2020-2021学年新题速递高二数学03 解三角形（填空题）12月理（解析版）

专题03解三角形(填空题)

一、填空题

1.在△AfiC中，A=—,a~y[2>c>则一=.

3c

【试题来源】宁夏海原第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】1

【分析】直接根据余弦定理/=62+c2-2^cosA可解得结果.

【解析】由余弦定理得2儿cosA，即3c2=/+c2_28cx(—g),

b

所以2c2—/?2—秘=0,所以(2c+0)(c-A)=0,因为b,c为正数，所以8=c,即一=1.

C

故答案为1.

2.在△A6C中，三个内角A、B-C的对边分别是“、b、c,若a=2,b=3>c=4,

则cosA=.

【试题来源】北京师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末

7

【答案】三

ij22-29+16-477

【解析】在ATWC中，cosA=°+cCa=y°故答案为人.

2bc2x3x488

3.在△ABC中，若A=30°,AB=2抠,AC=2,则AABC的面积S是.

【试题来源】广西兴安县第三中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】6

【解析】•••s=；bcsinA,.•.s=gx2x2Gxsin30°=6，故答案为

【名师点睛】本题考查三角形的面积公式，要根据不同条件灵活选择s=La"sinC,

2

s=—acsinB,s='bcsinA三个公式.

22

4.如图，为了估测某塔的高度，在塔底。和A,8(与塔底。同一水平面)处进行测量，在点

A8处测得塔顶。的仰角分别为45。，30°,且AB两点相距140m,由点。看43的张

角为150°,则塔的高度CD=m.

【试题来源】四川省南充高级中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（文）

【答案】205

【分析】设塔的高度为〃，从而可得3。与AD，再利用余弦定理即可求解.

【解析】设塔的高度CO=〃（加），则BO=VJ/?.AD=h,

在AABD中，AB=140，N3ZM=150"，

由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosNBDA，

BP1402=/I2+3/22-2A/3/?2X^--热,解得〃=2。".故答案为2。"

73

5.已知。，b,。分别为6c内角A，B,C的对边，a=3,b=—,sinA=二,

27

则B=.

【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考

【答案】】或苧

66

13

（分析］由正弦定理即可求得sinB=一，根据三角形内角和性质以及sinA=一即可求B.

27

733

【解析】由正弦定理：——=——有3sin5=」x二=2,

sinAsinB272

所以sinB=',0<8（不，而sinA=3<‘，当0<A<七时，8=2或电；

272666

当W<A（乃时，由0<4+B<〃，显然5无解；所以3=9或当.

666

6.在AABC中，内角C为钝角，sinC=|,AC=5,A8=36，则BC=.

【试题来源】四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高二10月月考

【答案】2

【分析】先根据同角三角函数平方关系求cosC，再根据余弦定理求3c.

34

【解析】因为sinC=g,C为钝角，所以cosC=-《，

因此由余弦定理得卜遥）2=52+302_2*5乂80*（-1）,.・.50=2（负值舍去），

故答案为2.

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知

条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

7.已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西65°且B到

C的距离为6km，则A，3两船的距离为.

【试题来源】黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）

【答案】V13km

【解析】根据题意如图：山题意得/4。3=65。+85。=150。，又AC=2,BC=6

由余弦定理得AB?=AC2+BC2-24C.3CCOS1500=4+3+2X2XGX^=13,

2

所以A8=Ji3，故答案为&ikm.

8.在AABC中，角A,&C的对边分别为上c,若a=1,N5=45°,^ABC的面积5=2,

那么AABC的外接圆的直径为.

【试题来源】宁夏海原第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】5&

【分析】根据三角形的面积公式求出c=40，根据余弦定理求出。=5,根据正弦定理求

出直径.

【解析】根据三角形的面积公式可得S=LacsinB=』x也c，所以变c=2，即

2224

c=4^2>所以〃+c?-2accos8=l+32-2xlx4\/^x=25>所以〃=5，

2

2R=---=—7^=5^2l

所以1的外接圆的直径为sinBV2.故答案为5a.

