《5.3导数在研究函数中的应用》同步练习与答案解析

选择性必修二《5.3导数在研究函数中的应用》同步练习一、单选题1．函数，若，，，则（）A． B． C． D．2．函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．3．函数（其中为自然对数的底数）的大致图象为（）A． B． C． D．4．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（）A． B． C． D．6．已知是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有(e是自然对数的底数)，f(0)=3，若方程f(x)=m恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为（）A．1 B． C． D．2二、多选题9．关于函数，下列说法正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有个零点C．存在正整数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则10．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（）A． B．C．是R上的增函数 D．，则有11．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A．在内单调递增B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是D．和之间存在唯一的“隔离直线”12．对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则三、填空题13．如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为________.14．已知，，，则的最小值是______.15．若函数在上是单调函数，则的最大值是______.16．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设，为了节省建设成本，要使得的值最小，则当的值最小时，_______km.四、解答题17．已知函数，，设．（1）若，求的最大值；（2）若有两个不同的零点，，求证：.18．已知函数，.（1）求函数在上的单调区间；（2）证明：对任意的实数，，，都有恒成立.19．已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）.若函数在点处的切线为，函数在点处的切线为.（1）若，求和的方程；（2）若恒成立，求的取值范围.20．（本小题满分14分）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.22．已知函数，其中.（1）求的单调区间；（2）当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，其中，证明：；（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.答案解析一、单选题1．函数，若，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，可得在的单调性，利用单调性，即可得答案.【详解】因为，所以，当时，，则在为减函数，因为，所以，即，故选：B2．函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．3．函数（其中为自然对数的底数）的大致图象为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数研究函数的单调性，得出函数图像的大概图形，然后逐个判断图像即可【详解】令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又令，所以，有两个零点，因为，，所以，，且当时，，，当时，，，当时，，，选项D满足条件故选：D【点睛】关键点睛：利用导数研究函数的单调性，得出函数图像的大概走势为：当时，，，当时，，，当时，，；本题难度属于中档题4．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解.【详解】已知函数，则，因为在，上为增函数，在上为减函数，所以，即，解得，所以实数的取值范围为故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.5．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.【详解】设，∵，即，即，故是奇函数，由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.∵在上有，∴，故在单调递增，又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，∵，∴，即，∴，故，故选：B．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.6．已知是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有(e是自然对数的底数)，f(0)=3，若方程f(x)=m恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，构造函数，由，设，g0)=f(0)=3,得到，再利用导数研究其单调性，极值，最值，画出图象求解即可.【详解】因为，所以，令，所以，所以，，又f(0)=3，解得，所以，所以，当时，或，当时，，所以在和上递增，在上递减，所以的极大值是，极小值是，因为方程f(x)=m恰有三个实数根，如图所示：所以，所以则实数m的取值范围是故选：D【点睛】本题主要考查了构造函数利用导数研究函数的单调性，极值，最值方程的根，还考查了转化化归思想，数形结合思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数求得函数的单调性与最值，求解，转化为或，作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.【详解】设，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，由方程可化为，解得或，画出函数的图象，如图所示，要使得关于的方程有5个不同的实数根，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A【点睛】对于方程根的存在性与根的个数的判定及应用，此类问题的解答中通常转化为函数的图象的交点个数，结合函数点图象列出相应的不等式是解答的关键，着重考查数形结合，以及转化思想的应用，属于中档试题.8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为（）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据体积公式用表示出，得出费用关于的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.【详解】解：由题意知，故，由可知.∴建造费用，()，则.当时，，时，.当时，该容器的建造费用最小.故选：C.【点睛】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.二、多选题9．关于函数，下列说法正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有个零点C．存在正整数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则【答案】BD【分析】根据导数解决函数的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.【详解】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A错误；对于B选项，，∴，∴函数在上单调递减，又∵，，∴函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.综上，故正确的是BD.故选：BD【点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法.10．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（）A． B．C．是R上的增函数 D．，则有【答案】AD【解析】【分析】由题意得，即为增函数，可得，即可判断，举出反例可判断C，根据单调性可判断D.