(16,9)(分)．题型二离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量X的分布列为：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)若Y＝－2X，则E(Y)＝__________．解析由随机变量分布列的性质，得eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＋eq\f(1,20)＝1,解得m＝eq\f(1,6)，∴E(X)＝(－2)×eq\f(1,4)＋(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,20)＝－eq\f(17,30).由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))＝eq\f(17,15).答案eq\f(17,15)【迁移1】(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3,求E(Y)．解由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－eq\f(17,30)得，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))－3＝－eq\f(62,15).【迁移2】(变条件，变设问)本例条件不变，若Y＝aX＋3,且E(Y)＝－eq\f(11,2)，求a的值．解∵E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq\f(17,30)a＋3＝－eq\f(11,2)，∴a＝15.规律方法离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)．【训练2】已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为()X1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析因为Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7，即E(Y)＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2·m＋3·n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.所以2m＋3n＝eq\f(5,3)，①又eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq\f(2,3)，②由①②可解得m＝eq\f(1,3).答案A题型三离散型随机变量均值的应用【例3】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．解记E＝“甲组研发新产品成功”，F＝“乙组研发新产品成功”．由题设知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5)，且事件E与F，E与eq\o(F,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))与F，eq\o(E,\s\up6(－))与eq\o(F,\s\up6(－))都相互独立．(1)记H＝“至少有一种新产品研发成功”，则eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率为P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X＝0)＝P(eq\a\vs4\al(\o(E,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(F,\s\up6(－))))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，故所求的分布列为X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(2,5)均值为E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(1,5)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(2,5)＝140(万元)．规律方法解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值．【训练3】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是eq\f(1,2).若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令X表示该公司的资助总额．(1)写出X的分布列；(2)求均值E(X)．解(1)X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30.P(X＝0)＝eq\f(1,64)，P(X＝5)＝eq\f(3,32)，P(X＝10)＝eq\f(15,64)，P(X＝15)＝eq\f(5,16)，P(X＝20)＝eq\f(15,64)，P(X＝25)＝eq\f(3,32)，P(X＝30)＝eq\f(1,64).故X的分布列为X051015202530Peq\f(1,64)eq\f(3,32)eq\f(15,64)eq\f(5,16)eq\f(15,64)eq\f(3,32)eq\f(1,64)(2)E(X)＝0×eq\f(1,64)＋5×eq\f(3,32)＋10×eq\f(15,64)＋15×eq\f(5,16)＋20×eq\f(15,64)＋25×eq\f(3,32)＋30×eq\f(1,64)＝15(万元).【素养达成】一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．2．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值．3．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值．二、素养训练1．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1，2，3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于()A．2 B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,5)解析由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(1,10)，P(X＝2)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(3,10).∴E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(7,5).答案D2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D．－1解析因为P(X＝1)＝eq\f(1,2)，P(X＝－1)＝eq\f(1,2)，所以由均值的定义得E(X)＝1×eq\f(1,2)＋(－1)×eq\f(1,2)＝0.答案A3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为X012Ppeq\f(1,2)－peq\f(1,2)则E(X)的最小值为()A．1 B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3) D．2解析由p≥0，eq\f(1,2)－p≥0，得0≤p≤eq\f(1,2)，则E(X)＝eq\f(1,2)－p＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)－p≥1.故选A.答案A4．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的均值为______．解析抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为X123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)所以E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×eq\f(1,6)＝eq\f(21,6)＝eq\f(7,2).答案eq\f(7,2)5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1，2，3，4)个．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值；(2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．解(1)X的分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)X的均值E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝eq\f(3,2).(2)E(Y)＝aE(X)＋4＝1，又E(X)＝eq\f(3,2)，则a·eq\f(3,2)＋4＝1，∴a＝－2.【课后作业】基础达标一、选择题1．