T

9.在三角形ABC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,^（a+b+cXb+c-a）=bc,

则角.

【试题来源】上海市格致中学2021届高三上学期9月月考

2万

【答案】y

【分析】把已知条件变形后利用余弦定理即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角

的三角函数值即可求出A的度数.

【解析】由（。+人+。）（力+。-。）=/?。得（/?+。）2-a2=bc,

即b2+c2-a2=-be，；.cosA=+c———=_1,

2bc2

•「A是三角形的内角，，4=生，故答案为子.

33

10.在△ABC中，角A、3、。所对的边长分别为“，h,c,且一°2=（。一。）①则

ZACB=.

【试题来源】宁夏海原第一中学2021届高三上学期第一次月考（文）

【答案】600

【分析】由余弦定理求得cosNACB后可得NAC8.

【解析】因为标-^二•一为6所以/+匕2一。2=",cosZACB=a-+b--c-=_[>

''lab2

又0°<NACB<180°，所以NACB=60°.故答案为60°.

11.AABC的三个内角48,C所对的边分别为mb,c,AA/=!A有，b=2,CM=2互，

33

l2sinA-sinB

且----------

sin23r则s.c=----

【试题来源】福建省福清西山学校高中部2020届高三上学期期中考试(理)

【答案】百

【分析】山2smAsinB=£,根据正弦定理，以及两角和的正弦公式，得到cosC='，

sin28b2

7T___

求出C=§，再由平面向量基本定理，根据题中条件，得到3两=2瓦+而，根据向量

数量积的运算法则，列式求出a=2,进而可得三角形的面积.

—,2sinA-sinBc,2sinA-sinBsinC

【解析】在△A6C中，———r-二:，所以——r—7—=—^，

sin28bsin25sinB

所以2sinCeosB=2sinA-sinB,所以2sinCcosB=2(sinBcosC+cosBsinC)-sinB,

所以cosC=],又Ce(O,〃)，所以C=§；

.I.....I..I../.I.

又AM=-AB,所以CM=C4+AA/=CA+-AB=C4+—(CB—C4)=-C4+-CB,

33333

所以3两=2m+而，所以9西*=45？+而2+4乱函；所以28=16+4+4。，

解得。=2或a=-6(舍去)，所以AABC的面积为5小4=；、2、25皿(=6.

故答案为6.

【名师点睛】本题主要考查求三角形的面积，考查由正弦定理进行边角互化，涉及两角和正

弦公式，以及向量数量积的运算法则，属于常考题型.

12.在AABC中，已知a=J5，h=2,8=45°,则角A的度数为.

【试题来源】海南华侨中学2020届高三上学期第五次数学月考试题

【答案】30°

【解析】由正弦定理“=",得sinA=3sinB=^^sin45°=」，

sinAsinBb22

因为h>a,故A=30°.故答案为30。.

13.己知A，B,。为球。的球面上的三个点，。。为AASC1的外接圆.若。。的面积

为4万，AB=BC=AC=OO,,则球。的表面积为.

【试题来源】西藏自治区拉萨市拉萨中学2021届高三第二次月考（文）

【答案】64万

【分析】根据。Q的面积求出。。的半径，根据正弦定理求出AB=。。，根据勾股定理

求出球。的半径，根据球的表面积公式可得结果.

【解析】因为。。1的面积为4万，所以。Q的半径为2,直径为4,

所以A3==AC=OQ=4xsin?=，所以球。的半径为亚方而=4，

所以球。的表面积为4%x4?=647.故答案为64万

14.在△ABC中，角A，B,C的对边分别为b,c.若/+c2_〃=&c，则角

3的大小为.

【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高一下学期数学期末练习试题

【答案】7

6

【分析】利用余弦定理结合已知条件求B的余弦值即得结果.

