2022九年级数学上学期期中卷1北师大版

期中数学试卷

一.选择题(共12小题)

1.(2018•十堰)菱形不具备的性质是()

A.四条边都相等B.对角线一定相等

C.是轴对称图形D.是中心对称图形

2.(2018•上海)已知平行四边形/腼，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是

()

A.B.C.AC=BDD.ABVBC

3.解一元二次方程x?-8x-5=0,用配方法可变形为()

A.(x+4)2=11B.(x-4)2=11C.(x+4)2=21D.(x-4)2=21

4.若X。是方程ax?+2x+c=0(aWO)的一个根，设M=l-ac,N=(axo+1)”,则M与N的大小

关系正确的为()

A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定

5.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个

白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中.大量重

复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4,那么可以推算出n大约是()

A.10B.14C.16D.40

6.已知区=W,那么下列等式中一定正确的是()

y2

A.3x=lB.c.三0=3.三D.也至

y2y4-35y_22yx2

7.如图，在aABC中，DE〃BC,若旭1=2,贝1」胆=()

DB3EC

8.己知△ABCs/\DEF,若AABC与aDEF的相似比为卫■,则AABC与4DEF对应中线的比为

4

()

A.3B.4C.9D.16

4316T

9.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+l=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的

10.a,b,c为常数，且（a-c）,>a2+c\则关于x的方程ax'+bx+c=0根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.有一根为0

11.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,CE/7BD,DE〃AC,AD=2«,DE=2,则

四边形0CED的面积（）

12.一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到

的是一个红球、一个白球的概率为（）

二.填空题（共4小题）

2

13.如果关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是,

14.下列各组的两个图形：

①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是

45°的两个等腰三角形.

其中一定相似的是—（只填序号）

15.如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米,则灯杆的高度为米.

16.正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,DE平分NAD0交AC于点E,把4ADE沿AD

翻折，得到aADE',点F是DE的中点，连接AF,BF,E'F.若AE=J，.则四边形ABFE'

的面积是.

三.解答题（共6小题）

17.已知关于x的方程x'+mx+m-2=0.

（1）若此方程的一个根为h求m的值；

（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.

18.如图，BD//AC,AB与CD相交于点0,AOBD^AOAC,段=2,0B=4,求A0和AB的长.

0C3

3

0

DB

19.一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别.

(1)当n=l时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？

(2)从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的

频率稳定于0.25,则n的值是；

(3)当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或

画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率.

20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.

(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹，不写

作法和证明).

(2)连接BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】(1)分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分

线即可;

(2)连接BE,DF,四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD,得到BE=DE,ZDEF=

ZBEF,再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF,再

由BF=DF,等量代换得到四条边相等，即可得证.

4

21.如图，在aABC中，AB=AC=1,BC=^~在AC边上截取AD=BC,连接BD.

2

(1)通过计算，判断AD?与AOCD的大小关系；

(2)求NABD的度数.

22.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百

分率相同.

(1)求该种商品每次降价的百分率；

(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的

总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

5

参考答案

一.选择题（共12小题）

1.（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线一定相等

C.是轴对称图形D.是中心对称图形

【考点】菱形的性质.

【分析】根据菱形的性质即可判断；

【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相

等，

故选：B.

【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题.

2.（2018•上海）已知平行四边形48修，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是

（）

A./A=NBB.C.AC^BDD.ABLBC

【考点】L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定.

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.

【解答】解：4NA=NB,N/+N8=180°,所以Z1=N8=90°,可以判定这个平行四

边形为矩形，正确；

B、不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C.AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形4版是矩形，故正确；

D、ABLBC,所以N6=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

故选：B.

【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理.但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形

的性质以及判定.

3.（2017•郑州一模）解一元二次方程xJ8x-5=0,用配方法可变形为（）

A.（x+4）2=11B.（x-4）2=11C.（x+4）2=21D.（x-4）2=21

【考点】配方法.

【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得.

【解答】解：：X2-8X=5,

Ax2-8x+16=5+16,即（x-4）2=21,

6

故选：D.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

4.若X。是方程ax、2x+c=0(aWO)的一个根，设M=1-ac,N=(axo+1)2,则M与N的大小

关系正确的为()

A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定

【考点】一元二次方程的解.

【分析】把X。代入方程ax?+2x+c=0得ax02+2x产-c,作差法比较可得.

【解答】解：是方程ax'+2x+c=0(aWO)的一个根,

axo2+2xo+c=O,BPaxo'+2xo=-c,

则N-M=(axo+1)*-(1-ac)

z:a2xo~+2axo+l-1+ac

=a(ax(i2+2xo)+ac

=-ac+ac

=0,

，M=N,

故选：B.

【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立

的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键.

5.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个

白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中.大量重

复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4,那么可以推算出n大约是()

A.10B.14C.16D.40

【考点】利用频率估计概率.

【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度

越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似

值就是这个事件的概率.

7

【解答】解：•.•通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4,

.-..1=0.4,

n

解得:n=10.

故选A.

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键.

6.已知三=W,那么下列等式中一定正确的是()

y2

A.还_=旦B.注•=2C.三0=二.3D.也至

y2y4-35y-22yx2

【考点】比例的性质.

