《4.3.1等比数列的概念》教案、导学案与同步练习

《4.3.1等比数列的概念》教案(第一课时)【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等比数列的概念数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。学生在已学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解等比数列及等比中项的概念．B．掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．1.数学抽象：等比数列的定义2.逻辑推理：等比数列通项公式的推导3.数学运算：等比数列的运用4.数学建模：等比数列的函数特征【教学重点和难点】重点：等比数列及等比中项的概念难点：等比数列的函数特征及综合运用【教学过程】教学过程教学设计意图一、新知探究我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”。类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:9,92100,10025,

522.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是12,3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64,…⑤4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是a1+r,a如果用{an}表示数列①，那么有a其余几个数列也有这样的取值规律吗？，请你试着写一写。探究1类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？等差数列的概念文字语言如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2；前一项；同一个常数；常数；d探究2类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．符号语言：an探究3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？1．下列数列为等比数列的是()A．m，m2，m3，m4，…B．22,42,62,82，…C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…D．eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，eq\f(1,a4)，…D解析：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；eq\f(62,42)≠eq\f(42,22)，所以B不是等比数列．2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是()A．eq\f(5,2)B．±2C．±eq\r(5)D．2B解析：设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±eq\r(x1x2)＝±2.探究3.你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得a所以a2-a1=d,a3-a2=于是a2=a1

a3=a2+d=(a1+d)+

a4=a3+d=(a1+2d)+归纳可得an=a1+(n-1)当n=1时，上式为a1=a1+(因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？设一个等比数列an的为qa所以a2=a1

a3=a2q=(a1

a4=a3q……归纳可得an=a1又a1=a1因此，首项为a1,公比为q的等比数列aa探究4.在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比

q

满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？a当q>0且q≠1时,f(x)=

当x=n时,f(n)=

a1即指数型函数f(x)=k（为k,a常数，k

≠0,a>0且a≠1

）构成一个等比数列kanf其首项为ka

，公比为a探究5：类比指数函数的性质，你能说说公比q>0的等比数列的单调性吗？f(x)=

a1q二、典例解析例1.若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12，求a分析：等比数列an解法1：由a4=48，

a②的两边分别除以①的两边，得q2=14.把q=12代入①，得a1此时

a5=a1把q=-12代入①，得a1此时

a5=a1因此a的第5项是24或-24.解法2：因为

a5是

a4与

a6所以a5因此，an例2已知等比数列an的公比为q，试用an的第m项am解：由题意，得am=an=②的两边分别除以①的两边，得ana所以an1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.跟踪训练1在等比数列{an}中，(1)若a2＝4，a5＝－eq\f(1,2)，求an；(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1q＝4，,a5＝a1q4＝－\f(1,2)，))∴q＝－eq\f(1,2)，a1＝－8，∴an＝a1qn－1＝－8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝(－2)4－n.(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，∴q＝eq\f(1,2).由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，由an＝a1qn－1＝1知n＝6.例3.数列an共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方程组求解.解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d，则数列的各项依次为80q2,80q,80,80于是得80解方程组，得q=2d=16或所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.解法1：设这四个数依次为a-d,a,a+d,(a+d)于是得a-d+(a+d)2a所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法2：设这四个数依次为2aq于是得2aq-a+aq=16,所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝3，q=1故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.通过与等差数列进行类比，引导学生通过观察、分析、归纳出等比数列的定义。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过与等差数列中项性质的类比，获得等比数列中项的性质。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对等比数列及其函数特征的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。通过典型例题，加深学生对等比数列综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素三、达标检测1．已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝eq\f(1,2)，则a5＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)A解析：∵等比数列的通项公式an＝a1qn－1，∴a5＝a1×q4＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)，故选A．2．设an＝(－1)n(n∈N*)，则数列{an}是()A．等比数列B．等差数列C．递增数列D．递减数列A解析：由已知数列an＝(－1)n(n∈N*)的前5项为－1,1，－1,1，－1，明显数列{an}不是等差数列，也不是单调递增数列，也不是单调递减数列，排除BCD．又当n≥2，n∈N*时，eq\f(an,an－1)＝eq\f(－1n,－1n－1)＝－1为常数，故数列{an}是等比数列．故选A．3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝()A．1B．2C．3D．4C解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q>0，解得q＝3.故选C．4.若数列－1，a，b，c，－9成等比数列，则实数b的值为()A．－3B．3C．±3D．不能确定A解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，∴－1，a，b成等比数列，a，b，c成等比数列，b，c，－9成等比数列，∴a2＝－b，b2＝ac，c2＝－9b.∴b4＝a2c2＝(－1)×(－9)b2.∴b2＝9.又a2＝－b>0，∴b<0，∴b＝－3.5．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16.求{an}的通项公式．解：设数列{an}的公比为q.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝2，,a1q4＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2.))所以{an}的通项公式为an＝2n－1.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。《4.3.1等比数列的概念》导学案（第一课时）【学习目标】1.理解等比数列及等比中项的概念．2．掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．【重点和难点】重点：等比数列及等比中项的概念难点：等比数列的函数特征及综合运用【知识梳理】1、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．符号语言：a2.等比中项：1．下列数列为等比数列的是()A．m，m2，m3，m4，…B．22,42,62,82，…C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…D．eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，eq\f(1,a4)，…2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是()A．eq\f(5,2)B．±2C．±eq\r(5)D．2【学习过程】一、新知探究我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”。类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:9,92100,10025,

