《4.3.1 等比数列》课堂同步练习

《4.3.1等比数列（第一课时）》课堂同步练习基础练一、单选题1．已知等比数列的公比，则等于（）A． B． C． D．32．在等比数列中，，则（）A． B． C． D．3．在等比数列中，若>0且，则的值为（）A．2 B．4 C．6 D．84．如果，，成等比数列，那么的值等于（）A． B． C． D．5．数列为等比数列，则下列结论中不正确的是（）A．是等比数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等差数列6．在等比数列中，，，则等于（）A． B． C．或 D．或二、填空题7．在等比数列中，，则该数列的通项公式__________.8．在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是.9．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.三、解答题10．在等比数列中，（1）已知，求.（2）已知，求和公比.（3）已知，求.（4）已知，求.参考答案1．【答案】B【解析】根据等比数列定义知：所以故选B2．【答案】B【解析】等比数列的性质可知,故选.3．【答案】D【解析】由等比数列性质可知，，又因为，所以，故选D.4．【答案】B【解析】由于，，成等比数列，所以，解得.故选B.5．【答案】C【解析】设的公比为，即，则A:，即是等比数列；B:，即是等比数列；C:，当是负数时，无意义，即C错误；D:，即是等差数列.故选C.6．【答案】C【解析】根据等比数列的性质，可得，又，联立方程组，可得或，所以公比为或，则，所以或，故选C．7．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，因为在等比数列中，，所以，因此，所以.故填8．【答案】4【解析】设等比数列的公比为．∵，∴，化为，解得．∴．故填4．9．【答案】512【解析】是等比数列，，，，，和是方程的两个实数根，解方程，得，，公比q为整数，，，，解得，.故填51210．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）；（2）因为，所以；（3）因为，所以；当时，；当时，，所以；（4）因为，所以，则.《4.3.1等比数列（第一课时）》课堂同步练习提高练一、单选题1．等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lgan}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．5 D．102．已知是等比数列，且，，那么的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．203．已知等比数列满足，且，则当时，（）A． B． C． D．4．在等比数列中，，则使不等式成立的的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题5．若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比q的值为__________．6．设，，，，则数列的通项公式=．三、解答题7．（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；（2）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列.答案解析1．【答案】C【解析】由题意可知a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a10，即a1a2…a9a10＝105，所以数列{lgan}的前10项和等于lga1＋lga2＋…＋lga9＋lga10＝lga1a2…a10＝lg105＝5故选C2．【答案】A【解析】由于是等比数列，，，又.故选A.3．【答案】C【解析】因为为等比数列，所以,.故选C.4．【答案】C【解析】∵在等比数列中，，∴公比，∴时，；时，.∵，∴，，，∴，又当时，，∴使不等式成立的的最大值为7.故选C5．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为，可设三数为，，，可得，求出，公比的值为1故填16．【答案】2n+1【解析】由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．故填2n+17．【答案】（1）p=2或p=3；（2）证明见解析.【解析】（1）因为｛cn＋1－pcn｝是等比数列，故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1），将cn＝2n＋3n代入上式，得：［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］，即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］，整理得（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得p=2或p=3.（2）证明：设｛an｝、｛bn｝的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn.为证｛cn｝不是等比数列只需证c22≠c1·c3.事实上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不为零，因此c22≠c1·c3，故｛cn｝不是等比数列.《4.3.1等比数列（第一课时）》课堂同步检测试卷一、单选题1．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（）A．1 B．2 C．3 D．42．在递增等比数列中，，，则（）A． B． C． D．3．下列说法正确的是（）A．等差数列不可能是等比数列B．常数列必定既是等差数列又是等比数列C．若一个数列既是等比数列又是等差数列，则这个的数列必是常数列D．如果一个数列的前n项和是关于n的二次函数，那么这个数列必定是等差数列4．在等比数列中，，公比.若，则m=（）A．9 B．10 C．11 D．125．设是等比数列，下列说法一定正确的是（）A．成等比数列 B．成等比数列C．成等比数列 D．成等比数列6．已知各项均为正数的等比数列中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为（）A．100 B．－100 C．10000 D．－100007．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为（）A． B．3 C．± D．±38．在等比数列中，则（）A．81 B． C． D．2439．在等比数列中，，，则的值为（）A． B． C． D．10．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（）A．d B．f C．e D．#d11．在等差数列中，，数列是等比数列.若，则满足不等式的最小正整数n是（）A．5 B．6 C．7 D．812．等比数列的首项，公比，设表示数列前n项的积，则中最大的是（）A． B． C． D．二、填空题13．已知等比数列，则______.14．若组成等比数列，则该数列的第4项的值是________．15．已知，，，是以2为公比的等比数列，则______.16．已知是等比数列，，且，则等于______.17．数列是等比数列，且，则______.18．