【专题】计算题.

【分析】利用比例的性质由三=旦得2x=3y,然后再根据比例的性质变形四个比例式，若结

y2

果为2x=3y可判断其正确；否则判断其错误.

【解答】解：A、3x・2=9y,则2x=3y,所以A选项正确；

B>5(x+3)=6(y+3),则5x-6y=3,所以B选项错误；

C,2y(x-3)=3x(y-2),则xy-6x+6y=0,所以C选项错误；

D、2(x+y)=5x,则3x=2y,所以D选项错误.

故选A.

【点评】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性

质；等比性质.

7.如图，在AABC中，DE/7BC,若胆=2,贝|幽=()

DB3EC

【考点】平行线分线段成比例.

【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可.

【解答】解：：DE〃BC,

8

.AE_AD_2

ECDB3

故选c.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基

础定义或定理，难度不大.

8.已知△ABCs/\DEF,若△ABC与△DEF的相似比为0，则AABC与4DEF对应中线的比为

4

()

A.WB.ac.且D.W

43169

【考点】相似三角形的性质.

【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答.

【解答】解：VAABC^ADEF,AABC与aDEF的相似比为国，

4

/.△ABC与ADEF对应中线的比为上，

4

故选：A.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面

积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等

于相似比.

9.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+l=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的

【考点】一元二次方程根的判别式.

9

【分析】根据一元二次方程x2-2x+kb+l=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0,求

出kb的符号，对各个图象进行判断即可.

【解答】解：♦；x2-2x+kb+l=0有两个不相等的实数根，

.♦.△=4-4（kb+1）>0,

解得kb<0,

A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确;

B.k>0,bVO,即kbVO,故B正确；

C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确；

D.k<0,b=0,即kb=O,故D不正确；

故选:B.

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况

与判别式△的关系：（1）ZX〉。。方程有两个不相等的实数根；（2）△=（）=方程有两个相等

的实数根；（3）avoo方程没有实数根.

10.a,b,c为常数，且（a-c）2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.有一根为0

【考点】一元二次方程根的判别式.

【分析】利用完全平方的展开式将（a-c）之展开，即可得出ac<0,再结合方程ax2+bx+c=0

根的判别式△=b?-4ac,即可得出△>（）,由此即可得出结论.

【解答】解：：（a-c）2=a2+c2-2ac>a2+c\

ac<0.

在方程ax^bx+c^O中，

△=b"'-4ac》-4ac>0,

方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.

故选B.

【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2-4ac>0.本

题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的

个数是关键.

11.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,CE〃BD,DE〃AC,AD=2jWDE=2,则

10

四边形OCED的面积（)

【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质.

【专题】计算题；矩形菱形正方形.

【分析】连接0E,与DC交于点F,由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而

得到OD=OC,再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据

邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出

菱形OCEF的面积即可.

【解答】解：连接0E,与DC交于点F,

•・•四边形ABCD为矩形，

.\OA=OC,OB=OD,且AC=BD,即OA=OB=OC=OD,

V0D/7CE,OC〃DE,

四边形ODEC为平行四边形，

V0D=0C,

...四边形ODEC为菱形，

；.DF=CF,OF=EF,DC±OE,

：DE〃OA,且DERA,

...四边形ADEO为平行四边形，

VAD=2V3>DE=2,

.•.OE=2A/3>即OF=EF=«，

在Rt^DEF中，根据勾股定理得：DFRq_即DC=2,

则S菱形ODEC=A-OE«DC=iX2bx2=2仃

故选A

11

【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质

是解本题的关键.

12.一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到

的是一个红球、一个白球的概率为（）

A.2B.2C.。D.2

53510

【考点】列表法与树状图法.

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红

球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

红红白白

仃白白白红白白白红红白白红红白白红红白白

•.♦共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况,

，取到的是一个红球、一个白球的概率为：

205

故选C.

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.注意此题是不放回实验.用到的知识点为:

概率=所求情况数与总情况数之比.

二.填空题（共4小题）

13.如果关于x的方程xJ3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是1.

一「

【考点】一元二次方程根的判别式.

【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程,

解方程即可得出结论.

【解答】解：I.关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，

12

（-3）2-4XlXk=9-4k=0,

解得:k=2.

4

故答案为：1.

4

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9-4k=0.本题属

于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不

等式或不等式组）是关键.

14.下列各组的两个图形：

①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形：⑤各有一个内角是

45°的两个等腰三角形.

其中一定相似的是③④（只填序号）

【考点】相似多边形的判定.

【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形.具体的说就是对应的角相等,

对应边的比相等，对每个命题进行判断.

【解答】解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；

②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；

③两个等边三角形一定相似；

④两个正方形一定相似；

⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故错误，

故答案为：③④.

【点评】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断.对多边形主要是判断对应

的角和对应的边.

15.如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为

【考点】相似三角形的性质.

【专题】应用题.

【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶

13

部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答.

【解答】解：如图：

VAB^CD,

ACD：AB=CE：BE,

AB=2：10,

.'.AB=8米，

灯杆的高度为8米.

答：灯杆的高度为8米.

