高二数学选择性必修二课后分层作业与答案解析

高二数学选择性必修二课后分层作业全套《4．1数列的概念》课后分层作业（第一课时）[A级基础巩固]1．下列说法正确的是()A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))是递增数列D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(－1n,n)))是摆动数列2．已知数列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，则0.96是该数列的()A．第20项B．第22项C．第24项D．第26项3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．144．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是()A.eq\f(1,5)B．5C．6D．eq\f(log23＋log3132,5)5．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．8．已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(n,n＋1)，则an·an＋1·an＋2＝________.9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：(1)eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，________，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…；(2)eq\f(\r(5),3)，________，eq\f(\r(17),15)，eq\f(\r(26),24)，eq\f(\r(37),35)，…；(3)2,1，________，eq\f(1,2)，…；(4)eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，________，eq\f(65,16)，….10．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来：(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).[B级综合运用]11．(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是()A．an＝nB．an＝n3－6n2－12n－6C．an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1D．an＝eq\f(6,n2－6n＋11)12．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()13．已知数列2，eq\f(7,4)，2，…的通项公式为an＝eq\f(an2＋b,cn)，则a4＝________，a5＝________.14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4).(1)求{an}的通项公式；(2)－eq\f(255,256)是{an}中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？[C级拓展探究]15．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))).(1)求这个数列的第10项；(2)eq\f(98,101)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．答案解析[A级基础巩固]1．下列说法正确的是()A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))是递增数列D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(－1n,n)))是摆动数列解析：选D数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．2．已知数列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，则0.96是该数列的()A．第20项B．第22项C．第24项D．第26项解析：选C由eq\f(n,n＋1)＝0.96，解得n＝24.3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．14解析：选C观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.4．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是()A.eq\f(1,5)B．5C．6D．eq\f(log23＋log3132,5)解析：选Ba1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.5．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]解析：选Can＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(n＋1,2)，n＝2k－1k∈N*，,\f(n,2)，n＝2kk∈N*.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(n＋1,2)，n＝2k－1k∈N*，,\f(n,2)，n＝2kk∈N*))7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．解析：由an＝19－2n>0，得n<eq\f(19,2).∵n∈N*，∴n≤9.答案：98．已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(n,n＋1)，则an·an＋1·an＋2＝________.解析：an·an＋1·an＋2＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n＋1,n＋2)·eq\f(n＋2,n＋3)＝eq\f(n,n＋3).答案：eq\f(n,n＋3)9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：(1)eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，________，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…；(2)eq\f(\r(5),3)，________，eq\f(\r(17),15)，eq\f(\r(26),24)，eq\f(\r(37),35)，…；(3)2,1，________，eq\f(1,2)，…；(4)eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，________，eq\f(65,16)，….解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号123456↓↓↓↓↓↓eq\f(9,12)eq\f(8,12)eq\f(7,12)________eq\f(5,12)eq\f(4,12)于是应填eq\f(6,12)，而分子恰为10减序号，故应填eq\f(1,2)，通项公式为an＝eq\f(10－n,12).(2)eq\f(\r(5),3)＝eq\f(\r(4＋1),4－1)，eq\f(\r(17),15)＝eq\f(\r(16＋1),16－1)，eq\f(\r(26),24)＝eq\f(\r(25＋1),25－1)，eq\f(\r(37),35)＝eq\f(\r(36＋1),36－1).只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填eq\f(\r(10),8)，通项公式为an＝eq\f(\r(n＋12＋1),n＋12－1).(3)因为2＝eq\f(2,1)，1＝eq\f(2,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，所以数列缺少部分为eq\f(2,3)，数列的通项公式为an＝eq\f(2,n).(4)先将原数列变形为1eq\f(1,2)，2eq\f(1,4)，___，4eq\f(1,16)，…，所以应填3eq\f(1,8)，数列的通项公式为an＝n＋eq\f(1,2n).10．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来：(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①.(2)a1＝2，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,3)，a4＝eq\f(5,4)，a5＝eq\f(6,5).图象如图②.[B级综合运用]11．(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是()A．an＝nB．an＝n3－6n2－12n－6C．an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1D．an＝eq\f(6,n2－6n＋11)解析：选AD对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，则a1＝－11，不符合题意；对于C，若an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝eq\f(6,n2－6n＋11)，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．故选A、D.12．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()解析：选A据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.13．