522.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是12,3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64,…⑤4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是a1+r,a如果用{an}表示数列①，那么有a其余几个数列也有这样的取值规律吗？，请你试着写一写。探究1类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？等差数列的概念文字语言如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2；前一项；同一个常数；常数；d探究2类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？探究3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？探究4.你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？探究.5在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比

q

满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？探究6：类比指数函数的性质，你能说说公比q>0的等比数列的单调性吗？f(x)=

a1q二、典例解析例1.若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12，求a例2已知等比数列an的公比为q，试用an的第m项am1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.跟踪训练1在等比数列{an}中，(1)若a2＝4，a5＝－eq\f(1,2)，求an；(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.例3.数列an跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.【达标检测】1．已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝eq\f(1,2)，则a5＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)2．设an＝(－1)n(n∈N*)，则数列{an}是()A．等比数列B．等差数列C．递增数列D．递减数列3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝()A．1B．2C．3D．44.若数列－1，a，b，c，－9成等比数列，则实数b的值为()A．－3B．3C．±3D．不能确定5．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16.求{an}的通项公式．【课堂小结】【参考答案】知识梳理1．D解析：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；eq\f(62,42)≠eq\f(42,22)，所以B不是等比数列．2．B解析：设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±eq\r(x1x2)＝±2.学习过程一、新知探究探究4.设一个等差数列an的首项为a1,公差为an+1-a所以a2-a1=d,a3-a2=于是a2=a1

a3=a2+d=(a1+d)+

a4=a3+d=(a1+2d)+归纳可得an=a1+(n-1)当n=1时，上式为a1=a1+(因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？设一个等比数列an的为qa所以a2=a1