已知离散型随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)则E(2X＋1)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析∵E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋1＝eq\f(2,3).答案C2．已知某一随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为()Xa79Pb0.10.4A.4 B．5C．6 D．7解析根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.答案A3．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于()X0123P0.1Ab0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．－0.4解析由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.又由E(X)＝0×0.1＋1·a＋2·b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.答案C4．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是()A．0.2 B．0.8C．1 D．0解析因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.答案B5．随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则a＋b等于()A．10 B．5C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,10)解析易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②由①②，得a＝eq\f(1,10)，b＝0.答案D二、填空题6．已知某一随机变量X的分布列如下表：X3b8P0.20.5a且E(X)＝6，则a＝__________，b＝__________．解析由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由E(X)＝3×0.2＋b·0.5＋8·a＝6，得b＝6.答案0.367．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X1234P0.50.20.20.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若Y表示经销一件该商品的利润，则E(Y)＝__________元．解析由题意可知Y可以取100，150，200，分布列如下Y100150200P0.50.40.1∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元)．答案1308．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为eq\f(2,3)，则此人试验次数X的均值是__________．解析试验次数X的可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝eq\f(2,3)，P(X＝2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq\f(1,9).所以X的分布列为X123Peq\f(2,3)eq\f(2,9)eq\f(1,9)所以E(X)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9).答案eq\f(13,9)三、解答题9．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：(1)抽取次数X的分布列；(2)平均抽取多少次可取到好电池．解(1)由题意知，X取值为1，2，3.P(X＝1)＝eq\f(3,5)；P(X＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)；P(X＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,10).所以X的分布列为X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)(2)E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝1.5(次)，即平均抽取1.5次可取到好电池．10．在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？解设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0，5，25，100.依题意，可得X的分布列为X0525100Peq\f(391,400)eq\f(1,50)eq\f(1,500)eq\f(1,2000)所以E(X)＝0×eq\f(391,400)＋5×eq\f(1,50)＋25×eq\f(1,500)＋100×eq\f(1,2000)＝0.2(元)，所以一张彩票的合理价格是0.2元．能力提升11．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：投资甲获利(万元)23－1概率0.40.30.3投资乙获利(万元)14－2概率0.60.20.2那么他应该选择经营________种商品．解析投资甲项目获利的期望E甲＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，投资乙项目获利的期望E乙＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1.因为E甲＞E乙．故他应该选择经营甲种商品．答案甲12．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，求X的分布列及均值．解根据题意易知X＝0，1，2，3.分布列如下：X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)所以E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).创新猜想13．(多选题)设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)则下列说法正确的是()A．p∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．E(X)最大值为eq\f(3,2)C．p∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D．E(X)最大值为eq\f(5,2)解析由表可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤\f(1,2)－p≤1，,0≤p≤1，))从而得P∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，期望值E(X)＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋1·p＋2×eq\f(1,2)＝p＋1，当且仅当p＝eq\f(1,2)时，E(X)最大值＝eq\f(3,2).答案AB14．(多空题)某射手射击所得环数X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知X的均值E(X)＝8.9，则x的值为____________，y的值为__________．解析由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，))解得y＝0.4，x＝0.2.答案0.20.47．3离散型随机变量的数字特征第二课时离散型随机变量的方差课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.通过研究离散型随机变量的方差，进一步提升数学抽象及数据分析素养.【课前预习】新知探究甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格产品数分别用X，Y表示，X，Y的分布列如下：X0123P0.60.20.10.1Y0123P0.50.30.20如何比较甲、乙两人的技术？问题情境中的问题，我们可以分别求出甲、乙两人不合格品数的均值，但是两人的均值相等，我们应如何更准确地比较两个工人的技术水平？提示我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．1．离散型随机变量的方差、标准差正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．2．几个常见的结论(1)D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．拓展深化[微判断]1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(×)提示随机变量的方差越小，随机变量越稳定．2．若a是常数，则D(a)＝0.(√)3．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(√)[微训练]1．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5,则E(X)和D(X)分别为()A．0.5和0.25 B．0.5和0.75C．1和0.25 D．