《5.2.2导数的四则运算法则》教案、导学案与同步练习

《5.2.2导数的四则运算法则》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习导数的四则运算法则本节内容通对导数的四则运算法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解函数的和、差、积、商的求导法则．B．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．1.数学抽象：和、差、积、商的求导法则2.逻辑推理：和、差、积、商的求导法则3.数学运算：运用导数运算法则求函数的导数【教学重点和难点】重点：函数的和、差、积、商的求导法则难点：综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【教学过程】【教学反思】教学过程教学设计意图一、认知探究在例2中，当p0=5时，pt=5×1.05t,这时，求p关于探究1：设fx=x2

，g设y=fx∆y∆x=x+∆x2+x+∆xfx+gx'而fx'=2x,gx所以fx+gx'同样地，对于上述函数，fx-g例3.求下列函数的导数（1）y=（2）y=解：（1）y=(x3)（2）y探究:2：设fx=x2

通过计算可知，fxgx'=(x3因此fxg导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝______________．(2)积的导数①[f(x)·g(x)]′＝____________________；②[cf(x)]′＝________．(3)商的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝___________________________f′(x)±g′(x);f′(x)g(x)＋f(x)g′(x);cf′(x);eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)典例解析例4.求下列函数的导数（1）y=x3解：（1）y=(x（2）y求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝eq\f(cosx,x).[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(cosx′·x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－x·sinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).跟踪训练2求下列函数的导数（1）y＝tanx；（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)解析：（1）y＝tanx＝eq\f(sinx,cosx)，故y′＝eq\f(sinx′cosx－cosx′sinx,cosx2)＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x).（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，故y′＝cosx.例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为x%所需费用（单位：元），为c(x)=5284100-x求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：（1）90%

；（2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；c==（1）因为c'(90)=5284

100-902（2）因为c'(98)=5284

100-982例6(1)函数y＝3sinx在x＝eq\f(π,3)处的切线斜率为________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．①求f(1)＋f′(1)；②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．(1)[解析]由函数y＝3sinx，得y′＝3cosx，所以函数在x＝eq\f(π,3)处的切线斜率为3×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)(2)[解]①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋eq\f(1,x)＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．通过对上节例题的提问，引导学生探究导数的四则运算法则。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过对导数四则运算法则的运用。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握导数的运算法则，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B．eq\r(2)C．－1D．0解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.答案：A2.已知物体的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)解析：∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).答案：D3.如图有一个图象是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝ ()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(7,3)D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1－a－1>0，,a＋1a－1＝0，))解得a＝－1.故f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3).答案：B4.求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1)；(4)y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx,xx2＋12).(4)∵y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x2－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝2x－eq\f(1,2)cosx.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.导数的四则运算法则;2.导数运算法则的综合运用;通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】从学生上节已解决的问题出发，引导学生对导数四则运算的探究，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生的求导能力，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。《5.2.2导数的四则运算法则》导学案【学习目标】1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用．2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导．【重点和难点】重点：导数的四则运算法则难点：运用导数的运算法则解决函数求导【知识梳理】导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝______________．(2)积的导数①[f(x)·g(x)]′＝____________________；②[cf(x)]′＝________．(3)商的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝___________________________f′(x)±g′(x);f′(x)g(x)＋f(x)g′(x);cf′(x);eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)【学习过程】一、学习导引在例2中，当p0=5时，pt=5×1.05t,这时，求p关于二、新知探究探究1：设fx=x2

，g探究:2：设fx=x2

三、典例解析例3.求下列函数的导数（1）y=（2）y=例4.求下列函数的导数（1）y=x3求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝eq\f(cosx,x).跟踪训练2求下列函数的导数（1）y＝tanx；（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为x%所需费用（单位：元），为c(x)=5284100-x求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：（1）90%