a3=a2q=(a1

a4=a3q……归纳可得an=a1又a1=a1因此，首项为a1,公比为q的等比数列aa探究5.a当q>0且q≠1时,f(x)=

当x=n时,f(n)=

a1即指数型函数f(x)=k（为k,a常数，k

≠0,a>0且a≠1

）构成一个等比数列kanf其首项为ka

，公比为a探究6：f(x)=

a1q二、典例解析例1.分析：等比数列an解法1：由a4=48，

a②的两边分别除以①的两边，得q2=14.把q=12代入①，得a1此时

a5=a1把q=-12代入①，得a1此时

a5=a1因此an的第5项是24或-24解法2：因为

a5是

a4与

a6所以a5因此，an例2解：由题意，得am=an=②的两边分别除以①的两边，得ana所以an跟踪训练1解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1q＝4，,a5＝a1q4＝－\f(1,2)，))∴q＝－eq\f(1,2)，a1＝－8，∴an＝a1qn－1＝－8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝(－2)4－n.(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，∴q＝eq\f(1,2).由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，由an＝a1qn－1＝1知n＝6.例3.分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方程组求解.解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d，则数列的各项依次为80q2,80q,80,80于是得80解方程组，得q=2d=16或所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.跟踪训练2.解法1：设这四个数依次为a-d,a,a+d,(a+d)于是得a-d+(a+d)2a所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法2：设这四个数依次为2aq于是得2aq-a+aq=16,所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝3，q=1故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.达标检测1．A解析：∵等比数列的通项公式an＝a1qn－1，∴a5＝a1×q4＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)，故选A．2．A解析：由已知数列an＝(－1)n(n∈N*)的前5项为－1,1，－1,1，－1，明显数列{an}不是等差数列，也不是单调递增数列，也不是单调递减数列，排除BCD．又当n≥2，n∈N*时，eq\f(an,an－1)＝eq\f(－1n,－1n－1)＝－1为常数，故数列{an}是等比数列．故选A．3．C解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q>0，解得q＝3.故选C．4.A解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，∴－1，a，b成等比数列，a，b，c成等比数列，b，c，－9成等比数列，∴a2＝－b，b2＝ac，c2＝－9b.∴b4＝a2c2＝(－1)×(－9)b2.∴b2＝9.又a2＝－b>0，∴b<0，∴b＝－3.5．解：设数列{an}的公比为q.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝2，,a1q4＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2.))所以{an}的通项公式为an＝2n－1.《4.3.1等比数列的概念（第一课时）》基础同步练习一、选择题1．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（）①数列1，2，6，18，…；②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.A．1个B．2个C．3个D．4个2．与的等比中项是（）A．1B．C．2D．或13．已知中，，，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则（）A．B．C．D．或5．（多选题）下列选项中，不是成等比数列的充要条件是（）．A．（为常数）B．（为常数）C．D．6．（多选题）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A．B．C．D．当时，二、填空题7．在等比数列中，，公比，则.8．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则.9．已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)10．已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则等于．三、解答题11．已知正项等比数列，首项，且成等差数列，求数列的通项公式.12．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式及前n项和；（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．《4.3.1等比数列的概念(第一课时)》答案解析一、选择题1．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（）①数列1，2，6，18，…；②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A.2．与的等比中项是（）A．1B．C．2D．或1【答案】D【详解】由题意可设与的等比中项是，则，解得或.故选：D.3．已知中，，，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解:因为中，，,所以数列是首项为,公比的等比数列,设通项公式为:,所以.故选:C4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则（）A．B．C．D．或【答案】C【详解】由题知，因为为等差数列，所以，又，则，从而.故选：C．5．（多选题）下列选项中，不是成等比数列的充要条件是（）．A．（为常数）B．（为常数）C．D．【答案】ABD【详解】解：对于A.当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B.当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C.根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D.当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；故选：ABD.6．（多选题）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A．B．C．D．