【解析】因为/+。2一/=6。。，所以cosB=《^士2=避竺=@,

2ac2ac2

又AABC1中，6«0,万），故B=g,故答案为£

66

15.在平地上有A、5两点，A在山的正东，3在山的东南，且5在A的南偏西30。距离A

点300米的地方，在A测得山顶的仰角是30。，则山高为米.

【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高一下学期数学期末练习试题

【答案】150+5073

【分析】先设山高CD=/z,依题意可得NA5D,由正弦定理可求得AD,在直角AAOC

中，//=AZ>tan300计算得出结果即可.

【解析】设山高C£>=〃，43=300,ZABD=180°-（ZADB+ZDAB）=75°,

由正弦定理得AD=dBsm/AB"=150（百+1）.

sinZADB'>

在直角AAOC中，％=A£>.tan3（）o=150（6+l）x岸=150+506（米）.

故山高为（150+506）米.故答案为150+506.

OL3Q^X

X45°60°Vj

R

ci~+b~+1+261b

16.在A46c中，内角A，B,C所对的边分别为〃，b,c,2sinC=

a+b

则AABC外接圆面积的最小值为.

【试题来源】河北省2021届高三上学期10月联考

1T

【答案】-

8

【解析】因为/+、+]+2&6=（3+2）耳1="+,+_}_。2,2sinC<2,

a+ba+ba+b

TTC

所以当且仅当a+8=l,sinC=l时，此时，C=—,AABC外接圆的半径等于一，

22

->•ca"+b'+]+2ab,-p,a~+b~（a+b^].2,八2、].|2、]

2sinC=--------------，因为-------->-----,r所rr以a+b>-,则mc'N一,

a+h2I2J22

fcVn71

△ABC外接圆的面积为%->-,故答案为

⑴88

3

17.设△ABC的三个内角A.,B,C的对边分别为a,b,c,且cos（B-C）+cosA=1,

/=从；，则角A的大小为.

【试题来源】赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考数学高三大联考数学（理）试题

【答案】v

3

【分析】先利用诱导公式和两角和与差的余弦公式化简得sinBsinC，再利用正弦定理进

行边角互化即得sinA,最后利用范围进行取舍即得结果.

33

【解析】因为在△ABC中，cos(3—C)+cosA=万，所以cos(B—C)—cos(B+C)=5,

3

所以cosBcosC+sinBsinC-(cosBcosC-sin8sinC)二j

33

所以sin8sinC=—,由=匕。和正弦定理可得sin?A=sin8sinC=一,

44

F,

在AABC中，因为0<A(万，所以0<sinA<l,即sinA=\±

2

所以4=2或如.若4=女，则COS(B-C)+COSA=COS(JB—C)-3

33322

所以cos（B-C）=2,显然不成立，应舍去.故A=g.故答案为..

18.在△ABC中，角A，3,C所对的边分别为a",。，己知3=30°,a=2,sinA=（,

则人=.

【试题来源】吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三（上）第一次联考（文）

【答案】5

【解析】因为3=30°,a=2,sinA=l,

,2b

（ih——=------------

所以由正弦定理——=——，可得Isin30°.解得匕=5.故答案为5.

sinAsinB4

19.在AABC中，a=x,b=2,3=60。，若该三角形有两解,则x的取值范围为.

［试题来源］山西省山西大学附属中学2020-2021学年高二上学期9月模块诊断（开学考试）

【答案】（2,勺8）

3

【解析】根据正弦定理得-^=上；.，=^—.•.x=q=±^sinA

sinAsin8sinAsin603

所以A?i—>A>B=—sinAe(—,1)xe(2,^^),

因为该三角形有两解,

23323

故答案为（2,华）.

2

20.AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知&=括，c=2,cosA=§

贝.

【试题来源】吉林省汪清县第六中学2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】3

【分析】由余弦定理可得COSA=比《^，利用已知整理可得以2-泌-3=0,从而

2bc

解得。的值.