已知数列2，eq\f(7,4)，2，…的通项公式为an＝eq\f(an2＋b,cn)，则a4＝________，a5＝________.解析：将a1＝2，a2＝eq\f(7,4)代入通项公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,c)＝2，,\f(4a＋b,2c)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3a，,c＝2a，))∴an＝eq\f(n2＋3,2n)，∴a4＝eq\f(42＋3,2×4)＝eq\f(19,8)，a5＝eq\f(52＋3,2×5)＝eq\f(14,5).答案：eq\f(19,8)eq\f(14,5)14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4).(1)求{an}的通项公式；(2)－eq\f(255,256)是{an}中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？解：(1)∵an＝pn＋q，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＝－\f(1,2)，,p2＋q＝－\f(3,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,q＝－1，))因此{an}的通项公式是an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.(2)令an＝－eq\f(255,256)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝－eq\f(255,256)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(1,256)，解得n＝8.故－eq\f(255,256)是{an}中的第8项．(3)由于an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．[C级拓展探究]15．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))).(1)求这个数列的第10项；(2)eq\f(98,101)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．解：(1)设an＝f(n)＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq\f(3n－2,3n＋1).令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝eq\f(28,31).(2)令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(98,101)，得9n＝300.此方程无正整数解，所以eq\f(98,101)不是该数列中的项．(3)证明：∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，且n∈N*，∴0<1－eq\f(3,3n＋1)<1，∴0<an<1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)令eq\f(1,3)<an＝eq\f(3n－2,3n＋1)<eq\f(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1<9n－6，,9n－6<6n＋2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n>\f(7,6)，,n<\f(8,3).))∴当且仅当n＝2时，上式成立，故在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有数列中的项，且只有一项为a2＝eq\f(4,7).4．1第二课时数列的递推公式与前n项和[A级基础巩固]1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于()A．15B．16C．31D．322．若数列{an}满足an＋1＝eq\f(4an＋3,4)(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝()A．13B．14C．15D．163．(多选)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，则b6的值是()A．9B．17C．33D．656．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2021＝________.x12345f(x)513427．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.8．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．9．根据下列条件，写出数列的前四项，并写出它的一个通项公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an,n＋1)(n∈N*)；(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．10．已知函数f(x)＝x－eq\f(1,x).数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．[B级综合运用]11．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1008等于()A．504B．294C．－294D．－50412．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－113．已知数列{an}满足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，则a2021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．14．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．[C级拓展探究]15．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n2,2n)(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．答案解析[A级基础巩固]1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于()A．15B．16C．31D．32解析：选C∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.2．若数列{an}满足an＋1＝eq\f(4an＋3,4)(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝()A．13B．14C．15D．16解析：选A由an＋1＝eq\f(4an＋3,4)得an＋1－an＝eq\f(3,4)，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋eq\f(3,4)×16＝13，故选A.3．(多选)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项解析：选BCan＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))2＋eq\f(121,4)，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值．故选B、C.4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)解析：选C由题意得ak＝eq\f(n,k).k≥2时，ak－1ak＝eq\f(n2,k－1k)＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k))).∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))))＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝n(n－1)．故选C.5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，则b6的值是()A．9B．17C．33D．65解析：选C∵bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，∴b2＝aeq\a\vs4\al(b1)＝a2＝3，b3＝aeq\a\vs4\al(b2)＝a3＝5，b4＝aeq\a\vs4\al(b3)＝a5＝9，b5＝aeq\a\vs4\al(b4)＝a9＝17，b6＝aeq\a\vs4\al(b5)＝a17＝33.6．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2021＝________.x12345f(x)51342解析：根据定义可得出：x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，…，所以周期为3，故x2021＝673×3＋x2＝1.答案：17．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.解析：因为OA1＝1，OA2＝eq\r(2)，OA3＝eq\r(3)，…，OAn＝eq\r(n)，…，所以a1＝1，a2＝eq\r(2)，a3＝eq\r(3)，…，an＝eq\r(n).答案：eq\r(n)8．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.答案：－19．