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．三、解答题19．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，求的值．20．在等比数列中，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.21．已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．22．已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，记，证明：．答案解析一、单选题1．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，又，解得.故选C.2．在递增等比数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于数列为等比数列，故，由于数列是递增的数列，故解得，故，故选D.3．下列说法正确的是（）A．等差数列不可能是等比数列B．常数列必定既是等差数列又是等比数列C．若一个数列既是等比数列又是等差数列，则这个的数列必是常数列D．如果一个数列的前n项和是关于n的二次函数，那么这个数列必定是等差数列【答案】C【解析】公差为0，首项不为0的等差数列，也是等比数列，故AB错误；C正确；等差数列的前项和为，常数项为0，故D错误；故选C4．在等比数列中，，公比.若，则m=（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由等比数列的性质可知，故选C.5．设是等比数列，下列说法一定正确的是（）A．成等比数列 B．成等比数列C．成等比数列 D．成等比数列【答案】D【解析】项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.6．已知各项均为正数的等比数列中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为（）A．100 B．－100 C．10000 D．－10000【答案】C【解析】由对数的计算可得：，由等比数列性质：，所以：，.故选C.7．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为（）A． B．3 C．± D．±3【答案】B【解析】设等差数列公差为d，首项为，则，，，由等比中项公式：，化简可得：.所以：，，作比可得公比为：3.故选B.8．在等比数列中，则（）A．81 B． C． D．243【答案】A【解析】因为等比数列中，则，故选A9．在等比数列中，，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，，.故选C10．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（）A．d B．f C．e D．#d【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为由，解得，频率为的音名是，故选D.11．在等差数列中，，数列是等比数列.若，则满足不等式的最小正整数n是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，即，所以，所以，设等比数列的公比为，则，所以，由得，解得，所以.故选C12．等比数列的首项，公比，设表示数列前n项的积，则中最大的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比数列的首项，公比，可得，当为奇数时，，当为偶数时，，当时，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；当时，可得；当时，可得.当时，可得；当时，可得，又由，所以所以当时，可得中最大的是.故选B.二、填空题13．已知等比数列，则______.【答案】2【解析】由于数列是等比数列，故.故填14．若组成等比数列，则该数列的第4项的值是________．【答案】【解析】由组成等比数列，可得，解得或者，当时，等比数列前三项是，舍去；当时，等比数列前三项是，可得该数列的第4项的值为，故填.15．已知，，，是以2为公比的等比数列，则______.【答案】【解析】由题可知，，，则故填16．已知是等比数列，，且，则等于______.【答案】6【解析】是等比数列，所以，所以，所以，而，所以，故填6.17．数列是等比数列，且，则______.【答案】40【解析】数列是等比数列，且，则，由对数运算及等比数列的性质化简可知，故填40.18．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．【答案】【解析】设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.故填64三、解答题19．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，求的值．【解析】因为成等差数列，所以，即．设数列的公比为q，则，即．解得或（舍去）．．20．在等比数列中，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）设的公比为q，依题意得，解得，因此，.（2）因为，所以数列的前n项和.21．已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．【解析】（1）由条件可得．将代入得，，而，所以，．将代入得，，所以，．从而，，；（2）是首项为，公比为的等比数列．由条件可得，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列；（3）由（2）可得，所以．22．已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，记，证明：．【解析】（1）设数列公比为，，①因为是与的等差中项，所以有②，由①②组成方程组为：，因为，所以方程组的解为：，所以数列的通项公式为：；（2），，命题得证.《4.3.1等比数列（第二课时）》课堂同步练习基础练一、单选题1．在等比数列中，，则数列的公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．82．已知等比数列中，，是方程的两个根，则=（）A．1 B．±1 C．2018 D．1，20183．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为（）A． B．1 C． D．4．若等差数列和等比数列满足，，则为（）A． B． C． D．5．已知等比数列满足，且，则（）A．8 B．16 C．32 D．646．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题7．若是一个等比数列的前3项，则第四项为_________．8．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是______．9．已知数列满足，那么的通项公式是___.三、解答题10．已知：为的前项和，且满足.（1）求证：成等比数列；（2）求.参考答案1．【答案】A【解析】设等比数列{an}的公比为q，∵a2019=8a2016，∴q3=8，解得q=2．故选A．2．【答案】B【解析】∵，是方程x2﹣4x+1=0的两个根，∴=1，则在等比数列{an}中，=1，=故选B．3．【答案】A【解析】数列是公比为的等比数列,故,由此解得故选A。