；（2）98%例6(1)函数y＝3sinx在x＝eq\f(π,3)处的切线斜率为________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．①求f(1)＋f′(1)；②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．【达标检测】1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B．eq\r(2)C．－1D．02.已知物体的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)3.如图有一个图象是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝ ()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(7,3)D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)4.求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1)；(4)y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).【参考答案】学习过程一、新知探究探究1：设y=fx∆y∆x=x+∆x2+x+∆xfx+gx'而fx'=2x,gx所以fx+gx'同样地，对于上述函数，fx-g探究:2：通过计算可知，fxgx'=(x3因此fxg二、典例解析例3.解：（1）y=(x3)（2）y例4.解：（1）y=(x（2）y跟踪训练1[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(cosx′·x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－x·sinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).跟踪训练2解析：（1）y＝tanx＝eq\f(sinx,cosx)，故y′＝eq\f(sinx′cosx－cosx′sinx,cosx2)＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x).（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，故y′＝cosx.例5解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；c==（1）因为c'(90)=5284

100-902（2）因为c'(98)=5284

100-982例6(1)[解析]由函数y＝3sinx，得y′＝3cosx，所以函数在x＝eq\f(π,3)处的切线斜率为3×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)(2)[解]①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋eq\f(1,x)＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．达标检测1．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.答案：A2.解析：∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).答案：D3.解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1－a－1>0，,a＋1a－1＝0，))解得a＝－1.故f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3).答案：B4.[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx,xx2＋12).(4)∵y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x2－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝2x－eq\f(1,2)cosx.《5.2.2导数的四则运算法则》基础同步练习一、选择题1．函数的导函数为（）A．B．C．D．2．已知函数，则（）A．B．C．D．3．函数在处的切线方程为（）A．B．C．D．4．已知函数，则（）A．2B．1C．0D．5．（多选题）下列求导运算错误的是（）A．B．C．D．6．已知函数的导函数为，记，．若，则（）A．B．C．D．二、填空题7．函数的导数是___________.8．已知函数，为的导函数，则的值为___________.9．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是元．10．设函数在内可导，其导函数为，且，则______.三、解答题11．求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）．12．已知函数.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.《5.2.2导数的四则运算法则》答案解析一、选择题1．函数的导函数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，故选.2．已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由，则，所以.3．函数在处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，则，又时，，则切线方程为.4．已知函数，则（）A．2B．1C．0D．【答案】D【解析】因为，则，所以，则，所以，所以.5．（多选题）下列求导运算错误的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】A.，故错误；B.，正确；C.，故错误；D.，故错误.6．已知函数的导函数为，记，．若，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：，则，，，，，所以猜想：，，，，由，，所以，，，故选：D．二、填空题7．函数的导数是___________.【答案】【解析】，.8．已知函数，为的导函数，则的值为___________.【答案】【详解】，所以.9．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是元．【答案】40【详解】净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为．所以，又因为，所以净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是40元.10．设函数在内可导，其导函数为，且，则______.【答案】【解析】因为，令，则，所以，即，所以，因此.三、解答题11．求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）．【详解】（1）．（2）．（3）．（4）∵，∴．12．已知函数.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.【解析】（1）因为，所以（2）因为在处的值为1，在处的值为2所以切线方程为，即《5.2.2导数的四则运算法则》提高同步练习一、选择题1．已知函数，则的值为（）A．B．C．D．2．已知，是的导函数，即，，…，，，则（）A．B．C．D．3．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（）A．B．6C．12D．4．已知函数，其导函数为，则的值为（）A．1B．2C．3D．45．（多选题）下列结论中正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．（多选题）下列函数在点处有切线的是（）．A．B．C．D．二、填空题7．已知函数，则在处的导数________.8．若函数，满足，且，则_________.9．在等比数列中，，，函数，若的导函数为，则_________.10．现有一倒放圆锥形容器，该容器深，底面直径为，水以的速度流入，则当水流入时间为时，水面上升的速度为_________.三、解答题11．已知，函数的导函数为．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求的值．12．记、分别为函数、的导函数.把同时满足的叫做与的“Q点”.（1）求与的“Q点”；（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.《5.2.2导数的四则运算法则》答案解析一、选择题1．已知函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为,所以所以.2．已知，是的导函数，即，，…，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，所以，……可知的解析式