2

【解析】a=>/5，c=2,cosA=—,

由余弦定理可得cosA=]=bf=，整理可得3b2—86—3=0，

32bc2xbx2

二解得6=3或—g（舍去）.故答案为3.

21.4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=«,c=3,则4=.

【试题来源】陕西省汉中市五校2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】75°

>/--73

【解析】由正弦定理——=-^,得.n人sinCV2,

sin5sinCsin5=------=--^=—

c32

结合匕<。可得B=45°，则A=1800-8—C=75°.

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已

知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

22.AABC中，bcosC+ccosB-2b,则£=.

b

【试题来源】贵州省六盘水市第一中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】2

〃24人2_22.r2_>2

【解析】由余弦定理/?cosC+ccos3=〃-----------i-c-----------=a=2h,

2ab2ac

所以f=2.故答案为2.

b

23.半径为R的圆外接于AABC,且2/?卜足24-$足2。)=(6。一。卜由8,若火=2,

则AAbC面积的最大值为.

【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一上学期9月月考

【答案】2+6

【解析】因为27?®!!?A-sin?C)=(V3«-^)sinB

所以由正弦定理得〃-2=(Ga-b)b,即。2=/+/一百必，

所以由余弦定理可得cosC="一+"一厂=旦，又Ce(0,万)，故。=工.

2ab26

由正弦定理得a=2HsinA,Z?=2/?sinB=2/?sin^-1^-Aj,

所以S=，a〃sinC=Z?2sinA・sin(*乃一A1=R2sinA•-cosA+—sinA

2<6)(22,

—R2—■sin2A+(1—cos2A)=—/?2sin(2A-^-\+-^-R~»

[44J2I3)4

所以当A=包时,5最大，S=®2R2若R=2,则面积的最大值为2+6.

12max4

【名师点睛】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦

定理，三角形面积公式，函数y=4sin(5+s)的图象与性质，属于中档题.

24.在△ABC中，角A8,C所对的边分别为"c,A=g,若。=J7,且丽.而=一3,

则AABC的周长为.

【试题来源】广东省梅州市蕉岭县蕉岭中学2021届高三上学期第三次质检

【答案】5+币.

【分析】由丽•而=一3,利用数量积的定义结合A=^，可得匕c=6,然后利用余弦定

b2+c2-a21,,......

理cosA=---------------=一求r得Hb+c即nJ.

2bc2

JI1

【解析】QBA-AC=-3»:.-bccosA=-3QA=—,cosA=—,bc=6.

QcosA="———=—,b2+c2-7=bc>[b+c)2-7=3bc,

2bc2

.,.(〃+°)：!=25,：.。+0=5..”4^。的周长为5+77.

25.在A/WC中，角A，B,C的对边分别为c,已知±0—2cos2c=N,

22

且a+8=5,c=J7,则△ABC的面积为.

【试题来源】广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考

【答案】巫

2

【分析】首先根据4sii?史辿一2cos2c=2得到cosC=L根据余弦定理得到而=6，

222

再计算AABC的面积即可.

【解析】因为4sin?”；'-cos2C=，,所以2口一cos(A+8)]-2cos?C+l=(,

,7,11

2+2cosC-2cos"C+\~—,cos'-C-cosCH■—=0,解得cosC=—,

242

根据余弦定理有/=/+从一2McosC,即a。="+/-7=(a+bp-2。匕一7,

解得ab=6.因为sinC=，^，所以5=14/j5111。=!><6乂^^=之也.

22222

26.AABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c若acos8=WsinA，贝U8=.

【试题来源】广东省中山纪念中学2021届高三上学期10月月考

【答案】7

O

【分析】由已知结合正弦定理及同角的三角函数基本关系进行化简即可求解.

【解析】L_L知acos8=JGhsinA,由正弦定理可得，sinAcosB=\/3sinBsinA，

由sinA>0,化简可得tanB=走，因为0<3<万，故8=£.故答案为

366

27.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60。，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

30°,则甲、乙两楼的高分别是.