4．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得，∴，∴．故选A．5．【答案】A【解析】等比数列满足，且，则，解得，，故选．6．【答案】C【解析】因为等差数列中，所以，因为各项不为零，所以，因为数列是等比数列，所以所以，故选C.7．【答案】【解析】因为是一个等比数列的前3项，所以，解得或，当时，不符合题意，所以，则该等比数列前三项为，公比，则第四项为.故填8．【答案】【解析】在等比数列中，，所以，，当时，，数列递增，所以当时，恒成立.故填9．【答案】【解析】因为，所以即，且，所以是等比数列，又，所以.故填10．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）；因为，所以所以因此构成以为首项，为公比的等比数列.（2）《4.3.1等比数列（第二课时）》课堂同步练习提高练一、单选题1．数列满足：，若数列是等比数列，则的值是（）A．1 B． C． D．2．如果数列是等比数列，且，，则数列是（）A．等比数列 B．等差数列C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列3．已知数列{an}满足且，则的值是（）A．－5 B．－ C．5 D．4．在由正数组成的等比数列中，若，则（）A． B． C． D．二、填空题5．设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=.6．在数列中，，若该数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列的通项公式为______.三、解答题7．已知数列满足，且．（1）令，求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式．答案解析1．【答案】B【解析】数列为等比数列即：上式恒成立，可知：故选2．【答案】B【解析】设，则，则，则数列是等差数列，公差为故选B3．【答案】A【解析】，即，数列是公比为3的等比数列，，．故选A4．【答案】B【解析】因为由正数组成的等比数列中，，所以，所以，所以，故选B.5．【答案】【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，=-9.故填-96．【答案】【解析】因为既是等差数列也是等比数列，所以，所以，所以公差，所以是常数列且，所以，因为，所以，所以.故填.7．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题可知，，，则，即，得：，易知是首项为，公差为2的等差数列，则通项公式为：.（2）由题可得：，令，则，易知是首项为，公比为的等比数列，则通项公式为：，由，解得：.《4.3.1等比数列（第二课时）》课堂同步检测试卷一、单选题1．已知数列中，，，则等于（）A．18 B．54 C．36 D．722．和的等比中项是（）A．1 B． C． D．23．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则（）A．1 B． C． D．4．已知数列为等比数列，且，则（）A． B． C． D．5．数列中，，，则（）A．32 B．62 C．63 D．646．在等比数列中，，，则（）A．3 B． C． D．7．对于按复利计算机利息的储蓄，若本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本金和利息总和y（元）与存期n的函数表达式为（）A． B． C． D．8．已知等比数列{}中，+=，﹣=，则=A．﹣ B． C．﹣4 D．49．等差数列和等比数列的首项均为1，公差与公比均为3，则++=（）A．64 B．32 C．33 D．3810．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（）A． B． C． D．11．等比数列的公比为，则与的大小关系是（）A． B．C． D．不能确定12．已知数列满足，令，则满足的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题13．设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．14．等比数列的各项为正数，且，则_____.15．各项为正数的等比数列中，与的等比中项为，则_____．16．已知数列满足且，则数列的通项公式为__________．17．已知数列中，，且对于任意正整数m，n都有，则数列的通项公式是___________.18．各项均为正偶数的数列中，前三项依次成公差为的等差数列，后三项依次成公比为的等比数列.若,则的所有可能的值构成的集合为________.三、解答题19．数列满足,（1）写出数列的前项；（2）由（1）写出数列的一个通项公式；20．已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.21．已知数列满足，且，求：（1）数列的前3项；（2）数列的通项公式.22．已知等比数列的首项为1，公比为2，数列满足，，．（1）证明为等差数列；求数列的通项公式；（2）求数列的最大项．答案解析一、单选题1．已知数列中，，，则等于（）A．18 B．54 C．36 D．72【答案】B【解析】数列中，，，数列是等比数列，公比．则．故选B．2．和的等比中项是（）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】设等比中项为a，则，，故选C．3．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由韦达定理可知，，则，，从而，且，故选D4．已知数列为等比数列，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，所以．又，所以或（由于与同号，故舍去）．所以，因此．故选A5．数列中，，，则（）A．32 B．62 C．63 D．64【答案】C【解析】数列中，，故，因为，故，故，所以，所以为等比数列，公比为，首项为.所以即，故，故选C.6．在等比数列中，，，则（）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，又，所以.故选A7．对于按复利计算机利息的储蓄，若本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本金和利息总和y（元）与存期n的函数表达式为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】1期后的本息和为；2期后的本息和为；3期后的本息和为；…期后的本息和为.故选A8．已知等比数列{}中，+=，﹣=，则=A．﹣ B． C．﹣4 D．4【答案】A【解析】∵等比数列{an}中，a1+a2=，a1﹣a3=，∴，解得，∴a4==1×（﹣）3=﹣．故选A．9．等差数列和等比数列的首项均为1，公差与公比均为3，则++=（）A．64 B．32 C．33 D．38【答案】C【解析】依题意，故，故选C.10．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在等差数列中，由，得，，，在等比数列中，由，得，，，则.故选D.11．等比数列的公比为，则与的大小关系是（）A． B．C． D．不能确定【答案】A【解析】由等比数列的通项公式可得，，，，，，即.故选.12．已知数列满足，令，则满足的最小值为（）A．9 B．10 C．11