选修二：导数与零点、不等式的综合运用解题技巧与专题训练

高中数学选修二：导数与零点、不等式的综合运用解题技巧【思维导图】考点一零点问题1．已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围.【一隅三反】1．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.2．已知函数.（1）证明：函数在上存在唯一的零点；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.3．设函，．（1）设，求函数的极值；（2）若，试研究函数的零点个数．考点二导数与不等式【例2】．已知函数．（1）求的最大值；（2）当时，恒成立，求a的取值范围．【一隅三反】1．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．2．已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数的最大值.3．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.答案解析考点一零点问题1．已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，，故，又当时，，故所求的切线方程为，即.（2）由题意，，令，得或，故当时，，当时，，当时，故当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.若函数有3个零点，实数满足，解得，即实数的取值范围为.【一隅三反】1．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.【解析】（1）函数，定义域为，，当时，.故在定义域上单调递增，此时无减区间.当时，令，得；当时，，故单调递增；当时，，故单调递减.综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，时，至多一个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减.要有两个零点，需满足，即.此时，.因为，所以在有一个零点；因为，.令，，所以在单调递增，，所以，所以在上有一个零点.所以，有两个零点.2．已知函数.（1）证明：函数在上存在唯一的零点；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：∵，∴.∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴函数在上单调递增.又，令，，则在上单调递减，，故.令，则所以函数在上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函数在上单调递增.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴.由（*）式得.∴，显然是方程的解.又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为.3．设函，．（1）设，求函数的极值；（2）若，试研究函数的零点个数．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）1个．【解析】（1），，，．，①当时，恒成立，在上是增函数，无极值．②当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，的极小值，无极大值．（2）由（1）知，当时，的极小值，结合的单调性可知，即恒成立．在上是增函数，，，在，中有一个零点，函数的零点个数为1个．考点二导数与不等式【例2】．已知函数．（1）求的最大值；（2）当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，设，所以，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以；（2）因为，所以，所以当时，且，所以恒成立，当时，若恒成立，则恒成立（*），设，所以，又因为，所以，所以在上单调递增，所以，又因为由（1）知且，所以若（*）成立，只需要，所以，综上可知：.【一隅三反】1．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当时，使恒成立．【解析】函数的定义域为，，当时，由，得，或，由，得，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，恒成立，故函数的单调递增区间为.（2）恒成立等价于恒成立，令，当时，即当时，，故在内不能恒成立，当时，即当时，则，故在内不能恒成立，当时，即当时，，由解得，当时，；当时，.所以，解得.综上，当时，在内恒成立，即恒成立，所以实数的取值范围是.2．已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）在处取得极小值，极小值为.（2）4【解析】（1），，∴的单调增区间是，单调减区间是.∴在处取得极小值，极小值为.（2）由变形，得恒成立，令，，由.所以，在上是减函数，在上是增函数.所以，，即，所以的最大值是.3．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）时，，，，曲线在点处的切线方程（2）①当时，恒成立，函数的递增区间为②当时，令，解得或x-+减增所以函数的递增区间为，递减区间为（3）对任意的，使成立，只需任意的，①当时，在上是增函数，所以只需而所以满足题意；②当时，，在上是增函数，所以只需而所以满足题意；③当时，，在上是减函数，上是增函数，所以只需即可而从而不满足题意；综合①②③实数的取值范围为.《导数与零点、不等式的综合运用》专题训练【题组一零点】1．已知函数，其中e是自然对数的底数，．（1）求函数的单调区间；（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．2．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，判断方程的实根个数，并说明理由．3．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.4．已知函数，．（1）求在区间上的极值点；（2）证明：恰有3个零点．5．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.6．设函数.（1）讨论在上的单调性；（2）证明：在上有三个零点.7．已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）若在有两个零点，求的取值范围.8．设函数，其中.（1）若，证明：当时，；（2）若在区间内有两个不同的零点，求a的取值范围.【题组二导数与不等式】1．设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在时恒成立，求实数的取值范围；2．已知函数（a为常数）.（1）当时，求过原点的切线方程；（2）讨论的单调区间和极值；（3）若，恒成立，求a的取值范围.3．已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；4．已知为函数的极值点（1）求的值；（2）若，，求实数的取值范围.5．已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.6．设函数在及时取得极值．（1）求的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．7．已知函数（1）若，函数的极大值为，求a的值；（2）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围.8．已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；答案解析【题组一零点】1．已知函数，其中e是自然对数的底数，．（1）求函数的单调区间；（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．【答案】（1）增区间是，减区间是.