【试题来源】陕西省延安市黄陵中学本部2020-2021学年高二上学期期中

【答案】20j^米、三上米

【分析】过点。作CM，A3于点Af,根据题意得3。=CM=20,根据题中所给的俯角

和仰角，然后在向"CM和心AADB中，求两楼的高度.

【解析】如图，甲楼的高为20tan60°=20xG=20G（米）；

乙楼的高为20百-20tan30°=20#）-20x—=（米）.

33

故答案为20，^米、—米.

28.在AA8c中.AC="BC=2,8=60。.则△ABC的面积等于

【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期中

【答案】述

2

【解析】由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC.

即7=A52+4-4A5COS60。，解得AB=3（AB=—1舍去）,

所以SA.RC=-ABBCsinZABC='x3x2xsin60。=—.故答案为—•

△ABC2222

【名师点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，解三角形问题中要根据条件选择恰当的

公式运算，本题也可先用正弦定理求㈤C,然后求出sinC,再得结论.

29.在AAbC中，内角A、3、C所对的边分别为。、。、。，若C=120‘，a=百，8=2百，

则A3边上的高的长度为.

【试题来源】安徽省皖北名校2020-2021学年高二上学期第二次联考

【答案】迈

7

【分析】根据余弦定理求出c=⑨，根据三角形的面积公式求出面积，再根据三角形的面

积可求出结果.

【解析】由余弦定理得=/+从一2。。（：05。=3+12-2><石乂2百<：0$120。=21,

c-V2T,SAj„r=-x-^Sx2-73，所以AB边上的高的长度为=——.

△ABC222V217

30.在3c中，内角A，B,C的对边分别是“，b,c.若

Z?（sinA-sinB）=asinA-csinC,且AABC的面积为走c?,则2+f的值为

【试题来源】河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考（理）

【答案】4

【分析】由条件结合正弦定理可得一02,再利用余弦定理以及角的范围可得

c=勺7T，然后根据三角形的面积公式即可得出答案.

3

【解析】山正弦定理及人（sinA-sin3）=asinA-csinC,得次7=廿+a?-/，

=一①,

由的面积为遗)!^-c2--absinC>

又。€（0,兀），所以C△ABC

122

即‘2=3"，代入①，得户+02=4M，所以2+3=匕£=4.故答案为4

abab

31.对于△ABC,有如下判断，其中正确的是.

（1）若sin2A=sin2B,则AABC必为等腰三角形

（2）若A>B，贝iJsinA>sinB

（3）若a=5,b=3,8=60°，则符合条件的AABC有两个

（4）若cos2A+cos25—cos2c>1,贝IJAA5c必为钝角三角形

【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高三上学期第一次月考

【答案】（2）（4）

【分析】根据正弦函数性质结合三角形内角的范围可以判定（1）错误；正弦定理，结合大

边对大角性质，可以判定（2）正确；利用正弦定理求解，可判定（3）错误；利用同角三角

函数的关系将已知不等式化为关于三角形三个角的正弦的不等式，利用正弦定理转化为三边

的不等式，结合余弦定理即可判定（4）正确.

【解析】•••解5是三角形内角，.•.由sin2A=sin25得2A=25或2A+23=180°,

即A=8或A+B=90。，三角形为等腰二角形或者直角三角形，故（1）错；

A>B<^>a>b又由&=b,得sinA>sinB，故（2）正确；

sinAsinB

若a=51=3,B=60°，则sin4=竺吧0=细”=些〉1，无解，故（3）错；

b36

若cos'A+cos2B-cos2C>1>则1—sin~A+l—sin2B—（1—sin-C）>I,

即sin2A+sin2B-sin2C<0'山正弦定理得a?+b2-c2<0（

+h2_2

cosC=----------<0，为钝角，故（4）正确.故答案为（2）（4）.

lab

【名师点睛】本题考查正弦函数的性质，考查正弦定理、余弦定理解三角形.掌握正弦定理

和余弦定理是解三角形的关键.应用正弦定理解三角形时注意三角形解的情况，可能1解也

可能2解，还可能无解.