根据下列条件，写出数列的前四项，并写出它的一个通项公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an,n＋1)(n∈N*)；(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.它的一个通项公式为an＝(n－1)2.(2)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,2)，a4＝eq\f(5,2).它的一个通项公式为an＝eq\f(n＋1,2).(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.它的一个通项公式为an＝2n－1＋1.10．已知函数f(x)＝x－eq\f(1,x).数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．解：∵f(x)＝x－eq\f(1,x)，∴f(an)＝an－eq\f(1,an)，∵f(an)＝－2n.∴an－eq\f(1,an)＝－2n，即aeq\o\al(2,n)＋2nan－1＝0.∴an＝－n±eq\r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.[B级综合运用]11．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1008等于()A．504B．294C．－294D．－504解析：选C∵a1＝2，an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，∴a2＝eq\f(1,3)，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－eq\f(7,6)，∴S1008＝S4×252＝252×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－294.12．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－1解析：选AC根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.故选A、C.13．已知数列{an}满足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，则a2021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．解析：由a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，得a2＝aeq\o\al(2,1)－1＝12－1＝0，a3＝aeq\o\al(2,2)－1＝02－1＝－1，a4＝aeq\o\al(2,3)－1＝(－1)2－1＝0，a5＝aeq\o\al(2,4)－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n＞1，n为奇数时an＝－1，n为偶数时an＝0，∴a2021＝－1，|an＋an＋1|＝1.答案：－1114．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解：∵anan－1＝an－1－an，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝1.∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))＝2＋1＋1＋…＋eq\o(1,\s\do4(n－1个1))＝n＋1.∴eq\f(1,an)＝n＋1，∴an＝eq\f(1,n＋1)(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝eq\f(1,2)，符合上式，∴an＝eq\f(1,n＋1).[C级拓展探究]15．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n2,2n)(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．解：存在最大项．理由：a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(22,22)＝1，a3＝eq\f(32,23)＝eq\f(9,8)，a4＝eq\f(42,24)＝1，a5＝eq\f(52,25)＝eq\f(25,32)，….∵当n≥3时，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋12,2n＋1)×eq\f(2n,n2)＝eq\f(n＋12,2n2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2<1，∴an＋1<an，即n≥3时，{an}是递减数列．又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝eq\f(9,8).∴当n＝3时，a3＝eq\f(9,8)为这个数列的最大项．4．2.1第一课时等差数列的概念及通项公式[A级基础巩固]1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．182．若等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝()A．50B．51C．52D．533．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是()A．a＝－bB．a＝3bC．a＝b或a＝－3bD．a＝b＝04．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2021的值是()A．1000B．1013C．1011D．10125．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的()A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项6．已知等差数列{an}，an＝2－3n，则数列的公差d＝________.7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝________，a6＝________.8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由．10．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,a＋c)，eq\f(1,a＋b)是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．[B级综合运用]11．(多选)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则()A．a3a6>a4a5B．a3a6<a4a5C．a3＋a6＝a4＋a5D．a3a6＝a4a512．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()A.eq\f(m,n)D．eq\f(m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D．eq\f(n＋1,m＋1)13．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai，j(i，j∈N*)，则a9,9＝______，数82共出现______次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……14．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)．(1)求a2，a3；(2)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是等差数列；(3)求数列{an}的通项公式an.[C级拓展探究]15．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．答案解析[A级基础巩固]1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．18解析：选D由题意知，公差d＝4－2＝2，则a1＝0，所以a10＝a1＋9d＝18.故选D.2．若等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝()A．50B．51C．52D．53解析：选D依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝eq\f(1,3)，得d＝eq\f(2,3).所以an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋(n－1)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)，令an＝35，解得n＝53.3．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是()A．a＝－bB．a＝3bC．a＝b或a＝－3bD．a＝b＝0解析：选AB由等差中项的定义知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.4．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2021的值是()A．1000B．1013C．1011D．1012解析：选D由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝eq\f(1,2)，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)，所以an＝2＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋3,2)，所以a2021＝eq\f(2021＋3,2)＝1012.5．