当时，【答案】ABC【详解】由题意，设数列的公比为，因为，得，当时，，此时，当时，，故不正确的是ABC.故选：ABC.二、填空题7．在等比数列中，，公比，则.【答案】【详解】由题知.8．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则.【答案】【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，且.9．已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)【答案】，，（答案不唯一）【详解】因为数列的通项公式为，所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……，显然，所以，，能构成等比数列.故答案为：，，10．已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则等于．【答案】【详解】由题意，，，∴．三、解答题11．已知正项等比数列，首项，且成等差数列，求数列的通项公式.【详解】解：设等比数列的公比为q，由题意得：，即，即，所以或（舍），所以．12．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式及前n项和；（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，；（2），，则公比为，.《4.3.1等比数列的概念（第一课时）》提高同步练习一、选择题1．“、、成等比数列”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2．已知是一个等比数列的前项，那么第项为（）.A．B．C．D．3．已知等比数列中，，，则（）A．B．C．D．4．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．5．（多选题）已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（）A．B．C．D．6.（多选题）已知，，，依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（）A．B．C．D．二、填空题7．在等比数列中，，则.8．已知某等比数列的前三项依次为，，，那么是此数列的第项.9．等比数列为递减数列，若，，则.10．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是____．三、解答题11．已知递增等比数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列为等差数列，且满足，，求数列的通项公式及前10项的和；12．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式（2）若，数列是公比为4的等比数列，求数列的通项公式.《4.3.1等比数列的概念(第一课时)》答案解析一、选择题1．“、、成等比数列”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】D【详解】充分性：若、、成等比数列，则且，则，即充分性不成立；必要性：若，取，则、、不成等比数列，即必要性不成立.因此，“、、成等比数列”是“”的既非充分也非必要条件.故选：D.2．已知是一个等比数列的前项，那么第项为（）.A．B．C．D．【答案】B【详解】因为成等比数列，则，解得：或，当时，不符合，舍去；当时，前项为：，所以公比，则第项为：，故选：B.3．已知等比数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵等比数列中，，，∴，解得，∴．故选：A.4．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．【答案】A【详解】由题意可知3=3a32b=3a+2b，即a+2b=1.因为a>0，b>0，所以(a+2b)=+4≥2+4=8，当且仅当，即a=2b=时取“=”，所以的最小值为8.故选：A5．（多选题）已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】，数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中数列有连续四项在集合，，18，36，中又数列是公比为的等比数列，在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.或.故选：BD6.（多选题）已知，，，依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（）A．B．C．D．【答案】AB【详解】解：因为公比不为1，所以不能删去，，设等差数列的公差为，①若删去，则有，得，即，整理得，因为，所以，因为，所以解得，②若删去，则，得，即，整理得，因为，所以，因为，所以解得，综上或，故选：AB二、填空题7．在等比数列中，，则.【答案】4【详解】为等比数列，设公比为，由，则，所以.8．已知某等比数列的前三项依次为，，，那么是此数列的第项.【答案】4【详解】解：由题意得，，解得或.当时，，不符合题意，舍去，∴.此时，，∴该等比数列的首项为，公比为.设为此数列的第项，则，解得.9．等比数列为递减数列，若，，则.【答案】【详解】∵等比数列为递减数列，，，∴与为方程的两个根，解得，或，，∵，∴，，∴，则.10．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是___．【答案】【详解】解：在等比数列中，，所以，，当时，，数列递增，所以当时，恒成立.故答案为：三、解答题11．已知递增等比数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列为等差数列，且满足，，求数列的通项公式及前10项的和；【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，，所以，即数列的通项公式为；（2）由（1）知，所以，，设等差数列的公差为，则，，设数列前10项的和为，则，所以数列的通项公式，数列前10项的和.12．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式（2）若，数列是公比为4的等比数列，求数列的通项公式.【详解】（1）∵数列是等差数列，∴，∴，.（2），∴.《4.3.1等比数列的概念》教案(第二课时)【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等比数列的概念数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。学生在已学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题．B．能够运用等比数列的性质解决有关问题．1.数学抽象：等比数列的性质2.逻辑推理：类比等差数列性质推导等比数列性质3.数学运算：等比数列的运用4.数学建模：运用等比数列解决实际问题【教学重点和难点】重点：运用等比数列解决简单的实际问题难点：等比数列的综合运用【教学过程】教学过程教学设计意图一、温故知新二、典例解析例4.用10000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为a元，每期的利率为r