32.要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机

的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h,航测员先测得对山顶的俯角为30。，经过

40S已飞过M点）后又测得对山顶的俯角为45°,山顶的海拔高度为.（精确到

m）（可能要用到的数据：血=1.414，6=1.732,#=2.450）

【试题来源】陕西省榆林市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】6340m

【分析】求出4B,由正弦定理求出在直角三角形中解得MD,即可求山顶海拔.

【解析】因为900km/h=25()m/s,所以AB=250x40=10000(m),

在△ARM中，山正弦定理得一Z=•BMA8-sin30。

sin30°sin105°sin105°

作MD1,ABT-D，则MD=BMsin45°=1'"n3()°xsin45。=5OOo(V3-11=3660,

sin105°')

所以M的海拔高度为l(XXX)—3660=6340m.故答案为6340m

b

33.在△ABC中，已知a=2,,则△ABC的面积为

cosAcosBcosC

【试题来源】北京市人大附中2021届高三年级10月数学月考试题

【答案】y/3

bcosRcosHsinR

【分析】由已知得±=再由正弦定理可得上一，整理变形可得C=B,

ccosCcosCsinC

进一步可.说明△ABC是等边三角形，则面积可求.

­、、『bcbcosB,...bsin5cosBsinB

【解析】由已知——-=一二，I即TI1一=一二，又由正r1弦3定Tr理a一二一^；，.•・一二=七二，

cos3cosCccosCcsmCcosCsmC

即sinCeosB=sinBcosC,

.•.sin(C-8)=0,由于是在△ABC中，，C=3,同理C=A，所以AABC是等边三

角形，SA.c=gx2x2xsin6(r=6.故答案为6.

34.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸5,。的俯角分别为75。，30。，此时气球

的高是60m,则河流的宽度BC等于.

【试题来源】北京市新学道临川学校20120-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】120(V3-l)/«

【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15。的正切值，然后通过求解两个直角三角

形得到OC和DB的长度，作差后可得答案.

【解析】由图可知，ZDAB=15°,

...Q/"c"c\tan45°-tan300谷r:

：tan15°=tan(45°-30°)=----------------------=2-J3,

''1+tan45°tan30°

在用AAD8中，AD=6Q,VDB=ADxtan15°=60x(2-73j=120-60\/3,

在MAADC中，NDAC=60°,AD=60,：.DC^ADxtan60°=6073，

ABC=DC-=6073-（120-60V3）=120（V3-l）（m）,

河流的宽度BC等于120（6-1）相，故答案为120（6-1）根.

【名师点睛】本题给出实际应用问题，求河流在B,C两地的宽度，着重考查了三角函数的

定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.

35.在AABC中，AB=2，AC=4,则NC的取值范围为.

【试题来源】北京二十中2019-2020学年高一下学期期末

【答案】（0看

【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出”的范围，再结合余弦定理可以用。表

示cosC,求出cosC的范围，进而求得NC的取值范围.

【解析】在△A6C中，内角A，B,C的对边分别是。，b，c,由题意得c=2,b=4.

即2<a<6,cosC=a+b-C'

\b-c\<a<b+ct3

2abSa82a

令/（x）=]+^,易知函数在（2,2代）上单调递减，在（26,6）上单调递增,

所以当2<x<6时，/（x）的取值范围为判.所以cosCe

因为0<c<7i,所以.故答案为（0年

36.若A，B,。为AABC的内角，满足sinA,sinC,sin3成等差数列，贝UcosC的

最小值是.