1和0.75解析E(X)＝p＝0.5，D(X)＝p(1－p)＝0.5×0.5＝0.25.答案A2．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A．2 B．3C．4 D．5解析D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.答案C[微思考]离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？提示离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.【课堂互动】题型一求离散型随机变量的方差角度1用定义求离散型随机变量的方差【例1】设离散型随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)则D(X)等于()A.eq\f(29,12) B.eq\f(121,144)C.eq\f(179,144) D.eq\f(17,12)解析由题意知，E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).答案C角度2求两点分布的方差【例2】若某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为__________．解析依题意知：X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.答案0.16规律方法求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差．(2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．【训练1】袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差．解(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.易知第一次取到偶数球的概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，第二次取球时袋中有三个奇数，所以第二次取到奇数球的概率为eq\f(3,4)，而这两次取球相互独立，所以P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8).(2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．所以X的可能取值为3，5，6，7，所以P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，P(X＝7)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,4)＝eq\f(1,4)，所以X的分布列为X3567Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,4)均值E(X)＝3×eq\f(1,8)＋5×eq\f(3,8)＋6×eq\f(1,4)＋7×eq\f(1,4)＝eq\f(11,2)，方差D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).题型二方差的性质的应用【例3】已知随机变量X的分布列为：X01xPeq\f(1,2)eq\f(1,3)p若E(X)＝eq\f(2,3).(1)求D(X)的值；(2)若Y＝3X－2，求eq\r(D（Y）)的值．解由分布列的性质，得eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋p＝1，解得p＝eq\f(1,6)，∵E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)x＝eq\f(2,3)，∴x＝2.(1)D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(15,27)＝eq\f(5,9).(2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，∴eq\r(D（Y）)＝eq\r(5).规律方法求随机变量Y＝aX＋b方差的方法求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．【训练2】设随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)若Y＝2X＋2，则D(Y)等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,9) D.eq\f(20,9)解析由题意知，E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×eq\f(5,9)＝eq\f(20,9).答案D题型三均值与方差的综合应用【例4】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．解E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(XA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(XB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(XA)＝E(XB)，D(XA)＜D(XB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好．规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程．【训练3】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)则E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2·2.75＝11，得a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4))即为所求.【素养达成】一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．2．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差eq\r(D（X）)越小，则随机变量取值偏离均值的平均程度越小，说明X的取值越集中；方差D(X)或标准差eq\r(D（X）)越大，表明随机变量取值偏离均值的平均程度越大，说明X的取值越分散．3．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值．(2)求X取每一个值的概率．(3)写出随机变量X的分布列．(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．二、素养训练1．若离散型随机变量X的标准差eq\r(D（X）)为8，则随机变量Y＝2X－1的标准差为()A．8 B．15C．16 D．32解析eq\r(D（2X－1）)＝eq\r(4D（X）)＝2eq\r(D（X）)＝16.答案C2．设随机变量X的分布列为X123Peq\f(1,2)xy若E(X)＝eq\f(15,8)，则D(X)＝()A.eq\f(33,64) B.eq\f(55,64)C.eq\f(7,32) D.eq\f(9,32)解析由随机变量分布列的性质得x＋y＝eq\f(1,2)，由E(X)＝eq\f(15,8)，得1×eq\f(1,2)＋2x＋3y＝eq\f(15,8)，解得x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(3,8).∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).答案B3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析由E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＞D(X乙)知B正确．答案B4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝__________，b＝__________．X－1012Pabceq\f(1,12)解析由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,a＋c＋\f(1,3)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,12)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))答案eq\f(5,12)eq\f(1,4)5．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(3,4).(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、期望及标准差．解(1)设第三次由乙投篮为事件A，则P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(13,18).(2)由题意，X的取值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)；P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(7,18).P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).