【详解】由，得，即，所以函数为增函数，故，所以，故A正确，B不正确；函数为增函数时，不一定为增函数，如是增函数，但是减函数，所以C不正确；因为函数为增函数，所以时，有，故有成立，所以D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中档题.11．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A．在内单调递增B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是D．和之间存在唯一的“隔离直线”【答案】AD【分析】求出的导数，检验在内的导数符号，即可判断选项A；选项B、C可设、的隔离直线为，对一切实数x都成立，即有，又对一切都成立，，，，根据不等式的性质，求出、的范围，即可判断选项B、C；存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A：，，当时，，所以函数在内单调递增；故选项A正确对于选项BC：设、的隔离直线为，则对一切实数x都成立，即有，即，又对一切都成立，则，即，，，，即有且，，可得，同理可得：，故选项B不正确，故选项C不正确；对于选项D：函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，即，由，可得对于恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，，当时，，当时，，则当时，取到极小值，极小值是，也是最小值.所以，则当时恒成立.所以和之间存在唯一的“隔离直线”，故选项D正确.故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.12．对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时，，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；由函数在上单调递减，可得，由于，则，因为，所以，即，所以，所以C正确；由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，即，解得，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．三、填空题13．如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为________.【答案】【分析】求出的零点2，设的零点，再根据题意求出，由，分离参数可得，设，利用导数求出函数的最值，确定函数的值域即可求解.【详解】函数有唯一的零点2，由题意知函数的零点满足，即.因为，所以，设，则，，当时，，是增函数；当时，，是减函数，所以，又，，所以实数的取值范围为.故答案为：.14．已知，，，则的最小值是______.【答案】.【分析】由题意有且，结合已知有，令，，利用导数研究其单调性求最值即可.【详解】由题意，，即有且，将代入化简得：，令，∴，则有，当，有，单调递减；当，有，单调递增；∴，故答案为：【点睛】本题考查了通过构造函数，利用其导函数研究单调性求函数最值，属于难题.15．若函数在上是单调函数，则的最大值是______.【答案】3【分析】首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a的最大值即可.【详解】由题意可得：，由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故，即在区间上恒成立，据此可得：，即的最大值是3.故答案为3．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设，为了节省建设成本，要使得的值最小，则当的值最小时，_______km.【答案】4【分析】根据题意得，，故，设，，根据导数研究函数单调性得，此时，进而得.【详解】解：根据题意，，所以，所以，，所以，，设，，所以，令，得，所以，，使得时，，时，，故在区间上单调递减，在上单调递增，所以，此时.所以，.故当的值最小时，.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的的最值，考查导数的应用问题，是中档题.四、解答题17．已知函数，，设．（1）若，求的最大值；（2）若有两个不同的零点，，求证：.【答案】（1）最大值为；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求出函数的导函数，再判断的符号，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）由题知，，即，，要证，即可，令，则只需证．构造函数，利用导数说明其单调性即可得证；【详解】解：（1）解：当时，所以．注意，且当时，，单调递增；当时，，单调递增减．所以的最大值为．（2）证明：由题知，，即，，可得．．不妨，则上式进一步等价于．令，则只需证．设，，所以在上单调递增，从而，即，故原不等式得证．【点睛】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，属于难题．18．已知函数，.（1）求函数在上的单调区间；（2）证明：对任意的实数，，，都有恒成立.【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）证明见解析.【分析】（1）先求出函数的导数，然后分别由和可求出函数的单调区间；（3）因为，在上是增函数，所以不等式，即恒成立，令，即证函数在上是增函数，即证，由于，只需证，然后构造函数，利用导数证明即可【详解】（1）解：，当或时，；当时，，所以，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.（2）证明：因为，在上是增函数，所以不等式，即恒成立.设，即证函数在上是增函数，即证，即证在上恒成立.令，，在上单调递减，在上单调递增，.所以，即.因为，所以.所以要证成立，只需证，令，，当时，，递减；当时，，递增.，所以，即在上恒成立，所以原命题成立.【点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，解题的关键是把等价转化为，即恒成立，等价于证明在在上是增函数，考查数学转化思想和计算能力19．已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）.若函数在点处的切线为，函数在点处的切线为.（1）若，求和的方程；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1），，利用，得，求出斜率得所求直线方程.（2）方法一：不等式恒成立等价转化为在上恒成立，构造，，分类讨论求得最小值大于零得解；方法二：不等式恒成立等价转化为：恒成立构造，得单调递增，得到恒成立，即恒成立得解【详解】（1）根据题意可知：函数在点处的切线为，函数在点处的切线为，而，，，根据导函数在该点的函数值相等可得，又，.切线过点，斜率为；切线过点，斜率为，，，综上所述，所求的直线方程为：，（2）方法一：，故不等式恒成立可等价转化为：在上恒成立，记，，当时，，不合题意；当时，，记，，则，所以在是增函数，又，所以使得，即①，则当时，，即，当时，，即，故在上单调递减，在上单调递增，所以②，由①式可得，代入②式得，因为，即，故，，即，所以时恒成立，故的取值范围为.方法二：根据已知条件可得：，.且恒成立；故可等价转化为：恒成立设，则，单调递增，因而恒成立，即恒成立.令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，从而即为所求.【点睛】本题考查导函数几何意义求切线及利用导函数最值解决不等式恒成立，属于难题.20．（本小题满分14分）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．【答案】(1)500米.(2)两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.【解析】分析:(1)设，，记，利用和角的正切得到t的方程，解方程即得两索塔之间的距离AC=500米．(2)设AP=x，点P处的承重强度之和为.先求出，且，再利用导数求最小值.详解：（1）设，，记，则，由，化简得，解得或（舍去），所以，．答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且，即记，则，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.点睛：本题主要考查和角的正切和导数的应用，意在考查学生的转化能力和运用数学知识解决实际问题的能力.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【分析】（1）求