2020-2021学年人教A版数学选修2-2跟踪训练：模块综合测评

模块综合测评

时间：120分钟满分：150分

一'选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的)

1.(l+i)l6-(l-i)l6=()

A.—256B.256i

C.0D.256

解析：(l+i),6-(l-i),6=[(l+i)2]8-[(l-i)2]8=(2i)8-(-2i)8=0.

答案：C

2.一质点运动的方程为s⑺=5—3巴若该质点在时间段[1,1+/力内相应的平均速

度为一34—6,则该质点在f=l时的瞬时速度是()

A.-3B.3

C.6D.-6

解析：r=l时，瞬时速度

v=s'(l)=lim(―3//-6)=-6.故选D.

J/-0

答案：D

3.曲线«r)=sinx+&t在点(0,1)处的切线方程是()

A.x—3y+3=0B.x—2y+2=0

C.2x—y+l=0D.3x—y+1=0

解析：因为.*x)=sinx+e\所以/'(%)=&，+(：05彳，

所以在尤=0处的切线斜率％=/'(0)=1+1=2,

所以》:)=sinx+e',在(0,1)处的切线方程为y-l=2x,即2x—y+l=0.故选C.

答案：C

4.如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规

律闪烁，下一个呈现出来的的图形是()

ABCD

解析：观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A选项中的图形.

答案：A

5.已知复数zi=2+i,Z2在复平面内对应的点在直线x=l上，且满足Trz2是纯

虚数，则复数Z2等于()

A.l-2iB.l+2i

C.2-iD.2+i

解析：由zi=2+i得zi=2—i.由Z2在复平面内对应的点在直线x=l上，可设Z2

=14-M(Z?GR),则》rz2=(2—i)(l+〃)=2+8+(2/?—l)i.由》i-Z2为纯虚数得2+Z?

=0,且%一1#0,解得b=-2,故Z2=l-2i.

答案：A

12

6.已知a<0,函数,外幻=加+£111%,且/'(1)的最小值是一12,则实数a的值为

()

A.2B.-2

C.4D.-4

12124

解析：/'。)=3加+—,所以/'(l)=3a+—2—12,即。+-2—4.又aVO,有a

axaG-

44

+一<—4,所以。+-=-4,故a=-2.

aa

答案：B

解析：_/U)=*+cosx,(九)=gx—sinx,令g(九)=f(x),则g(x)为奇函数,

排除B,D：由g'(x)=；—cosx知g(x)在y轴右侧先单调递减，排除C.故选A.

答案:A

-J3

8.我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三条边的距离之和为定值尊，

类比上述结论可得，在棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值

（）

A.当aB.乎a

C.坐aD坐a

解析：正四面体内任一点与四个面组成四个三■•棱锥，它们的体积之和为正四面体

的体积.设该点到四个面的距离分别为力1,hi,例，加，由于每个面的面积均为号-

CT,正四面体的体积为番/，则有;X乎”2（加+〃2+63+。4）=杏。3,得历+比+自

+/Z4=^a.

答案:A

9.设a,匕是两个实数，给出下列条件：

@a+b>l；②a+/?=2；③a+b>2；④/+〃>2；⑤

其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是（）

A.②③B.①②③

C.③D.③④⑤

1?

解析：若a=1,b=g则a+〃>l,但b<1,故①推不出；若。=/?=1,

则a+Z?=2,故②推不出；若。=-2,b=~3,则/+〃>2,故④推不出；若a

=-2,b=~3,则必>1,故⑤推不出；对于③，若a+0>2,则a,b中至少有

一个大于1.可用反证法证明：假设aWl且。W1,则a+0W2,与a+8>2矛盾，

因此假设不成立，故a,万中至少有一个大于1.故选C.

答案：C

10.把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个

正三角形面积之和的最小值是（）

A.^^cm2B.4cm2

C.3^/2cm2D.2小cm2

解析：设一段为xcm,则另一段为(12—x)cm(0V%V12),

则小S(X)=E1XG(元}\X苧小+।51义(〔了12—}*苧A/3

一，小，48、

所以SW=7\9x-3j-

令S'(x)=0,得x=6,

当(0,6)时,S'(x)<0,

当(6,12)时，S'(x)>0,

所以当x=6时，S(x)最小.

所以S=乎，x/x6?一lX6+16)=2，5(cm2).故选D.