故X的分布列为X012Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(1,2)E(X)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(25,18)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(25,18)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(25,18)))eq\s\up12(2)×eq\f(7,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(25,18)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(149,324)，∴eq\r(D（X）)＝eq\f(\r(149),18).【课后作业】基础达标一、选择题1．设一随机试验的结果只有A和eq\o(A,\s\up6(－))，且P(A)＝m，令随机变量X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，A不发生，))则X的方差D(X)等于()A．m B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)解析由题意知X服从两点分布，故D(X)＝m(1－m)．答案D2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1，2，3，4，5，则D(2X－5)＝()A．6 B．8C．3 D．4解析E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝3，∴D(X)＝eq\f(1,5)×[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，∴D(2X－5)＝4D(X)＝4×2＝8.答案B3．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0，1)，则E(X)，D(X)的值分别是()A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)p解析易知X服从两点分布，∴E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．答案D4．以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为X1(甲得分)012P(X1＝xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2＝xi)0.30.30.4现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？()A．甲 B．乙C．甲、乙均可 D．无法确定解析E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好．答案A5．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量X1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量X2取值eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(x2＋x3,2)，eq\f(x3＋x4,2)，eq\f(x4＋x5,2)，eq\f(x5＋x1,2)的概率也均为0.2，若记D(X1)，D(X2)分别为X1，X2的方差，则()A．D(X1)>D(X2)B．D(X1)＝D(X2)C．D(X1)<D(X2)D．D(X1)与D(X2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关解析由题意可知E(X1)＝E(X2)，又由题意可知，X1的波动性较大，从而有D(X1)>D(X2)．答案A二、填空题6．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为__________．解析设该事件在一次试验中发生的概率为p，事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.答案0.57．已知随机变量X的分布列为X01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)且E(X)＝1.1，则D(X)＝__________．解析由随机变量分布列的性质可得p＝1－eq\f(1,5)－eq\f(3,10)＝eq\f(1,2).又E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋x·eq\f(3,10)＝1.1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.答案0.498．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝eq\f(1,3)，则D(X)＝______．解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，,c－a＝\f(1,3)，))解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)三、解答题9．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．解由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．10．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P0.30.30.20.2乙保护区：Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解甲保护区违规次数X的数学期望和方差为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区违规次数Y的数学期望和方差为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．能力提升11．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(7,3)C．3 D.eq\f(11,3)解析x1，x2满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3).))∵x1<x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.答案C12．为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求X，Y的分布列；(2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．解(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴X，Y的分布列分别为X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)；E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)；D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．创新猜想13．(多选题)已知随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则下列式子正确的是()A．E(X)＝－eq\f(1,3) B．D(X)＝eq\f(23,27)C．P(X＝0)＝eq\f(1,3) D．P(X＝1)＝eq\f(1,2)解析由分布列可知，E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故A正确；D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故B不正确；C显然正确；P(X＝1)＝eq\f(1,6)，故D不正确．答案AC14．(多空题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示．降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的期望是________，工期延误天数Y的方差为__________．解析由已知条件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的方差为9.8.答案39.8《7.3离散型随机变量的数字特征》分层同步练习第一课时离散型随机变量的均值【基础达标练】1.若随机变量X的分布列为X146P0.550.30.15则E(X)等于()A.1 B.13 C.4.5解析E(X)=1×0.55+4×0.3+6×0.15=2.65.答案D2.已知Y=5X+1,E(Y)=6,则E(X)的值为()A.65 B.5 C.1解析因为E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,所以E(X)=1.答案C3.若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于()X024P0.30.20.5A.16 B.11 C.2.2 D.2.3解析由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.