（2）见解析【解析】（1）因为，所以.由得；由得.所以由的增区间是，减区间是.（2）因为.由，得或.设，又即不是的零点，故只需再讨论函数零点的个数.因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，取得最小值.①当即时，无零点；②当即时，有唯一零点；③当，即时，因为，所以在上有且只有一个零点.令则.设，所以在上单调递增，所以，都有.所以.所以在上有且只有一个零点.所以当时，有两个零点综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.2．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，判断方程的实根个数，并说明理由．【答案】（1）；（2）方程恰有三个不同的实根，1，，理由见解析.【解析】（1）当时，，则，因为，所以，则所求切线方程为，即．（2）当时，，方程，即．令，定义域为，则．令，则，令，得．当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．所以．又，，，．所以在上存在唯一零点，记为．在上存在唯一零点，记为．则，．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．又，，所以在上存在唯一零点1．因为，，所以存在唯一的，使得．存在唯一的，使得，且，．综上，方程恰有三个不同的实根，1，．3．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）只有一个零点，理由见解析.【解析】（1）的定义域为，，当时，，则在上是增函数；当时，，所以；或；，所以在上是减函数，在和上是增函数.（2）当时，，其定义域为，则.设()，则，从而在上是增函数，又，，所以存在，使得，即，.列表如下：100增函数极大值减函数极小值增函数由表格，可得的极小值为；的极大值为因为是关于的减函数，且，所以，所以在内没有零点.又，，所以在内有一个零点.综上，只有一个零点.4．已知函数，．（1）求在区间上的极值点；（2）证明：恰有3个零点．【答案】（1）极大值点，极小值点；（2）证明见解析.【解析】（1）（），令，得，或．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．故是的极大值点，是的极小值点．综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为．（2）（），因为，所以是的一个零点．，所以为偶函数．即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可．当时，．令，即，或（）．时，，单调递减，又，所以；时，，单调递增，且，所以在区间内有唯一零点．当时，由于，．．而在区间内单调递增，，所以恒成立，故在区间内无零点，所以在区间内有一个零点，由于是偶函数，所以在区间内有一个零点，而，综上，有且仅有三个零点．5．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）增区间是和，减区间是（2）【解析】（1）因为，所以，.令，解得或.函数的增区间是和，减区间是.（2），.当时，，只有1个零点，不合题意.当时，.时，，为减函数；时，，为增函数，极小值.又，当时，，使.当时，，，.取，则，，函数有2个零点.当时，由，得或.①当，即时，由，得或，在和递增，在递减.极大值.函数至多有1个零点，不符合题意；②当，即时，在单调递增，至多有1个零点，不合题意；③当，即时，由，得或，在和递增，在递减.，时，，.又，函数至多有1个零点，不合题意.综上，的取值范围是.6．设函数.（1）讨论在上的单调性；（2）证明：在上有三个零点.【答案】（1）的单调递减区间为，；单调递增区间为，.（2）证明见解析【解析】（1），由及，得或或.当变化时，和的变化情况如下表：0－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗所以的单调递减区间为，；的单调递增区间为，.（2）当时，由（1）得，的极小值分别为，；极大值.又，所以在上仅有一个零点0；在，上各有一个零点.当时，，令，则，显然时，单调递增，；当时，，从而时，，单调递减，因此，即，所以在上没有零点.当时，，令，则，显然时，，；当时，，从而时，，单调递增，因此，即，所以在上没有零点.故在上仅有三个零点.7．已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）若在有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】（1）证明：当时，函数.则，令，则，令，得.当时，，当时，在单调递增，（2）解：在有两个零点方程在有两个根，在有两个根，即函数与的图像在有两个交点．，当时，，在递增当时，，在递增所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．8．设函数，其中.（1）若，证明：当时，；（2）若在区间内有两个不同的零点，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1），由，得，则，即在上为增函数.故，即.（2）由，得.设函数，则.令，得.则时，时，，所以在上单调逼增，在上单调减.又因为，所以当时，方程在区间内有两个不同解，即所求实数a的取值范围为.【题组二导数与不等式】1．设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在时恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】（1）当时，，∴在上单调递减；当时，令，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增；（2）函数；在时恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴的取值范围为.2．已知函数（a为常数）.（1）当时，求过原点的切线方程；（2）讨论的单调区间和极值；（3）若，恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）当时，，则，设切点坐标为，∴，解得，∴，∴过原点的切线方程；（2），∴，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；当时，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴，无极大值；（3），恒成立，即在上恒成立，当时，恒成立，当时，，设，，∴恒成立，∴在上单调递减，∴，∴，综上所述.3．已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是;（2）.【解析】（1）直线的斜率1.函数的定义域为，，所以，解得.所以，.由解得；由解得，所以的单调增区间是，单调减区间是.（2），由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值，，因为对于都有成立，所以只须即可，即，解得.4．已知为函数的极值点（1）求的值；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1），，解得，经检验，在递减，在递增，为的极小值点，符合题意，因此，．（2），，设，其中，令，则，在递增①当时，即，，在递增，符合题意，所以②当时，即，，，在上，，在递减，所以时，不符合题意,综上，实数的取值范围为5．已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.【答案】（1）减区间是，增区间；（2）2．【解析】（1）由已知，当时，，当时，，∴的减区间是，增区间；（2）函数的定义域是，定义域是，不等式为，∴不等式在上恒成立，∴在上恒成立，设，则，时，，，又在上是增函数，，，∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，，，，∴，∵，∴，∴整数的最小值为2．6．设函数在及时取得极值．（1）求的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可