，则从第一期开始，各期的本利和a

,a1+r，a解：（1）设这笔钱存

n

个月以后的本利和组成一个数列an则an首项a1=10所以a12所以，12个月后的利息为10

490.7-10解：（2）设季度利率为

r

，这笔钱存

n

个季度以后的本利和组成一个数列bn，则b首项b1=10于是b4因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为104解不等式1041+r4所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．跟踪训练1.2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.(1)哪一年两林场木材的总存量相等？(2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？解：(1)由题意可得16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，解得n＝2，故到2019年两林场木材的总存量相等．(2)令n＝5，则a5＝16aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))4＋25aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))4<2(16a＋25a)，故到2021年不能翻一番．例5.已知数列an的首项a（1）若an为等差数列，公差

d=2，证明数列3（2）若an为等比数列，公比q=19分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。证明（1）：由a1=3，d=2，得an设bn=bn+1又b1所以，3a证明（2）：由a1=3,a两边取以3为底的对数，得log所以log3an+1所以，log3an1.若an2.若数列an是各项均为正的等比数列，则数列log例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列an，bn,则各月不合格品的数量构成数列anbn，由题意可知，数列a解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列an，banb则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn=1050×1.05n-1由计算工具计算（精确到0.1），并列表观察发现，数列anbn先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，a由an+1得n>5.所以，当n≥6时，an又a13b13所以当13≤n≤24时,an所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.通过与等差数列进行对比，发展学生类比思维能力，加强记忆。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过运用等比数列模型，解决实际问题。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。增强应用意识。通过典型例题，加深对等差与等比数列概念的理解，体会等差与等比数列的内在联系。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。通过典型例题，加深学生对等比数列综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素三、达标检测1．（2021·江苏南通市高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（）注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再传染个人为第二轮感染.A．5B．6 C．7D．8【答案】B【详解】设经过第轮传染，感染人数为，经过第一轮感染后，，经过第二轮感染后，，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第轮传染，感染人数为，当时，解得，因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮.2．（2021·北京高二期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则.【答案】10【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且所以.3.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．分析：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．解:(1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．4.已知a,b,c,x,y,z都是不等于1的正数,且ax=by=cz,1x,1证明:令ax=by=cz=m(m>0).则x=logam,于是1x=logma,同理1y=logmb,1z因为1x所以2y=1x+1z,即2logmb因此logmb2=logm(ac),故b2=ac.所以a,b,c成等比数列.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。《4.3.1等比数列的概念》导学案（第二课时）【学习目标】1.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题．2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点)【重点和难点】重点：运用等比数列解决简单的实际问题难点：等比数列的综合运用【知识梳理】1、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．符号语言：a2.等差与等比数列【学习过程】一、典例解析例4.用10000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．跟踪训练1.2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.(1)哪一年两林场木材的总存量相等？(2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？例5.已知数列an的首项a（1）若an为等差数列，公差

d=2，证明数列3（2）若an为等比数列，公比q=191.若an2.若数列an是各项均为正的等比数列，则数列log例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？【达标检测】1．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（）注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再传染个人为第二轮感染.A．5B．6 C．7 D．82．（2021·北京高二期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则.3.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．4.已知a,b,c,x,y,z都是不等于1的正数,且ax=by=cz,1x,1【课堂小结】【参考答案】知识梳理学习过程一、典例解析例4.分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为a元，每期的利率为r