答案A4.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为()A.13 B.23 C.2解析依题意X=2,3,所以P(X=2)=1C32所以E(X)=2×13+3×2答案D5.一个高考考生咨询中心有A,B,C三条咨询热线,已知某一时刻热线A,B占线的概率均为0.5,热线C占线的概率为0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有X条占线,则E(X)=.解析随机变量X可能的取值为0,1,2,3,依题意知P(X=0)=0.15,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.35,P(X=3)=0.1.故E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4.答案1.46.某射手射击所得环数ξ的分布列如下.ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为.解析由x+0解得y=0.4.答案0.47.对某个数学题,甲解出的概率为23,乙解出的概率为34,两人独立解题.记X为解出该题的人数,则E(X)=解析X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=13×1P(X=2)=23×34=12答案178.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止.求:(1)抽取次数X的分布列;(2)抽取次数X的均值.解(1)由题意知,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=35P(X=2)=25P(X=3)=25所以X的分布列为X123P331(2)E(X)=1×35+2×310+3×9.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:处罚金额x(单位:元)05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.①求这两种金额之和不低于20元的概率;②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是40200(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有C52=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为X5101520253035P1111111故E(X)=5×110+10×110+15×15+20×15+25×15【能力提升练】1.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是()A.0,7C.712,解析根据题意,X的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1)=p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75,解得p>52或p<12,结合p的实际意义,可得0<p<12,即p答案B2.某船队若出海后天气好,可获得5000元;若出海后天气坏,将损失2000元;若不出海也要损失1000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是()A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2600元解析出海的期望效益为5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200(元).答案B3.设l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率k等可能地取-22,-3,-52,0,52,3,2解析当l的斜率k为±22时,直线l的方程为±22x-y+1=0,此时坐标原点到l的距离ξ=13当k为±3时,ξ=12当k为±52时,ξ=2当k为0时,ξ=1.由古典概型的概率公式可得ξ的分布列为ξ1121P2221故E(ξ)=13×2答案44.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X的均值是.解析依题意X的取值为0,1,2,4,则P(X=0)=3×6+3×36×6P(X=1)=2×26×6P(X=2)=2×1+1×26×6P(X=4)=1×16×6故E(X)=0×34+1×19+2×19答案45.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C3因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31CP(X=3)=C3所以X的分布列为X123P131E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×6.某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超过4km时租车费为10元,若行驶路程超出4km,则按每超出1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η.(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;(2)若随机变量ξ的分布列为ξ15161718P0.10.50.30.1求所收租车费η的均值;(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解(1)依题意得,η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2.(2)E(ξ)=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4.∵η=2ξ+2,∴E(η)=2E(ξ)+2=34.8.故所收租车费η的均值为34.8元.(3)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15.所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.【素养培优练】在中华人民共和国成立70周年之际,《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映,拉开国庆档电影大幕.据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元,《中国机长》票房收入为29.12亿元,《攀登者》票房收入为10.98亿元.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片,在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查,其中观看了《我和我的祖国》的有49人,观看了《中国机长》的有46人,观看了《攀登者》的有34人,统计图如下.(1)计算图中a,b,c的值;(2)文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人,进行观影体验的访谈,了解到他们均表示要观看第三部电影,现从这7人中随机选出4人,用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数,求X的分布列及均值.解(1)由题意可得27+a+b+4=46,30+a+c+4=49,(2)记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组,共9人;“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组,共6人;“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组,共6人;所以按分层抽样,A,B,C组被抽取的人数分别为9×721=3,6×721=2,6×在被抽取的7人中,没有观看《我和我的祖国》的有2人,故X=0,1,2,则P(X=0)=C54C74X012P142E(X)=0×17+1×47+2×第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征第二课时离散型随机变量的方差【基础达标练】1.已知X的分布列为X1234P1111则D(X)的值为()A.2912 B.121144 C.179解析∵E(X)=1×14+2×13+3×16+4×14=答案C2.设0<a<1,已知随机变量X的分布列是X0a1P111若D(X)=16A.12 B.13 C.1解析∵E(X)=0×13+a×13+1×∴D(X)=1+a=127[(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=29(a2-a+1)=∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=12答案A3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好()A.甲 B.乙C.甲、乙均可 D.无法确定解析∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2).故甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好