【试题来源】湖北省黄冈市麻城-中2019-2020学年高三上学期期末（理）

【答案】—

2

【分析】根据sinA,sinC,sinB成等差数歹人利用等差中项结合正弦定理得到2c=a+〃，

然后由cosCh/+万一/=（"+〃）一’,—I，利用基本不等式求解•

2ab2ab

【解析】因为sinA,sinC,sinB成等差数列，所以2sinC=sinA+sin5,

由正弦定理得2c=a+8,所以cosC=L+'T=（"〃）二c[_],

2ab2ab

：22

＞（a+h）-c3c1

-2（a+bj-2c2-2.当且仅当a=0时取等号，所以cosC的最小值是5.

【名师点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，

还考查了运算求解的能力，属于中档题.

37.在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为4，。，。，且从泊4=。3$（8一弓），

则角3=.

【试题来源】陕西省西安市第六十六中学2019-2020学年高三上学期期末（文）

【答案】8=]

【分析】由正弦定理及匕sinA=acos（8-W1可得sin8sinA=sinAcos（B-结合

两角差余弦公式可得力〃5=73，进而可得到5值.

【解析】由正弦定理及bsinA=acos（B—£j

可得sinBsinA=sinACOS（8—£）在△ABC中，sinA0,

.（7C।7171

所以sin3=cosB---,即sinB=cos8cos—+sinBsin—

k6J66

所以柩〃5=6,又B为三角形内角，所以5=2,故答案为

38.已知平面四边形ABCD由"仪）与等边△A3C拼接而成，其中AD=2CD=2,则

平面四边形4BCO面积的最大值为.

【试题来源】陕西省汉中市汉台二中2020-2021学年高三上学期10月月考（文）

【答案】2+包叵

【分析】设N£>=6,利用余弦定理求出AC，利用面积公式将八48与等边AABC的

面积用6表示，利用三角函数的性质即可求解.

【解析】设/。=夕，

在△ACD中，由余弦定理可得一2A£>*CQcose=5-4cos。，

所以S.ABc=‘xAC2sin^=^（5—4cose），因为5"。=JAOxC£）xsine=sine，

2342

所以s=s.ABC+S，ACD=sin6+*（5—4cos6）

=sine-6cose+^^=2sin（e-?）+^^,

因为0€（0,乃），所以夕一—4],所以Sm"=2+^8.

''3V33Jmax4

39.如图，某校园内有一块圆形草坪，其内接AABC区域内种植花卉（阴影部分），已知

AC=^Y^m，BC=20m,8=45。，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧BAC上找

3

一点M，使得新的种植区域△MBC的面积S（单位：n?）最大，则S的值为.

【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）（文）全国卷n试题

【答案】IOOG

【分析】由正弦定理求得A，设EW=xm,CM=ym,由正弦面积公式、余弦定理和不

等式放缩即可求解

BCAr1205/^

【解析】在AABC中，由正弦定理得，——=——，即20飞—，解得A=60°,

smAsinB.

sinAsin450

由“同弧所对圆周角相等“知NM=NA=60°,设=CM=ym,

则5巾“=」盯出11"=立孙，在△M3C中，山余弦定理得，

ZAiWoC2,4.

22222

20=x+y-2xy-cosM=x+y-xy..xy=^-S^MBC,&S^MBO,10073.当且仅

当x=y=20时等号成立，所以新的种植区域△MBC的面积S最大为1(X)6.

40.公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观

测的需要编制了有关三角比率的表格.后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了

公式sir?-=上暨”.如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点8在以线段

22

AC为直径的圆。上,。为弧8C的中点，点E在线段AC上且4E=AB,点尸为EC的中点.设

a_

OA-r,/DOC=a.给出下列四个结论：@CD=2rsin—②AB=2rsina；③CF=r(lYOSa)；

2

④CO?=2/(1-cosa).其中，正确结论的序号是.

【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测

【答案】①③④

【分析】根据图形结合三角函数判断.由等腰三角形求8,判断①，由圆周角与圆心角

及所对弧的关系，求得NBAO,在等腰三角形中求得AB，判断②，利用AE=AB,判断③，

在AC。。中应用余弦定理判断④.

a

【解析】△30。是等腰三角形，OD=OC=r,4D0