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的()A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项解析：选Can＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.6．已知等差数列{an}，an＝2－3n，则数列的公差d＝________.解析：根据等差数列的概念，d＝an＋1－an＝－3.答案：－37．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝________，a6＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7，,a1＋4d＝a1＋d＋6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.答案：3138．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.答案：59．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由．解：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)(常数)．所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)为首项，公差为eq\f(1,2)的等差数列．10．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,a＋c)，eq\f(1,a＋b)是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．证明：由已知得eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋b)＝eq\f(2,a＋c)，通分有eq\f(2b＋a＋c,b＋ca＋b)＝eq\f(2,a＋c).进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)，整理，得a2＋c2＝2b2，所以a2，b2，c2成等差数列．[B级综合运用]11．(多选)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则()A．a3a6>a4a5B．a3a6<a4a5C．a3＋a6＝a4＋a5D．a3a6＝a4a5解析：选BC由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选B、C.12．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()A.eq\f(m,n)D．eq\f(m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D．eq\f(n＋1,m＋1)解析：选D设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1).这样可求出eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).13．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai，j(i，j∈N*)，则a9,9＝______，数82共出现______次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……解析：根据题意得，第i行的等差数列的公差为i，第j列等差数列的公差为j，所以数列{a1，j}是以2为首项，1为公差的等差数列，可得a1，j＝2＋(j－1)×1＝j＋1，又因为第j列数组成的数列{ai，j}是以a1，j为首项，j为公差的等差数列，所以ai，j＝a1，j＋(i－1)j＝(j＋1)＋(i－1)×j＝ij＋1，所以a9,9＝9×9＋1＝82.因为ai，j＝ij＋1＝82，所以ij＝81，所以i＝81且j＝1或i＝1且j＝81或i＝3且j＝27或i＝27且j＝3或i＝j＝9，所以可得数82共出现5次．答案：82514．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)．(1)求a2，a3；(2)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是等差数列；(3)求数列{an}的通项公式an.解：(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.(2)证明：∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)，∴eq\f(an,2n)＝eq\f(an－1,2n－1)＋1(n≥2，且n∈N*)，即eq\f(an,2n)－eq\f(an－1,2n－1)＝1(n≥2，且n∈N*)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首项为eq\f(a1,21)＝eq\f(1,2)，公差d＝1的等差数列．(3)由(2)，得eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n－1)×1＝n－eq\f(1,2)，∴an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))·2n.[C级拓展探究]15．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝eq\f(3,2).∴a3＝－eq\f(3,2)a2＋22，∴a3＝eq\f(11,2).(2)不存在λ的值，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{an}成等差数列．4．2.1第二课时等差数列的性质[A级基础巩固]1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．143．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于()A．8B．4C．6D．124．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101＞0B．a2＋a101＜0C．a3＋a99＝0D．a51＝515．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升D．eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升D．eq\f(37,33)升6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．8．已知数列{an}满足a1＝1，若点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.10．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．[B级综合运用]11．(多选)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是()A．数列{an}是递增数列B．数列{nan}是递增数列C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列D．数列{an＋3nd}是递增数列12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq\f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝()A．1D．eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D．eq\f(3,8)13．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝________，若ak＝13，则k＝________.14．数列{an}为等差数列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，又已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求数列{an}的通项公式．[C级拓展探究]15．下表是一个“等差数阵”：47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式，以及2020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．答案解析[A级基础巩固]1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．14解析：选B由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于()A．8B．4C．6D．12解析：选A因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101＞0B．a2＋a101＜0C．a3＋a99＝0D．a51＝51解析：选C根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升D．eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升D．eq\f(37,33)升解析：选B设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))则a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66)，故第5节的容积为eq\f(67,66)升．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.))∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.答案：－217．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.答案：1或28．