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，

通过解方程求出灯杆的高度，体现了方程的思想.

16.正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,DE平分NAD0交AC于点E,把4ADE沿AD

翻折，得到aADE',点F是DE的中点，连接AF,BF,E'F.若AE=J，.则四边形ABFE'

的面积是6+述

【考点】正方形的性质.

【分析】如图，连接EB、EE',作EM_LAB于M,EE'交AD于N.易知AAEB丝4AED丝Z\ADE',

先求出正方形AMEN的边长，再求出AB,根据S四边形ABFE'二S四边形AEFE'+SAAEB+SAEFB即可解决问题.

【解答】解：如图，连接EB、EE',作EM_LAB于M,EE'交AI）于N.

・・♦四边形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=DA,AC1BD,A0=0B=0D=0C,

ZDAC=ZCAB=ZDAE/=45°,

根据对称性，△ADE0Z\ADE'^AABE,

・・・DE=DE',AE=AE',

14

・,・AD垂直平分EE',

.*.EN=NEZ,

VZNAE=ZNEA=ZMAE=ZMEA=45°,AE二血,

AAM=EM=EN=AN=1,

・・・ED平分NADO,EN±DA,EO±DB,

.EN=EO=1,AO=&+1,

・AB二0AO=2+0,

•SAAEB=Sz\AED=SAADEf=—XIX(2+^2)=1+^^,Sz\BDE=S&4DB-2s△AEB=l+<^^，

VDF=EF,

•SAI>EE,=2SAADE-S^AEE'=加+1,Sz^DFir=—SADEE1~—

22

-eo

.S9-3+V2

四边形AEFE'-ZOAADE-□△DFE'------------，

2_

_o+s+0_6+3&

.S四边形RBFE-O四边形AEFE，十〉ZSAEB十、AEI书--------------.

2

故答案为呼.

【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直

角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中

考填空题中的压轴题.

三.解答题(共6小题)

17.已知关于x的方程x'+mx+m-2=0.

(1)若此方程的一个根为1,求m的值：

(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.

【考点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解.

【分析】(1)直接把x=l代入方程x2+mx+m-2=0求出m的值；

15

(2)计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可.

【解答】解：(1)根据题意，将x=l代入方程x'+mx+m-2=0,

得：1+m+m-2=0,

解得：m=l；

2

(2)；△=!!?-4X1X(m-2)=nr-4m+8=(m-2)2+4>0,

不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

【点评】此题考查了一元二次方程ax，bx+c=0(aW0)的根的判别式△=/-4ac：当△>(),

方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数

根.

18.如图，BD〃AC,AB与CD相交于点0,AOBD^AOAC,毁=2,0B=4,求A0和AB的长.

0C3

【考点】相似三角形的性质.

【分析】由相似比可求得0A的长，再利用线段的和可求得AB长.

【解答】解：

VAOBD^AOAC,

•••-0-B-_0D-_-2,

OA0C3

.•.<-=2,解得0A=6,

0A3

.".AB=0A+0B=4+6=10.

【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键.

19.一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别.

(1)当n=l时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？

(2)从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的

频率稳定于0.25,则n的值是2；

(3)当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或

16

画树状图的方法，求两次都摸到臼球的概率.

【考点】利用频率估计概率.

【分析】（1）当n=l时，利用概率公式可得到摸到红球和摸到白球的概率都为工；

3

（2）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.25,根据概率公式得到一^—=0.25,然

l+1+n

后解方程即可；

（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数,

然后根据概率公式求解.

【解答】解：（1）当n=l时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同;

（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25,

则一--=0.25,解得n=2,

l+1+n

故答案为2；

（3）解:画树状图为：

红球白白

/N/1\/1\/N

绿白白红白白红绿白红绿白

共有12种等可能的结果数,其中两次摸出的球都是的结白色的结果共有2种,

所以两次摸出的球颜色不同的概率=2=1.

126

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出

n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.

20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写

作法和证明）.

（2）连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.

【考点】矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分

17

线即可；

(2)连接BE,DF,四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD,得到BE=DE,NDEF=

ZBEF,再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF,再

由BF=DF,等量代换得到四条边相等，即可得证.

【解答】解：(1)如图所示，EF为所求直线；

(2)四边形BEDF为菱形，理由为：

证明：；EF垂直平分BD,

ABE=DE,ZDEF=ZBEF,

：AD〃BC,

ZDEF=ZBFE,

,NBEF=NBFE,

，BE=BF,

：BF=DF,

，BE=ED=DF=BF,

四边形BEDF为菱形.

【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图-基本作图，熟练掌握性质及判定

是解本题的关键.

21.如图，在aABC中，AB=AC=1,BC=^~在AC边上截取AD=BC,连接BD.

2

(1)通过计算，判断AD?与AOCD的大小关系；

(2)求NABD的度数.

18

R

【考点】相似三角形的判定.

【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD?与AC-CD的值,从而可得到AD?与AC-CD

的关系;

（2）由（1）可得到BD^AJCD,然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△

BCD-AABC,依据相似三角形的性质可知NDBC=NA,DB=CB,然后结合等腰三角形的性质和

三角形的