，则从第一期开始，各期的本利和a

,a1+r，a解：（1）设这笔钱存

n

个月以后的本利和组成一个数列an则an首项a1=10所以a12所以，12个月后的利息为10

490.7-10解：（2）设季度利率为

r

，这笔钱存

n

个季度以后的本利和组成一个数列bn，则b首项b1=104于是b4因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为104解不等式1041+r4所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.跟踪训练1.解：(1)由题意可得16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，解得n＝2，故到2019年两林场木材的总存量相等．(2)令n＝5，则a5＝16aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))4＋25aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))4<2(16a＋25a)，故到2021年不能翻一番．例5.分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。证明（1）：由a1=3，d=2，得an设bn=bn+1又b1所以，3a证明（2）：由a1=3,a两边取以3为底的对数，得log所以log3an+1所以，log3an例6.分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列an，bn,则各月不合格品的数量构成数列anbn，由题意可知，数列a解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列an，banb则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn=1050×1.05n-1由计算工具计算（精确到0.1），并列表观察发现，数列anbn先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，a由an+1得n>5.所以，当n≥6时，an又a13b13所以当13≤n≤24时,an所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.达标检测1．【答案】B【详解】设经过第轮传染，感染人数为，经过第一轮感染后，，经过第二轮感染后，，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第轮传染，感染人数为，当时，解得，因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮.2．【答案】10【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且所以.3.分析：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．解:(1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．4.证明:令ax=by=cz=m(m>0).则x=logam,于是1x=logma,同理1y=logmb,1z因为1x所以2y=1x+1z,即2logmb因此logmb2=logm(ac),故b2=ac.所以a,b,c成等比数列.《4.3.1等比数列的概念（第二课时）》基础同步练习一、选择题1．已知等比数列中，，，则公比q=（）A．B．C．D．22．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（）A．B．C．D．3．若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A．公差为2的等差数列B．公差为的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为的等比数列4．在等比数列中，，，则（）A．B．C．D．5．（多选题）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（）．A．2006年底人类知识总量是B．2009年底人类知识总量是C．2019年底人类知识总量是D．2020年底人类知识总量是6．（多选题）设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（）A．是公比为的等比数列B．是公比为的等比数列C．是公比为的等比数列D．是公比为的等比数列二、填空题7．已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________.8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长等于1，那么该塔形中正方体的个数是___________.9．在等比数列中，，，则值为______．10．已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.三、解答题11．已知数列的前n项和．（1）证明：是等比数列．（2）求数列的前n项和．12．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中，求数列的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．《4.3.1等比数列的概念(第二课时)》答案解析一、选择题1．已知等比数列中，，，则公比q=（）A．B．C．D．2【答案】B【详解】，即，解得.故选：B.2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列，公比为，第六个单音的频率.故选：B.3．若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A．公差为2的等差数列B．公差为的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为的等比数列【答案】A【详解】因为数列是公比为4的等比数列，且，所以，，，所以数列是公差为2的等差数列，故选A.4．在等比数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：．∵在等比数列中，，所以．故选：B．5．（多选题）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（）．A．2006年底人类知识总量是B．2009年底人类知识总量是C．2019年底人类知识总量是D．2020年底人类知识总量是【答案】BCD【详解】2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了番.2000年底，人类知识总量为a，则2006年底，人类知识总量为，故A错.2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了番.则2009年底，人类知识总量为，故B正确，2009年到2009年每一年翻一番，则总共翻了番则2019年底，人类知识总量为，故C正确.2020年是每73天翻一番，则总共翻了番，则2020年底，人类知识总量为，故D正确.故选：BCD.6．（多选题）设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（）A．是公比为的等比数列B．是公比为的等比数列C．是公比为的等比数列D．是公比为的等比数列【答案】AB【详解】由于数列是公比为的等比数列，则对任意的，，且公比为.对于A选项，，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；对于B选项，，即数列是公比为的等比数列，B选项正确；对于C选项，，即数列是公比为的等比数列，C选项错误；对于D选项，，即数列是公比为的等比数列，D选项错误.故选：AB.二、填空题7．已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________.【答案】2【详解】数列是等比数列，则，所以，而，，所以公比.8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长等于1，那么该塔形中正方体的个数是___________.【答案】7【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则为以8为首项，以为公比的等比数列，所以其通项公式为，令可得，.9．在等比数列中，，，则值为__________．【答案】6【详解】因为是等比数列，，所以．10．已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.【答案】【详解】由可得，数列是首项和公比均为的等比数列，所以，则，又因为是递增数列，所以恒成立，即恒成立，所以，所以.三、解答题11．已知数列的前n项和．（1）证明：是等比数列．（2）求数列的前n项和．【详解】（1）当时．，，又，所以的通项公式为．因为，所以是首项为9，公比为3的等比数列．（2）因为，所以，所以数列的前n项和：.12．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中，求数列的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．【详解】（1）由题意得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为万美元，每项诺贝尔奖发放奖金为万美元；（2）由题意得，，…所以，年诺贝尔奖发奖后基本总额为，年每项诺贝尔奖发放奖金为万美元，故该推测具有可信度．《4.3.1等比数列的概念（第二课时）》提高同步练习一、选择题1．已知正项等比数列中，，，，则（）A．B．C．D．2．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（）（，）A．40B．41C．42D．433．若是公比为e的正项等比数列，则是（）A．公比为的等比数列B．公比为3的等比数列C．公差为3e的等差数列D．公差为3的等差数列4．在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若，且，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．6.（多选题）在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）A．不可能为B．“等差比数列”中的项不可能为C．等差数列一定是“等差比数列”D．等比数列一定是“等差比数