答案：D

11.若不等式2xlnf+or—3对尤6(0,+8)恒成立，则实数a的取值范围

是()

A.(―0°,0)B.(—8,4]

C.(0,+8)D.[4,+0°)

33

解析：由2xlnf+ax—3,得aW21nx+x+j设/"x)=21nx+x+3x>0),

(x+3)(尤—1)

则力'(x)=------3----2.当xe(0,l)时，h'(x)<0,函数//(x)单调递减；当XW(1,

+8)时，h'(%)>0,函数/z(x)单调递增，所以力。1皿=/如口二人所以aW/?(X)min=

4故选B.

答案：B

12.设大冷=¥+砧2+5尤+6在区间”,3]上为单调函数，则实数a的取值范围是

()

A.[―A/5,+0°)

B.(―00,—3]

C.(—8,—3]“一小，+8)

D.［一小］

解析：/'(AOnf+Ztu+S,若兀r)在［1,3］上为单调函数且单调递增，则xG［l,3］时，

f+Zor+SNO恒成立，即2a2—Q+9，而xG［1,3］时，x+122小，所以一j+J

W—2小，所以2a2—2小，。2一小，若火x)在［1,3］上单调递减，则xC［l,3］时，

f+2以+5<0恒成立，即2aW—卜+丹，而x£［1,3］时，记％(x)=x+；,/?max=/?(1)

=6,所以一(x+1^2—6,所以2aW—6,aW—3,所以a的取值范围是(一8,—

3)U［—小，+°°),故选C.

答案：C

二'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.设i为虚数单位，若2+ai=b—3i(a,b^R),则a+bi=.

解析：由2+ai=/?-3i(a,〃WR),得。=一3,b=2,则a+Z?i=-3+2i.

答案：一3+2i

x+1,—IWJVVO,

14.函数/)=£0&Q的图象与直线x=l及x轴所围成的封闭图形

的面积为.

解析：由题意知所求面积为

•()rl

r

(JC+1)CIJC+e*dx=

J—1Jo

(}N+1)L+e1：=一(十—l)+(e—l)=e—十.

答案：e—1

15.已知函数_/U)是定义在R上的奇函数，且当xd(—8,0)时，寅心一^'(x)V0,

寸［/log25),7的+,|丫・玄日/用“一”

在m—"-1'k—log，59则〃’卜的大小关系zc_______(用V

ln2

连接).

解析：设g(X)=A；,则g(x)=--------2-----.

人人

因为当xW(—8,0)时，j{x)-xf'(x)<0,

所以当xW(—8,0)时，g'(%)>0,g(x)单调递增，

而函数人尤)是定义在R上的奇函数，

所以g(x)在R上单调递增.

因为In1<V3<log25,

所以g(ln，Vg(小)Vg(log25),

所以n<.m<k.

答案：n<m<k

16.若直线/与曲线C满足下列两个条件：

⑴直线/在点P(xo,yo)处与曲线C相切；(2)曲线。在点P附近位于直线I的两侧，

则称直线/在点尸处“切过”曲线C

下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).

①直线/：y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C：尸旦

②直线/：x=T在点尸(一1,0)处“切过”曲线C：y=(x+l)2；

③直线/：y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y=sinx；

④直线/：y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y=tanx；

⑤直线/：y=x-1在点尸(1,0)处“切过”曲线C：y=\nx.

解析：对于①，y'=3吐y'|.r=o=O,所以/：y=0是曲线C：)>=/在点P(0,0)

处的切线，画图可知曲线C：y=%3在点p(o,o)附近位于直线/的两侧，①正确；对

2

于②，因为y'=2(x+1),y'|,v=-i=0,所以/:x=~\不是曲线C:y=(x+l)

在点P(—1,0)处的切线，②错误；对于③，y'=cosx,y'|x=o=l,所以/:y=x

是曲线C:y=sinx在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：)=sinx在点尸(0,0)附

近位于直线/的两侧，③正确：对于④，y=添公，V1=。=马币=1，所以/：

y=x是曲线C:y=tanx在点尸(0,0)处的切线，画图可知曲线C:y=tanx在点尸(0,0)

附近位于直线/的两侧，④正确；对于⑤，yf=：,k=i=l,所以/:y=x—1

是曲线C:y=lnX在点P(l,0)处的切线.令〃(x)=x-l—Inx(x>0),可得〃'(x)

1元—1

=1--=-^-,当OVxVl时，h'(X)<0,当X>1时，h'(X)>0,所以/?(X)min=

/z(l)=O,故x-ieinx,可知曲线C:y=lnx在点P(1,O)附近位于直线/的下侧，

⑤错误.

答案：①③④

三'解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.(本小题满分10分)已知函数外)=/一初一1.

⑴若火x)在实数集R上单调递增，求实数。的取值范围；

⑵是否存在实数a,使«r)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若

不存在，说明理由.