已知数列{an}满足a1＝1，若点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.解析：由题设可得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式eq\f(an,n)＝n，所以an＝n2.答案：n29．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．[B级综合运用]11．(多选)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是()A．数列{an}是递增数列B．数列{nan}是递增数列C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列D．数列{an＋3nd}是递增数列解析：选ADan＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，A正确；nan＝na1＋n(n－1)d，∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关．故数列{nan}不一定递增，B不正确；对于C：eq\f(an,n)＝eq\f(a1,n)＋eq\f(n－1,n)d，∴eq\f(an,n)－eq\f(an－1,n－1)＝eq\f(－a1＋d,nn－1)，当d－a1＞0，即d＞a1时，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))递增，但d＞a1不一定成立，C不正确；对于D：设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.∴数列{an＋3nd}是递增数列，D正确．12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq\f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝()A．1D．eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D．eq\f(3,8)解析：选C设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，∵a1＝eq\f(1,4)，∴d＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，a4＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,4)，∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(7,4)－\f(3,4)×\f(5,4)))＝eq\f(1,2).13．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝________，若ak＝13，则k＝________.解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝eq\f(17,3).∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，∴a7＋a9＝eq\f(38,3)，d＝eq\f(2,3).∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×eq\f(2,3)，解得k＝18.答案：eq\f(38,3)1814．数列{an}为等差数列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，又已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求数列{an}的通项公式．解：∵b1＋b2＋b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a1＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3.∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－d＋eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋d＝eq\f(21,8)，得2d＋2－d＝eq\f(17,4)，解得d＝2或d＝－2.当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.[C级拓展探究]15．下表是一个“等差数阵”：47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式，以及2020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解．(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行，同理可得a25＝27.最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)；…第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.要求2020在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得i(2j＋1)＋j＝2020，∴j＝eq\f(2020－i,2i＋1).又∵j∈N*，∴当i＝1时，得j＝673.∴2020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．4．2.2第一课时等差数列的前n项和公式[A级基础巩固]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于()A．49B．42C．35D．282．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A．4D．eq\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．6634．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，则eq\f(S9,S5)等于()A．1B．－1C．2D．eq\f(1,2)5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．296．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.[B级综合运用]11．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()A．15B．24C．18D．2812．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则()A．a1＋a3＝0B．a3＋a5＝0C．S3＝S4D．S4＝S513．在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则m＝________，a100＝________.14．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且Sn＝eq\f(1,4)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an－eq\f(3,4).(1)证明：{an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[C级拓展探究]15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．答案解析[A级基础巩固]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于()A．49B．42C．35D．28解析：选B2a6－a8＝a4＝6，S7＝eq\f(7,2)(a1＋a7)＝7a4＝42.2．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A．4D．eq\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)解析：选A由S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5×2a3,2)＝55，解得a3＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)，∴k＝eq\f(15－11,4－3)＝4.故选A.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．663解析：选B∵a1＝2，d＝7，则2＋(n－1)×7＜100，∴n＜15，∴n＝14，S14＝14×2＋eq\f(1,2)×14×13×7＝665.4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，则eq\f(S9,S5)等于()A．1B．－1C．2D．eq\f(1,2)解析：选Aeq\f(S9,S5)＝eq\f(\f(9,2)a1＋a9,\f(5,2)a1＋a5)＝eq\f(\f(9,2)·2a5,\f(5,2)·2a3)＝eq\f(9a5,5a3)＝eq\f(9,5)·eq\f(a5,a3)＝1.5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．29解析：选B钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋eq\f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．解析：由a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列，故S9＝9a1＋eq\f(9×9－1,2)×eq\f(1,2)＝9＋18＝27.答案：278．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1