解析：⑴由已知/'(x)=3/一a.

因为兀r)在(一8,+8)上是增函数，

所以，(x)=3/—在(-8,+8)上恒成立.

即对xWR恒成立.

因为3/20,所以只要aWO.

又因为a=0时，f。)=3/»0,

所以人幻二%3—1在R上是增函数，

所以aWO.即a的取值范围为(-8,0].

(2)由/'(x)=3f—aW0在上恒成立.

所以4Z23X2在上恒成立.

因为一IVxVl,所以3/V3,只需a23.

当a=3时，/'(x)=3(f-l),在xG(—l,l)上，

f(x)<0,即/U)在(一1,1)上为减函数，

所以a23.故存在实数a的取值范围为[3,+~),

使;(x)在(-1,1)上单调递减.

18.(本小题满分12分)已知复数z满足回=啦，z2的虚部是2.

⑴求复数z；

(2)设z,z2,z—z2在复平面内的对应点分别为A,B,C,求AABC的面积.

解析：(1)设z=a+/?i(a,86R),则z2=q2—32+24/7],由题意得/+扶=2且2出?

=2,解得a=/?=l或a=/?=-1,所以z=l+i或z=-1—i.

(2)当z=l+i时，z2=2i,z—z2=1—i,

所以4(1,1),5(0,2),C(l,-1),

所以SAA8c=L

当z=-1—i时，z2=2i,z—z2=—1—3i,

所以4-1,-1),8(0,2),C(-l,-3),

所以S^ABC=1.

综上，△ABC的面积为1.

19.(本小题满分12分)设函数4x)=—i)x(x£R),其中〃z＞0.

(1)当〃z=l时，求曲线y=/(x)在点(1,(1))处的切线的斜率;

⑵求函数次x)的单调区间与极值.

解析：(1)当m=\时，y(x)=-l^+x2,

f'(x)=-f+2x,故，(1)=1.

所以曲线y=«X)在点(1,11))处的切线的斜率为1.

(2)f(x)=_j?+lx+m2-1.

令/'(X)=O,解得X=1—机或X=l+"2.

因为机＞0,所以"2.

当无变化时，f(x),/(x)的变化情况如下表：

X(一°°,1—m)1—m(1—m,1+机)1+m(1+m,+°°)

f'W—0+0—

於)极小值极大值

所以犬幻在(•一8,1—⑼，(1+m,+8)上是减函数，在(1—机,1+加)上是增函数.

函数«r)在x=i一加处取得极小值yy—㈤，

21

且.*］一机)=.亨"+nr—y

函数兀¥)在X=1+"2处取得极大值7(1+m)，

21

且11+机)=§"户+机2-,

20.(本小题满分12分)设函数“x)=lnx+ln(2—x)+ax(a＞。).

(1)当a=l时，求/(x)的单调区间；

⑵若/U)在(0,1］上的最大值为:，求。的值.

解析：函数./U)的定义域为(0,2),

/㈤+士+。

-f+2

⑴当。=1时，f(Mg二*),令/'(x)=。，得当OVxV也时，f'(x)>

0;当啦VxV2时，/'(x)VO.所以次x)的单调递增区间为(0,乖,单调递减区间

为他,2).

2—2x

⑵当XG(O,1］时，/(x)=~TL；-+a>0即7U)在(0,1］上单调递增，故«r)在(0,1］

人I441,

上的最大值为/(l)=a,因此。=；.

21.(本小题满分12分)(1)在Rtz^ABC中，ABLAC,ADL8C于。，求证：/=

_L,_L

AB-AC2i

⑵类比(1)中的结论，在四面体ABC。中，你能得到怎样的猜想？并说明理由.

解析：(1)证明：如图⑴所示，由射影定理可知，

AD1=BDDC,AB1=BDBC,

AC2=BCDC,

.1_1_BC?_Be。

*DC=BD-BC-DC-BC=AB2-AC2-

又BC2=AB2+AC2,

.J__A4+AC2__1_J_

,,访=府衣=而+苑•

(2)猜想：在四面体ABC。中，若A3,AC,AO两两垂直，且AEJ"平面BC。于E,

nlJ____1,1,1

AE^~AB2+AC-AD2-

A

图⑵

证明：如图⑵所示，

连接BE并延长交CO于£连接AF.

"：AB±AC,ABA.AD,AC^AD=A,

■平面ACD

又AFU平面ACO,：.AB±AF.

在RtAAB/*中，AE-LBF,，彳区=彳屏+彳尸.

在RtZ\AC£>中，A